数学理卷·2017届四川省射洪中学高三下学期入学考试（2017 10页

射洪中学2014届高三下期入学考试 理 科 数 学 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，则（为自然数集）为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）设是虚数单位，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A．164石 B．178石 C．189石 D．196石 ‎（4）已知，，则数列的通项公式是（ ）‎ 第(6)题图 A． B． C. D．‎ ‎（5）已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（6）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎（7）直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） ‎ 第(8)题图 A． B． C． D．‎ ‎（8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ）‎ 参考数据：，，．‎ A． B． C． D． 96‎ ‎（9）先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（10）已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（11）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（12）已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a•2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） C．[﹣2，0] D．[﹣，0]‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）展开式中的常数项是 .‎ ‎（14）若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是______．‎ ‎（15）已知向量=（1，），=（3, m），且在上的投影为3，则向量与夹角为 .‎ ‎（16）函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：‎ ‎①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；‎ ‎②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；‎ ‎③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；‎ ‎④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．‎ 其中正确命题的序号为_______（填上所有正确命题的序号）．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在中，内角，，所对的边长分别是，，.‎ ‎（I）若，，且的面积为，求，的值；‎ ‎（II）若，试判断的形状.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：‎ 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．‎ 乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．‎ ‎（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由；‎ ‎（2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．‎ 第（19）题图 ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且=，过棱的中点，作交于点，连接 ‎（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．‎ ‎（1）求顶点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．‎ ①求四边形的面积的最小值；‎ ②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 已知函数f（x）=s﹣ke﹣x的图象在x=0处的切线方程为y=x．‎ ‎（1）求s，k的值；‎ ‎（2）若正项数列{an}满足，，证明：数列{an}是递减数列；‎ ‎（3）若，当a＞1时，讨论函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象公共点的个数．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．‎ ‎（I）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式的解集为。‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）比较与的大小，并说明理由。‎ 射洪中学2014届高三下期入学考试理科数学答案 CDCAA CCBDD CA ‎ ‎ 19 ①③．‎ ‎17.试题解析：（I）∵，，∴由余弦定理得.．．．．．．．．．．．2分 又∵的面积为，∴，.．．．．．．．．．．．4分 联立方程组，解得，.．．．．．．．．．．．6分 ‎（II）由，得，‎ 即，∴.．．．．．．．．．．．8分 ‎∴或，当时，‎ ‎∵，∴，为直角三角形；．．．．．．．．．．．10分 当时，得，由正弦定理得，即为等腰三角形.‎ ‎∴为等腰三角形或直角三角形.．．．．．．．．．．．12分 ‎18. 【解答】解：（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，‎ 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr2（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为．‎ 所以，．…3分 设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，‎ 则一切等可能的结果有种，其中摸到的2个球都是红球有种．‎ 所以，P（B）=．…5分 因为P（A）＜P（B），‎ 所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …6分 ‎（2）由题意知ξ的取值为0，1，2 　　　 …7分 ‎∴，‎ ‎，‎ ‎…10分 ‎∴所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…11分 ξ的数学期望…12分．‎ ‎19. 试题解析：（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，‎ 由底面为长方形，有，而，‎ 所以. 而，所以. ．．．．．．．．．．．2分 又因为，点是的中点，所以. ‎ 而，所以平面. 而，所以.‎ 又，，所以平面. ．．．．．．．．．．．4分 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.．．．．．．．．．．．6分 ‎ ‎（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. ‎ 又因为底面，所以. 而，所以. ‎ 故是面与面所成二面角的平面角， ．．．．．．．．．．．8分 设，，有，‎ 在Rt△PDB中, 由, 得, ‎ 则 , 解得.．．．．．．．．．．．11分 ‎ 所以故当面与面所成二面角的大小为时，.．．．12分. ‎ ‎（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，．．．．．．．．．．．2分 于是，即. 又已知，而，所以. ‎ 因, , 则, 所以.‎ 由平面，平面，．．．．．．．．．．．4分 可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 图1‎ 图2‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.．．．．．．．．．．．6分 ‎ ‎（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；‎ 由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. ．．．．．．．．8分 若面与面所成二面角的大小为，‎ 则，解得. ．．．．．．．．．．．11分 所以故当面与面所成二面角的大小为时，. ．．．．12分 ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）由题意可得e==，‎ 又a2﹣b2=c2，‎ 且+=1，‎ 解得a=2，c=1，b=，‎ 可得椭圆的方程为+=1；．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）证明：由AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|，‎ 可得Rt△ADM∽Rt△DNA，‎ 即有∠DNA=∠MAD，即∠MAN=90°，‎ 由，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），‎ 可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，‎ 即4k2＞m2﹣3，．．．．．．．．．．．7分 由AM⊥AN，可得•=﹣1，‎ 即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 即（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，‎ 即有（k2+1）•+（mk﹣2）（﹣）+m2+4=0，‎ 化简可得7m2+16km+4k2=0，‎ m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0，．．．．．．．．．．．10分 当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0），‎ 直线l过定点（，0）；‎ 当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）．‎ 由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意，‎ 当直线的斜率不存在时，也成立．‎ 根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．．．．．．．．．．．．12分 ‎21、(【解答】解：（1）由题意得f（0）=0，f′（0）=1，‎ 函数f（x）=s﹣ke﹣x的导数为f′（x）=ke﹣x，‎ 则，‎ 解得s=1，k=1；．．．．．．．．．．．2分 ‎（2）证明：∵f（x）=1﹣e﹣x，正项数列{an}满足，，‎ ‎∴，‎ 数列{an}是递减数列，‎ 可得an+1＜an，‎ 即，可得，‎ 即有，‎ 令t（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），‎ ‎∵t'（x）=ex﹣1＞0（x＞0）‎ ‎∴t（x）是（0，+∞）上的增函数，‎ ‎∴t（x）＞t（0）=0，即ex＞x+1，‎ 故，‎ ‎∴{an}是递减数列． ．．．．．．．．．．．6分 ‎（3）即讨论的零点的个数，‎ 对h（x）求导得，‎ 易知h'（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∵h'（0）=1﹣a＜0，，‎ ‎∴，使h'（t）=0，即，‎ ‎∴h（x）在（0，t）递减，在（t，+∞）递增，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（x）min=（1﹣t）（et+t2+t+1），‎ ‎①当0＜t＜1即时，h（x）min＞0，‎ 此时h（x）在（0，+∞）内无零点； ‎ ‎②当t=1即时，h（x）min=0，‎ 此时h（x）在（0，+∞）内有一个零点； ‎ ‎③当t＞1即时，h（x）min＜0，‎ 又　h（0）=2＞0，x→+∞时，h（x）→+∞‎ 所以h（x）在（0，+∞）内有两个零点； ‎ 综上：当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象无公共点；‎ 当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有一个公共点；‎ 当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有两个公共点．．．．．．．．．．．．12分 21. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 ‎22． 【解析】（I）根据题意，直线的普通方程为，．．．．．．．．．2分 曲线的极坐标方程为．．．．．．．．．．．5分 ‎（II）的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，‎ 故，．．．．．．7分 因为，所以点到直线的距离为，．．．．．．．9分 所以．．．．．．．．10分 ‎23、解：（1）令，‎ 由，解得，则 ………………3分 所以 ………………5分 ‎（2）由（1）得， ………………6分 ‎，…8分 所以故 ………………10分