2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第一次统考数学（理）试题 Word版 9页

舒城中学2018-2019学年度第二学期第一次统考 高二理数 命题： 审题：‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。）‎ ‎1.已知集合若，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题在第一象限单调递增，命题,则下列命题中为真命题的是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若是函数的两个不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 （ ）‎ A.6 B‎.7 ‎ C.8 D.9‎ ‎4.如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列E F C N M A B D 命题：‎ ‎（1）与所在直线平行；‎ ‎（2）与所在直线异面；‎ ‎（3）与所在直线成角；‎ ‎（4）与所在直线互相垂直。其中正确命题的 ‎ 个数是 ‎ ‎ （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若 ‎ ‎，,,则的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知点，若圆上存在点（不同于点）使得，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D ‎8.已知函数，则不等式的解集为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数，则下列结论错误的是 （ ）‎ A.既是偶函数又是周期函数 B.的最大值是1‎ C．的图像关于点对称 D.的图像关于直线对称 ‎10.记已知向量满足 ‎ 且，则当取最小值时，= （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知为双曲线的右焦点，为双曲线的右准线，为双曲线右支上两个动点，且，线段的中点在上的投影为，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知在棱长为的大正四面体内放一个小正四面体。若小四面体可在大四面体内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设满足约束条件则的最大值为 。‎ ‎14.若，则 。‎ ‎15.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选种菜的，下星期一会有﹪改选种菜；而选种菜的，下星期一有﹪改选种菜。用分别表示在第个星期选的人数和选的人数，如果，则 。‎ ‎16.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 。‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在中，角的对边分别为，且。‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若角边上中线，求的面积。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体中，已知，且。‎ ‎（1）求证：；‎ A B C D ‎（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值。‎ 舒中高二统考理数 第3页 (共4页)‎ 舒中高二统考理数 第4页 (共4页)‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于有 ‎ (1)若时，求的最小值；‎ ‎（2）若时，求的值。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 函数是定义在上的函数，且满足下列条件：‎ ‎①；②时，；③对时，有。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断并证明函数在上的单调性；‎ ‎（3）解不等式：。‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知圆心为的圆和定点是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线相交于和，求的取值范围。‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，函数的图像与轴交于两点，且，且正常数满足条件，求证：。‎ 参考答案 一．选择题：BCDBD AAABA CB 二．填空题：13.8 14. 15.300 16.‎ 三．解答题：‎ ‎17：‎ ‎（1）由得 又所以，又，所以。‎ ‎（2）由知。在中由余弦定理得 ‎，求得，所以。‎ D E x A B y O C z ‎18：‎ ‎（1）取中点，连结，因为 ‎，所以。又，‎ ‎，‎ 所以。又，‎ 所以。又，所以。‎ ‎（2）由（1）知，即二面角的平面角，即。‎ 过作平面的垂线，垂足为，由（1）知，点在的延长线上，所以，建立空间直角坐标系。因为所以。‎ 所以 所以，则，‎ ‎，设平面的法向量，则即 取，则得平面的法向量。‎ 设与平面所成角为，则 ‎19：‎ ‎（1）因为，当时，不为正整数，与题设矛盾。‎ 当时，必为偶数，此时 由得。于是，要使为正整数且最小，则，从而 ‎（2）由得易知为周期为的摆动数列，且易得 于是 由此可得，当 ‎20：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）利用单调性的定义得在上单调递减；‎ ‎（3）构造函数利用单调性得不等式的解集为。‎ ‎21：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎ ①当直线的斜率不存在和等于零时，；‎ ‎ ②当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率也存在，于是可设直线的方程为，则直线的方程为。将直线的方程与曲线的方程联立得：，‎ 将换成得 令，则，‎ ‎。由得。‎ 综合①②得的取值范围是。‎ ‎22：‎ ‎（1）因为，所以。因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根。由得：‎ ‎。又当时，有重根，‎ 综上得。‎ ‎（2）因为，又有两个实根，所以 两式相减得，‎ 则。‎ 于是 ‎。‎ 因为且，则，所以。‎ 要证明，可尝试证明，只需证明。令，证明即可。‎ 在上单调递增，。‎ 故成立。‎