数学理·河南省新乡市第一中学2017届高三上学期第一次（9月）月考理数试题+Word版含解析 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，若，则实 数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及其应用.‎ ‎2.若点在角的终边上，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：角的终边上的坐标为，即，则由任意角的三角函数 的定义，可得，故选A. ‎ 考点：特殊角的三角函数及任意角的三角函数的定义.‎ ‎3.已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可 以唯一的表示成（，为实数），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，向量是不共线的向量，因为，，由向量不共线，解之得，所以实数的取值范围是，故选D. ‎ 考点：1、平面向量的坐标表示；2、平面向量基本定理.‎ ‎4.已知把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，‎ 得到函数，则函数的一条对称轴为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、三角函数的放缩变换及平移变换；2、三角函数的图象.‎ ‎5.已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）‎ A．2 B． C.3 D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为等比数列的前项和为，所以，两式想减化简得，，又，所以，，，可得在上递增，在上递减，因此的极小值为，故选B. ‎ 考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值.‎ ‎6.中三边上的高的大小依次为，，，则为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．不存在这样的三角形 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、三角形的形状判断；2、余弦定理的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查三角形的形状判断、余弦定理的应用，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(3)利用余弦定理判断出最大角为钝角或锐角.‎ ‎7.已知两个力的夹角为，它们的合力的大小为，合力与的夹角为，那 么的大小为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为两个力的夹角为，它们的合力的大小为，合力与的夹角为，所以根据平面向量运算的平行四边形法则及向量的几何意义可知的大小为，故选B. ‎ 考点：1、平面向量运算的平行四边形法则及向量的几何意义；2、向量的应用.‎ ‎8.已知是定义域为的偶函数，当时，，那么不等式的解 集是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性及绝对值不等式的解法.‎ ‎9.定积分的值是（ ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，故选D. ‎ 考点：定积分的应用.‎ ‎10.已知函数，，点，分别位于，‎ 的图象上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、点到直线距离公式及转化与划归思想的应用.‎ ‎11.已知函数的最大值为3，的图象与 轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为 ‎（ ）‎ A．2468 B．3501 C.4032 D．5739‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：已知函数的最大值为，的图象与轴的交点坐标为，可得，即，再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，故根据诱导公式知的周期为，因为 ‎，故选C. ‎ 考点：1、余弦函数的图象与性质；2、两角和的余弦公式、诱导公式及函数的周期性.‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.求解析时（1）求主要根据函数的最值求的值；（2）根据周期公式，先确定周期的值再求的值，确定周期的主要途径是:①根据相邻对称轴及相邻对称中心的距离确定，②一个对称轴和一个对称中心确定，（3）参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时.‎ ‎12. 已知三角形内的一点满足，且.‎ 平面内的动点，满足，，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】‎ ‎ 的最大值为，的最大值是，故选A. ‎ 考点：1、平面向量数量积公式及向量的模；2、平面向量的几何运算及坐标运算. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式及向量的模、平面向量的几何运算及坐标运算，属于难题.向量有几何法和坐标法两种表示方法，向量的运算也分为几何运算和坐标运算两种，因此向量问题的解答也有两种思路，即几何法和代数法：几何运算要掌握两种法则（平行四边形法则和三角形法则），同时还要熟练掌握平面向量数量积公式；坐标运算要正确建立适当的坐标系，转化为解析几何问题进行解答.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.若实数，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.‎ ‎14. 已知是所在平面内一点，为的中点，若，且 与的面积相等，则实数的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 考点：1、平面向量的基本定理及其意义；2、平面向量的几何运算.‎ ‎15.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则 的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求导函数，可得，设过处的切线斜率，则，所以切线方程为，令，可得，，故答案为. ‎ 考点：1、利用导数研究曲线上某点切线方程；2、对数的运算及累乘法的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及对数的运算及累乘法的应用，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等 差数列，则角的大小是_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 考点：1、等差数列的性质；2、正弦定理、两角和的正弦公式；3三角形内角和定理及诱导公式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式以及三角形内角和定理及诱导公式，属于难题.以三角形为载体三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，，其中，记数列的前项和为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1），‎ ‎∴.‎ 两式相减得： ‎ ‎. ‎ 此式对不成立，所以. ‎ ‎（2），∴. ‎ ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得，. ‎ ‎∴.‎ 考点：1、公式的应用；2、错位相减法求和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体中，四边形为正方形，，，，‎ ‎，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不 存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：解：（1）证明：因为，，所以.‎ 因为，且，所以平面.‎ 因为平面，所以. ‎ 因为，是的中点，所以.‎ 又，所以平面. ‎ ‎（2）解：，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、空间两向量夹角余弦公式. ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在内的游客中随机 抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率直方图（如图所示），同时对这1000人的旅游结果满意情 况进行统计得到下表：‎ ‎（1）求统计表中和的值；‎ ‎（2）从年龄在内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人 中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在内的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1），；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据频率分布表，求出年龄在各小组内的频数，再求出表中和的值；（2）求出年龄在在内且对旅游结果满意的游客中，再根据分层抽样的方法算出抽取的人数可得，分别利用组合知识及古典概型概率公式算出各随机变量的概率，根据期望公式可求期望.‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ 考点：1、频率直方图的应用；2、分层抽样方法及离散型随机变量的分布列及期望.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线 段上，且的周长等于.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求 面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设，则.‎ ‎（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，，另一切线的斜率为0，从而.此时，. ‎ ‎（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点的椭圆的切线方程为，‎ 代入椭圆方程，消并整理得：.‎ 依题意，. ‎ 设切线，的斜率分别为，，从而，即.‎ 线段为圆的直径，. ‎ 所以，‎ 当且仅当时，取最大值4.由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4.‎ 考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、圆锥曲线最值问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎【答案】（1）时，的单调递增区间是，时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：解：（1），∴时，，在上单调递增：时，时，单调递减，时，单调递增.‎ ‎（2）由（1），时，，∴，即，‎ 记.，∴在上增，在上递减，∴，故，得.‎ ‎（3）时，，时，，‎ 时，.‎ 由（2）可知，即，则时，，故，‎ 即原不等式成立. ‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性及求函数最值；2、不等式正明及不等式恒成立问题 .‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于 点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，四点共圆，且，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据弦切角定理及圆周角定理证明,然后推出；（2）证明 ,然后说明.设,在等腰三角形中，,求解即可.‎ 试题解析：（1）由与圆相切于点可得，∵，∴，又，∴，∴. ‎ 考点：1、弦切角定理及圆周角定理证明；2、圆内接四边形的性质定理.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中参数，为常数），在以为极 点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线相交于，两点，且，求常数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用平方关系消去参数可得圆的方程, 由直线的极坐标方程,可得直角极坐标方程；（2）利用直线参数的几何意义、韦达定理将用表示，解方程即可求得常数的值. ‎ 试题解析：解：（1），，‎ 所以曲线的普通方程为：.‎ 考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、圆的参数方程及直线参数方程的应用.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）求函数的图象与轴围成的三角形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过三种情况讨论的范围，分别求解不等式组，最后求并集即可求出不等式的解集即可；（2）画出函数的图象，根据几何意义从而求出三角形的面积即可 .‎ 试题解析：原不等式等价于：① 或②或③.‎ 解①得：；解②得：；解③得：. ∴原不等式的解集是. ‎ ‎（2）依题意：.‎ ‎∴的图象与轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为，，.‎ ‎∴所求三角形的面积.‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数的图象及三角形面积公式.‎ ‎ ‎