【推荐】专题03 直击含参函数的单调性问题-2018版高人一筹之高三数学（文）二轮复习特色专题训练 17页

‎]一、单选题 ‎1．若上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎2．若函数在上是单调递增函数，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 或 ，选C 点睛：二次函数的图象，主要有以下三个要点（1）开口（2）对称轴（3）特殊点（如与坐标轴的交点，顶点等）从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象与性质．‎ ‎3．若在定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知 若在上为单调递增函数，则在上恒成立 ‎∴，即 故选D.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：‎ ‎（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；‎ ‎（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.‎ 二、填空题 ‎4．若函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 且由 ，解得 ‎ 点睛：函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.‎ ‎5．若函数在区间单调递增，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性。首先求出导函数，由于函数 在区间单调递增，可得在区间恒成立，解出即可得到的取值范围。‎ ‎6．已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：‎ ‎（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；‎ ‎（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.‎ ‎7．设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则 ‎（ⅰ）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即 ‎（ⅱ）若 方程的正根为 ‎ 此时，若则，故在该区间为减函数． 所以， 时， 即与题设相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数运算，以及利用导数求闭区间上函数的最值．其中构造新函数讨论其性质是解题的关键 三、解答题 ‎8．已知函数（， ）.‎ ‎（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最大值为8，最小值为（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值；‎ ‎（2）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.‎ 而的两根为， ， ‎ 若， 都在上，则解集为空集，这种情况不存在；‎ 若有一个根在区间上，则或，‎ ‎∴‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎9．已知函数.‎ ‎(1)若，求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2)讨论的单调性；‎ ‎(3)若函数在上无零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减（3）‎ 试题解析：(1) 时， ，‎ ‎∴，故切点为.‎ 又，∴，‎ 故切线方程为，即.‎ ‎(2) ，‎ 当时， ，此时在上单调递减；‎ 当时，令得， (舍)，‎ 当时， ；当时， ，即在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述：当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎10．已知函数（其中）.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再讨论二次方程根的个数与大小，确定导函数符号，进而确定函数单调性（2）先将不等式转化为函数最值问题： ，再结合（1）讨论函数最小值取法，最后根据不等式解集得的取值范围.‎ ‎（2）由（1）知，（i）若，‎ 当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎，故对不恒成立；‎ 当时，即时， 在上单调递增， ‎ ‎（ii）若在上单调递增，则，故；‎ 综上所述， 的取值范围为.‎ ‎11．已知函数.‎ ‎(1) 求的单调区间；‎ ‎(2) 讨论在上的零点个数.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 试题解析：‎ ‎⑴因为，‎ 所以，‎ ‎①当时，则恒成立，‎ 所以的单调递増区间为，‎ ‎②当时，‎ 令得，‎ 令得，‎ 所以的单调递増区间为，单调递减区间为．‎ 综上：当时， 的单调递増区间为；‎ 当时， 的单调递増区间为，单调递减区间为．‎ 故当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．‎ 所以当时， 有极大值，也为最大值，且，‎ 又当时， ，当时， ， ‎ 所以当时， 有1个零点，‎ 当时， 有2个零点．‎ 综上，当时，函数无零点；当时， 有1个零点；当时， 有2个零点．‎ 点睛：研究方程根的个数（或函数的零点个数）时，可以通过分离参数的方法转化为判断（为参数）根的情况的问题，然后通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，并在此基础上画出函数的大致图象，通过数形结合的思想去分析解决问题，这样可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．‎ ‎12．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分情况讨论的范围，求出，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ） 恒成立， 恒成立，令，分三种情况讨论的范围，分别利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，筛选出符合题意的实数的取值范围即可. ‎ ‎（Ⅱ）即恒成立 令 ‎ ‎ 令， ‎ ‎（1）当时， ，函数在上单调递增，‎ 因为，所以， 时， ，符合题意； ‎ ‎（2）当 时， ，方程有两不等式根，‎ 又且对称轴 ，可得 ‎ 所以，函数在上单调递增，‎ 又，所以， 时， ，符合题意； ‎ ‎ ‎ ‎13．已知函数（其中）.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，且，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析:（1）先求导数，根据二次方程判别式讨论导函数符号，根据导数符号确定单调性（2）先根据极值点化简所证不等式为： ；再利用导数研究函数的单调性，最后根据单调性确定不等式成立 试题解析：（1）‎ 定义域为 当时， ；当时，‎ 令，解或； ，解 当时，令，得； ，得；‎ 所以当在上单调递增；‎ 当时， 的单调递增区间为；‎ 单调递减区间为；‎ 当时， 的单调递减区间为；‎ 单调递增区间为；‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎14．已知函数， .‎ ‎（1）当时，求函数的曲线上点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求的单调区间；‎ ‎（3）若有两个极值点， ，其中，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) 见解析(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，得到结果；（2）对函数求导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（3）构造函数研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，进而得到函数最值。‎ ‎（2）由题意得： ， ‎ ‎ ‎ 令 当时， ， 在上单调递增.‎ ‎②当时，令，解得： 或 令，解得： ‎ 综上，当时， 的单调增区间为，‎ 当时，单调增区间为， ‎ 单调减区间为 点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎15．已知函数.‎ ‎（1）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）当时，证明： （其中为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)证明见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ；（2）对函数求导，分类讨论导函数的正负，得到单调区间；（3）由 知需证明.，对函数求导，研究函数的最值即可。‎ ‎（2）的定义域为 ‎ ‎ 当，即当时，由解得或 当时， ， ‎ 当，即当时，由解得或 综上：当时， 的单调递增区间是， ‎ 当时， 的单调递增区间是 当时， 的单调递增区间是， ‎ ‎（3）当时，由 知需证明 令 ， ‎ 设，则 当时， ， 单调递减 当时， ， 单调递增 ‎∴当时， 取得唯一的极小值，也是最小值 的最小值是 ‎ 另解：证明（“”不能同时成立）‎ 点睛：点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和。‎ ‎16．已知函数， （为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）若是的极值点，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递增区间．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求导数,再根据，得实数的值；（2）先求导函数零点,再根据两零点大小分类讨论,根据对应导函数符号确定单调增区间。‎