数学卷·2018届黑龙江省大庆实验中学高二下学期开学数学试卷（文科）（解析版） 22页

‎2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）开学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（　　）‎ A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4）‎ ‎2．如图给出了计算S=++…+的值的程序框图，其中 ①②分别是（　　）‎ A．i＜30，n=n+2 B．i＞30，n=n+2 C．i＜30，n=n+1 D．i＞30，n=n+1‎ ‎3．为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（　　）‎ A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，15‎ ‎4．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（　　）‎ A．27 B．11 C．109 D．36‎ ‎5．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y m ‎3.2‎ ‎4.8‎ ‎7.5‎ 若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（　　）‎ A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5‎ ‎6．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎7．从集合A={﹣2，﹣1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={﹣1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线ax﹣y+b=0不经过第四象限的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．无数个 ‎9．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如果直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数f（x）=1+logmx（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+b﹣1）2+（y+a﹣1）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜‎ ‎0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[2，3] C．[﹣2，3] D．λ=3‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|=　　．‎ ‎14．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为　　．‎ ‎15．下列命题中真命题的序号为　　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0．”‎ ‎（2）若A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“”的充要条件 ‎（4）已知函数，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎16．已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．‎ ‎（Ⅰ）将C2的方程化为普通方程，并说明C2是哪种曲线．‎ ‎（Ⅱ）C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标（，），求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．‎ ‎（1）当α=135°时，求弦AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎20．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎（2）计算甲班的样本方差；‎ ‎（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知抛物线C：y2=4x，过点A（﹣1，0）的直线交抛物线C于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，设．‎ ‎（Ⅰ）试求x1，x2的值（用λ表示）；‎ ‎（Ⅱ）若λ∈[，]，求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）开学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（　　）‎ A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4）‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的28化为四进制，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：先将“二进制”数11100（2）化为十进制数为1×24+1×23+1×22=28（10）‎ 然后将十进制的28化为四进制：‎ ‎28÷4=7余0，‎ ‎7÷4=1余3，‎ ‎1÷4=0余1‎ 所以，结果是130（4）‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．如图给出了计算S=++…+的值的程序框图，其中 ①②分别是（　　）‎ A．i＜30，n=n+2 B．i＞30，n=n+2 C．i＜30，n=n+1 D．i＞30，n=n+1‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析要计算计算S=++…+的值需用“直到型”循环结构，按照程序执行运算．‎ ‎【解答】解：①的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，‎ 分母是从2到60，故条件是i＞30；‎ ‎②的意图为表示各项的分母，‎ 相邻分母相差2，‎ 故语句是n=n+2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（　　）‎ A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，15‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论．‎ ‎【解答】‎ 解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到005号，以后每隔10个号抽到一个人，‎ ‎∴抽取的号码构成以5为首项，d=10为公差的等差数列．‎ ‎∴an=10n﹣5．‎ 由10n﹣5≤155解得n≤16，即第一营区抽中的人数为16人．‎ 由156＜10n﹣5≤255，即n=17，18，…26，共有26﹣17+1=10人，即第二营区抽中的人数为10人．‎ 则第三营区的人数为40﹣16﹣10=14人．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（　　）‎ A．27 B．11 C．109 D．36‎ ‎【考点】中国古代数学瑰宝．‎ ‎【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，进而得出．‎ ‎【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，‎ ‎∴v0=1，‎ v1=1×3+0=3，‎ v2=3×3+2=11，‎ v3=11×3+3=36．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y m ‎3.2‎ ‎4.8‎ ‎7.5‎ 若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（　　）‎ A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m值．‎ ‎【解答】解：∵=2.5， =2.1x﹣1.25，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴m+3.2+4.8+7.5=16，‎ 解得m=0.5，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由条件求得公共弦所在的直线方程、一个圆的圆心到公共弦的距离，再利用垂径定理求得公共弦的长．‎ ‎【解答】解：圆O1的圆心为（1，0），半径r1=1，圆O2的圆心为（0，2），半径r2=2，‎ 故两圆的圆心距，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交．‎ 圆和圆两式相减得到相交弦所在直线方程x﹣2y=0，‎ 圆心O1（1，0）到直线x﹣2y=0距离为，由垂径定理可得公共弦长为2=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．从集合A={﹣2，﹣1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={﹣1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线ax﹣y+b=0不经过第四象限的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎【分析】‎ 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（a，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第四象限，符合条件的（a，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a∈A={﹣2，﹣1，1}，b∈B={﹣1，1，3}，‎ 得到（a，b）的取值所有可能的结果有：‎ ‎（﹣2，﹣1）；（﹣2，1）；（﹣2，3）；（﹣1，﹣1）；（﹣1，1）；（﹣1，3）；（2，﹣1）；（2，1）；（2，3）共9种结果．‎ 由ax﹣y+b=0得y=ax+b，当时，直线不经过第四限，符合条件的（a，b）有（2，1）；（2，3），2种结果，‎ ‎∴直线不过第四象限的概率P=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．无数个 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆方程求出a，b，c，判断椭圆的形状，确定满足题意的点的个数．‎ ‎【解答】解：由，得a=2，b=2，c=2．‎ ‎∵b=c=2，‎ ‎∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．‎ ‎∴PF1⊥PF2的点P的个数为2，即满足•=0的点P的个数为2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．‎ ‎【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，‎ 而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2‎ 故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．如果直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数f（x）=1+logmx（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+b﹣1）2+（y+a﹣1）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=1+logmx恒过一个定点（1，1）；‎ ‎∴ax+by=7（a＞0，b＞0）过定点（1，1），‎ ‎∴a+b=7①；‎ 又定点（1，1）在圆（x+b﹣1）2+（y+a﹣1）2=25的内部或圆上，‎ ‎∴（1+b﹣1）2+（1+a﹣1）2≤25，‎ 即a2+b2≤25②；‎ 由①②得，3≤a≤4，‎ ‎∴≤≤，‎ ‎∴=﹣1∈[，]，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[2，3] C．[﹣2，3] D．λ=3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[，2]时，2x+的最值，可得实数λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，‎ 即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，‎ 由x∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，‎ 故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 ‎ BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵PF⊥x轴，‎ ‎∴设M（﹣c，t），则A（﹣a，0），B（a，0），‎ AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），‎ 令x=0，则y=，即E（0，），‎ BN的斜率k=﹣，则BN的方程为y=﹣（x﹣a），‎ 令x=0，则y=，即N（0，），‎ ‎∵|OE|=2|ON|，‎ ‎∴2||=||，‎ 即=，‎ 则2（c﹣a）=a+c，‎ 即c=3a，‎ 则离心率e==3，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|=‎ ‎　16　．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=（x﹣1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．‎ ‎【解答】解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），‎ 直线AB的斜率为k=tan30°=，‎ 由直线方程的点斜式方程，设AB：y=（x﹣1），‎ 将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，‎ 整理得：x2﹣14x+1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=14，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎14．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为　　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离．‎ ‎【解答】解：把直线l的方程ρsin（θ+）=化为直角坐标方程为x+y﹣1=0，‎ 点A（2，）的直角坐标为（﹣，），故点A到直线l的距离为 =，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．下列命题中真命题的序号为　（1）　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0．”‎ ‎（2）若A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“”的充要条件 ‎（4）已知函数，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】直接写出全程命题的否定判断（1）；举例说明（2）（3）错误；求出函数的值域判断（4）．‎ ‎【解答】解：对于（1），命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0”，故（1）是真命题；‎ 对于（2），若A＞B，则sinA＞sinB，是假命题，如A=390°，B=60°；‎ 对于（3），已知数列{an}，由an，an+1，an+2成等比数列成等比数列有，反之，由，不一定有an，an+1，an+2成等比数列，‎ 如an=0，an+1=0，an+2=1，∴“an，an+1，an+2成等比数列”是“”的充分不必要条件，故（3）是假命题；‎ 对于（4），函数的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故（4）是假命题．‎ ‎∴真命题的序号为（1）．‎ 故答案为：（1）．‎ ‎　‎ ‎16．已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是　9　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最最大值．‎ ‎【解答】9解：双曲线双曲线上的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），‎ 则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，半径分别是r1=2，r2=1，‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，‎ ‎∴|PM|﹣|PN|的最大值=（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=6+3=9，‎ ‎|PM|﹣|PN|的最大值为9，‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．‎ ‎（Ⅰ）将C2的方程化为普通方程，并说明C2是哪种曲线．‎ ‎（Ⅱ）C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标（，），求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由C2的极坐标方程能将C2的方程化为普通方程，并能说明C2是哪种曲线．‎ ‎（Ⅱ）将C1的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0中，得：．由韦达定理能求出定点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）C2的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，‎ 化为普通方程：x2+y2﹣2x﹣3=0，‎ 即：（x﹣1）2+y2=4．‎ 故C2是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．‎ ‎（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线C1上，‎ 将C1的参数方程（t为参数），代入x2+y2﹣2x﹣3=0中，得：‎ ‎（1﹣）2+（1+）2﹣2（1﹣）﹣3=0，‎ 化简得：．‎ 设两根分别为t1，t2，‎ 由韦达定理知：，‎ 所以AB的长|AB|==，‎ 定点P到A，B两点的距离之积|PA|•|PB|=|t1t2|=3．‎ ‎　‎ ‎18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．‎ ‎（1）当α=135°时，求弦AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP垂直，故直线AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）当α=135°时，kAB=﹣1，直线AB：y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0‎ 设AB中点为M，则OM⊥AB，且平分弦AB．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，而kOP=﹣2，‎ ‎∴．‎ ‎∴弦AB所在直线的方程为：x﹣2y+5=0．‎ ‎　‎ ‎19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；‎ ‎（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， =‎ ‎==2，‎ 故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，‎ 故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，‎ 故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．‎ ‎　‎ ‎20．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎（2）计算甲班的样本方差；‎ ‎（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，可得乙班平均身高较高．‎ ‎（2）先求出甲班的平均身高，再利用样本方差公式计算求得结果．‎ ‎（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件一一列举共10个，而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，由此求得身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，‎ 因此乙班平均身高高于甲班．‎ ‎（2）甲班的平均身高为 ==170，‎ 故甲班的样本方差为 [2+2+2+2+2‎ ‎+2+2+2+2+2]‎ ‎=57．‎ ‎（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件有：‎ ‎、、、、、、‎ ‎、、、，共有10个．‎ 而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，‎ 故身高为176cm的同学被抽中的概率等于=．‎ ‎　‎ ‎21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F'（﹣2，0），利用已知条件列出方程，求出a，c然后求解b，即可得到椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为 ‎．联立直线与椭圆方程，利用判别式△≥0，推出t的范围，利用点到直线的距离公式公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F'（﹣2，0），‎ 从而有，解得，又a2=b2+c2，∴b2=12．‎ 故椭圆C的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为．‎ 由得3x2+3tx+t2﹣12=0．‎ ‎∵直线l与椭圆C有公共点，∴△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得．‎ 另一方面，直线OA与l的距离等于4，可得，从而．‎ 由于，∴符合题意的直线l不存在．‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：y2=4x，过点A（﹣1，0）的直线交抛物线C于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，设．‎ ‎（Ⅰ）试求x1，x2的值（用λ表示）；‎ ‎（Ⅱ）若λ∈[，]，求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得x1+1=λ（x2+1），y1=λy2‎ ‎，代入抛物线方程可得：λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ﹣1）=（λ﹣1），即可求得x2=，x1=λ；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得x1•x2=1， •=16，求得y1•y2=4，根据两点之间的距离公式求得|PQ|的表达式，由λ∈[，]，根据二次函数的性质即可求得|PQ|最大值，求得λ的值，求得P和Q的坐标，求得直线PQ的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，﹣y1）‎ ‎∵，‎ ‎∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，‎ ‎∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2‎ ‎∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ﹣1）=（λ﹣1），‎ ‎∵λ≠1，‎ ‎∴x2=，x1=λ，…5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，从而x1•x2=1， •=16，x1•x2=16，‎ 从而有y1•y2=4，‎ 则…‎ 由于λ∈[，]，则，‎ 根据二次函数的知识得：当λ+=，即λ=时，|PQ|有最大值，…‎ 此时P（，±），Q（3，±2），‎ 直线PQ的方程为：…‎