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  • 2021-06-10 发布

高考数学人教A版(理)一轮复习:第十二篇 第3讲 数学归纳法

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第3讲 数学归纳法 A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分) ‎ ‎1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取 (  ). ‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ 解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.‎ 答案 B ‎2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是 (  ).‎ A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立 解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.‎ 答案 D ‎3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 (  ).‎ A. B.- C.- D.+ 解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,‎ 左侧=1-+-+…+-+-.‎ 答案 C ‎4.对于不等式1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).‎ 证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,‎ 则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,‎ 故当n=k+1时,命题成立.‎ 由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.‎ ‎8.(13分)已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.‎ ‎(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;‎ ‎(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).‎ ‎(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.‎ ‎∵48+4r=64,∴r=4.‎ ‎(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.‎ ‎①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.‎ ‎②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,‎ T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.‎ 根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n.‎ B级 能力突破 ‎(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 (  ).‎ A.k2+1‎ B.(k+1)2‎ C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2‎ 解析 ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2‎ ‎∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.‎ 答案 D ‎2.(2013·广州一模)已知1+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为 (  ).‎ A.a=,b=c= B.a=b=c= C.a=0,b=c= D.不存在这样的a、b、c 解析 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即 整理得 解得a=,b=c=.‎ 答案 A 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.‎ 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;‎ ‎4=1+3=2+2=3+1;‎ ‎5=1+4=2+3=3+2=4+1;‎ ‎…;‎ 一个整数n所拥有数对为(n-1)对.‎ 设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60,‎ ‎∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,‎ ‎12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,‎ ‎∴第60个数对为(5,7).‎ 答案 (5,7)‎ ‎4.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值是________.‎ 解析 f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×==,f(3)=(1-a1)·(1-a2)(1-a3)=f(2)·=×=,由此猜想,f(n)=(n∈N*).‎ 答案 (n∈N*)‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5.(12分)设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…‎ ‎(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.‎ 解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.‎ ‎(2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.‎ 下证:n≥6(n∈N*)时都有2n>n2+2n.‎ ‎①n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;‎ ‎②假设n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;‎ 由①、②可得,对于所有的n≥6(n∈N*)‎ 都有2n>n2+2n成立.‎ ‎6.(13分)(2012·安徽)数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).‎ ‎(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(2)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.‎ ‎(1)证明 先证充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c0,即xn<1-.‎ 由②式和xn≥0还可得,对任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③‎ 反复运用③式,得 -xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,‎ xn<1-和 -xn<(1-)n-1两式相加,知 ‎2-1<(1-)n-1对任意n≥1成立.‎ 根据指数函数y=(1-)n的性质,得 ‎2-1≤0,c≤,故00,即证xn<对任意n≥1成立.‎ 下面用数学归纳法证明当0xn,即{xn}是递增数列.‎ 由①②知,使得数列{xn}单调递增的c的范围是.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎

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