数学理卷·2018届四川省资阳市高三第二次诊断性考试（2018 11页

资阳市高中2015级第二次诊断性考试 理科数学 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．复数z满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎3．已知命题p：，；命题q：，，则 A.“”是假命题 B.“”是真命题 C.“”是真命题 D.“”是假命题 ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．设实数满足则的最小值为 A. －5 B.－4 C.－3 D.－1‎ ‎6．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：‎ ‎ 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果 ‎7．某程序框图如图所示，若输入的分别为12，30，则输出的 A. 2 ‎ B. 4‎ C. 6‎ D. 8‎ ‎8．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．在三棱锥中，底面ABC，，，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎10．过抛物线C1：焦点的直线l交C1于M，N两点，若C1在点M，N处的切线分别与双曲线C2：的渐近线平行，则双曲线C2的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：‎ ‎① 函数的周期可以为；‎ ‎② 函数可以为偶函数，也可以为奇函数；‎ ‎③ 若，则可取的最小正数为10．‎ 其中正确结论的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．二项式的展开式中的系数为 . ‎ ‎14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 . ‎ ‎15．如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 m.‎ ‎16．已知函数如果使等式成立的实数分别都有3个，而使该等式成立的实数仅有2个，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求成立的正整数的最小值.‎ ‎18．（12分）‎ 某地区某农产品近几年的产量统计如下表：‎ 年 份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y（万吨）‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎7‎ ‎7.1‎ ‎7.2‎ ‎7.4‎ ‎（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若近几年该农产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完．‎ ‎① 根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018（）年该农产品的产量；‎ ‎② 当（）为何值时，销售额最大？‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，E，F分别为AC，的中点. ‎ ‎（1）求证：直线EF∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C：的离心率，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．‎ ‎① 求证：直线MN的斜率为定值；‎ ‎② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当有两个极值点时，‎ ‎① 求a的取值范围；‎ ‎② 若的极大值小于整数m，求m的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一动点，的中点为，求点到直线的最小值．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数（其中）．‎ ‎（1）当a＝－4时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．‎ 资阳市高中2015级第二次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。‎ ‎13. 35；14. ；15. 12；12. ．‎ 三、解答题：本大题共70分。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ ‎（1）当时，，解得，‎ 当时，，. 则，所以，‎ 所以是以为首项，2为公比的等比数列. ‎ 故. 4分 ‎（2）, ‎ 则①‎ ‎② ‎ ‎①－②得：.‎ 所以．‎ 由得.‎ 由于时，；时，.‎ 故使成立的正整数的最小值为. 12分 ‎18．（12分）‎ ‎（1）由题，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，又，得，‎ 所以y关于t的线性回归方程为． 6分 ‎（2）① 由（1）知，当时，，‎ 即2018年该农产品的产量为7.56万吨．‎ ‎② 当年产量为y时，销售额（万元），‎ 当时，函数S取得最大值，又因，‎ 计算得当，即时，即2018年销售额最大. 12分 ‎19.（12分）‎ ‎（1）取的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，的中点，‎ 所以FG∥．又平面，平面，‎ 所以FG∥平面．又AE∥且AE＝，‎ 所以四边形是平行四边形．‎ 则∥．又平面，平面，‎ 所以EG∥平面．‎ 所以平面EFG∥平面．又平面，‎ 所以直线EF∥平面． 6分 ‎（2）令AA1＝A1C＝AC＝2，‎ 由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E平面A1AC，‎ 则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0)，．‎ 所以，，，‎ 令平面A1BC的法向量为，‎ 由则令，则．‎ 令平面B1BC的法向量为，‎ 由则令，则．‎ 由，故二面角的余弦值为. 12分 ‎20.（12分）‎ ‎（1）由，设椭圆的半焦距为，所以，‎ 因为C过点，所以，又，解得，‎ 所以椭圆方程为． 4分 ‎（2）① 显然两直线的斜率存在，设为，，‎ 由于直线与圆相切，则有，‎ 直线的方程为， 联立方程组 消去，得，‎ 因为为直线与椭圆的交点，所以，‎ 同理，当与椭圆相交时，，‎ 所以，而，‎ 所以直线的斜率．‎ ‎② 设直线的方程为，联立方程组 消去得，‎ 所以，原点到直线的距离，‎ 得面积为，‎ 当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．‎ 所以面积的最大值为． 12分 ‎21．（12分）‎ ‎（1）由题．‎ 方法1：由于，，，‎ 又，所以，从而，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分 方法2：令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数．‎ 故在时取得极大值，也即为最大值．‎ 则．由于，所以，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分 ‎（2）令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数．‎ 当x趋近于时，趋近于．‎ 由于有两个极值点，所以有两不等实根，‎ 即有两不等实数根（）．‎ 则解得．‎ 可知，由于，则．‎ 而，即（#）‎ 所以，于是，（*）‎ 令，则（*）可变为，‎ 可得，而，则有，‎ 下面再说明对于任意，，．‎ 又由（#）得，把它代入（*）得，‎ 所以当时，恒成立，‎ 故为的减函数，所以． 12分 所以满足题意的整数m的最小值为3.‎ ‎（二）选考题：共10分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎（1）由得的普通方程．‎ 又由，得，‎ 所以，曲线的直角坐标方程为，即． 4分 ‎（2）设，，则，‎ 由于P是的中点，则，所以，‎ 得点的轨迹方程为，轨迹为以为圆心，1为半径的圆．‎ 圆心到直线的距离．‎ 所以点到直线的最小值为． 10分 ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ ‎（1）当a=－4时，求不等式，即为，‎ 所以|x－2|≥2，即x－2≤－2或x－2≥2，‎ 原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}． 4分 ‎（2）不等式即为|2x+a|+|x－2|≥3a²－|2－x |，‎ 即关于x的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a²恒成立．‎ 而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|，‎ 所以|a＋4|≥3a²，‎ 解得a＋4≥3a²或a＋4≤－3a²，‎ 解得或．‎ 所以a的取值范围是． 10分