高中数学选修2-2教案第四章 3_2 6页

‎3．2　简单几何体的体积 明目标、知重点 ‎1．通过实例，进一步理解定积分的思想．‎ ‎2．了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用．‎ 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可看作由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V＝ʃπ[f(x)]2dx.‎ 探究点一　简单旋转几何体的体积 思考1　旋转体是怎样形成的？‎ 答　旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的几何体．这条直线叫作旋转轴．常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．‎ 思考2　怎样利用定积分求简单旋转几何体的体积？‎ 答　简单旋转几何体可以看作由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转而成，其体积为V＝ʃπ[f(x)]2dx.‎ 例1　求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积．‎ 解　Vx＝ʃπy2dx ‎＝ʃπx6dx＝＝.‎ 反思与感悟　求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想，根据图形中曲线交点正确确定积分上、下限．‎ 跟踪训练1　求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的体积．‎ 解　x1＝，x2＝y2,0≤y≤1，‎ Vy＝ʃ(πx－πx)dy＝ʃ(πy－πy4)dy ‎＝＝－＝.‎ 探究点二　旋转体体积的应用 思考　我们平时常见的旋转体怎样用定积分解决？‎ 答　求旋转体的体积时，首先要先选取适当的坐标系，‎ 然后确定待求旋转体的轴截面上曲边梯形的曲线方程y＝f(x)，同时确定积分区间[a，b]，最后代入公式中，即可求出旋转体的体积V.‎ 例2　计算椭圆＋＝1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积．‎ 解　这个旋转体可看作是由上半个椭圆y＝及x轴所围成的图形绕x轴旋转所形成的几何体．‎ 因此V＝ʃA(x)dx ‎＝ʃ(a2－x2)dx＝πab2.‎ 反思与感悟　合理确定被积函数是解题的关键；对于对称性较强的几何体，可以用曲线的一部分绕轴旋转得到．‎ 跟踪训练2　连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体．计算这个圆锥体的体积．‎ 解　直角三角形斜边的直线方程为y＝x.‎ 所以所求圆锥体的体积为 V＝ʃπ(x)2dx＝＝πhr2.‎ ‎1．由y＝x2，x＝1和y＝0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　Vx＝πʃy2dx＝πʃ(x2)2dx＝x5|＝.‎ ‎2．由y＝x2，y＝x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V＝________.‎ 答案　 解析　V＝πʃ(y－y2)dy＝.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成．‎ ‎2．利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、下限，要理解其中蕴含的定积分思想．‎ 一、基础过关 ‎1．由y＝x2，x＝0和y＝1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为(　　)‎ A．V＝πʃ[]2dy＝ B．V＝πʃ[12－(x2)2]dx＝ C．V＝πʃ(x2)2dy＝ D．V＝πʃ(12－x2)dx＝ 答案　B 解析　利用图形确定积分函数和积分上、下限．‎ ‎2．由抛物线y＝x2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(　　)‎ A.π B.π C.π D.π 答案　D 解析　Vx＝πʃ(x2)2dx＝＝π.‎ ‎3．由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(　　)‎ A．6π B．12π C．24π D．3π 答案　B 解析　因为xy＝4，所以y＝，‎ Vx＝πʃy2dx＝πʃ()2dx ‎＝16πʃx－2dx＝＝－16π(－1)＝12π.‎ ‎4．由y＝，y＝x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为(　　)‎ A．ʃπ(x－x2)dy B．ʃπ(x－x2)dx C．ʃπ(y2－y4)dy D．ʃπ(y－y2)dx 答案　C 解析　图形绕y轴旋转，将y看作积分变量，由曲线x＝y，x＝y2围成的图形．‎ ‎5．曲线y＝x2和y2＝x所围成的平面图形，绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为________．‎ 答案　π 解析　由V＝ʃπxdx－ʃπx4dx ‎＝π(x2－x5)|10＝π(－)＝π×＝.‎ ‎6．曲线y＝与直线x＝0，x＝t(t>0)及y＝0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)＝________.‎ 答案　(e2t＋4t－e－2t)‎ 解析　V(t)＝πʃy2dx＝πʃ()2dx＝(e2t＋4t－e－2t)．‎ ‎7．试解释下列式子的意义：‎ ‎(1)ʃπx2dx；(2)ʃπ(ex－1)2dx.‎ 解　(1)由直线y＝x，x＝1，x＝3及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．‎ ‎(2)由曲线y＝ex与直线y＝1，x＝0，x＝2及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．‎ 二、能力提升 ‎8．由y＝e－x，x＝0，x＝1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(　　)‎ A.(1－e－2) B. C.(1－e) D.e－2‎ 答案　A 解析　f(x)＝e－x>0，所求的旋转体的体积是 V＝πʃ[e－x]2dx＝πʃe－2xdx＝＝(1－e－2)．‎ ‎9．一个半径为1的球可以看成是由曲线y＝与x轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．‎ 答案　π 解析　V＝ʃπ(1－x2)dx ‎＝πʃ(1－x2)dx＝π(ʃ1dx－ʃx2dx)‎ ‎＝π＝π.‎ ‎10．抛物线y2＝4ax及直线x＝x0(x0>0)所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V＝________.‎ 答案　x0‎ 解析　V＝πʃ2－22dy＝x0.‎ ‎11．求曲线y＝x2与x＝1，y＝0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积．‎ 解　由解得：，‎ ‎∴y＝x2，∴x＝±(舍负)．‎ 如图，所求几何体的体积可以看做两部分的差．‎ V＝πʃ12dy－πʃ()2dy ‎＝－πʃydy＝π－＝.‎ ‎12．过点P(1,0)作抛物线y＝的切线，求该切线与抛物线y＝及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．‎ 解　如图，设切点为(x0，)，‎ 则切线方程为y＝，‎ ‎∵切点在切线上，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x0＝3，‎ ‎∴切线方程为y＝(x－1)．‎ V＝πʃ(x－1)2dx－πʃ(x－2)dx＝.‎ 三、探究与拓展 ‎13．设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；‎ ‎(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．‎ 解　如图，M为图中阴影部分．‎ ‎(1)图形M的面积为 ʃ[(－x2＋2x)－x2]dx ‎＝ʃ(－2x2＋2x)dx ‎＝＝.‎ ‎(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 πʃ[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝πʃ(－4x3＋4x2)dx ‎＝＝.‎