数学卷·2018届广东省清远一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版） 23页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省清远一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．命题p：A1，A2是互斥事件：命题q：A1，A2是对立事件，那么（　　）‎ A．p是q的必要但不充分条件 B．p是q的充分但不必要条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，也不q的必要条件 ‎2．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（　　）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A．16 B．18 C．20 D．22‎ ‎3．甘班全体同学某次考试数学成绩（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则图中x的值等于（　　）‎ A．0.012 B．0.018 C．0.12 D．0.18‎ ‎4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，，若，，三向量共面，则实数y的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．某校共有学生3000名，各年级男、女生人数如表所示，已知高一、高二年级共有男生1120人，现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为（　　）‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎456‎ ‎424‎ y 男生 ‎644‎ x z A．16 B．18 C．20 D．24‎ ‎8．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数f（x）=axn（2﹣x）2在区间[0，2]上的图象如图所示，则n的值可能是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎10．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线x2=2py（p＞0）的弦AB的中点的纵坐标为3，且|AB|的最大值为8，则p的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎12．已知函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx无极值点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1] C．（﹣2，0）∪（0，1] D．（﹣∞，]∪{1}‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是　　．‎ ‎14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是　　．‎ ‎15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是　　．‎ ‎16．已知点P是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2‎ 的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）解不等式＞0‎ ‎（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．‎ ‎18．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．‎ ‎（Ⅰ）求C的大小 ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．‎ ‎19．在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列 ‎（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立．‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C ‎（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．‎ ‎21．设F1，F2分别是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=‎ ‎（Ⅰ）求E的离心率 ‎（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．‎ ‎22．已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．命题p：A1，A2是互斥事件：命题q：A1，A2是对立事件，那么（　　）‎ A．p是q的必要但不充分条件 B．p是q的充分但不必要条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，也不q的必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据互斥事件和对立事件的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：根据互斥事件和对立事件的定义可知，‎ 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，‎ 故p是q的必要不充分条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（　　）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A．16 B．18 C．20 D．22‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出的值，从而求出a的值．‎ ‎【解答】解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：‎ ‎=×（2+3+4+5+6）=4，‎ 由回归直线经过样本中心点，‎ 得=4×4﹣4=12，‎ 即=×（3+7+11+a+21）=12，‎ 解得a=18．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．甘班全体同学某次考试数学成绩（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则图中x的值等于（　　）‎ A．0.012 B．0.018 C．0.12 D．0.18‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率和为1，列出方程求出x的值．‎ ‎【解答】解：根据频率和为1，得 ‎0.006×10×3+0.01×10+0.054×10+10x=1，‎ 解得x=0.018．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】利用对立事件概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，‎ ‎∴当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：‎ p=1﹣=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知，，，若，，三向量共面，则实数y的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】，，三向量共面，存在实数m，n，使得=m+n，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，，三向量共面，‎ ‎∴存在实数m，n，使得=m+n，‎ ‎∴，解得m=1，n=2，y=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S＞2，退出循环体，输出n的值为5．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 A=2，S=0，n=1‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=1，n=2‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=3‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=4‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=5‎ 满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．某校共有学生3000名，各年级男、女生人数如表所示，已知高一、高二年级共有男生1120人，现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为（　　）‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎456‎ ‎424‎ y 男生 ‎644‎ x z A．16 B．18 C．20 D．24‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求出高三学生数是多少，再求用分层抽样法在高三年级抽取的学生数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，‎ 高一、高二学生总数是1120+=2000，‎ ‎∴高三学生总数是3000﹣2000=1000；‎ 用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为=20．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据空间向量的线性表示，用、和分别表示出和，求和即可．‎ ‎【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，‎ M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，‎ ‎∴=++‎ ‎=++‎ ‎=++，‎ ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=+；‎ ‎∴=（++）+（+）‎ ‎=++．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=axn（2﹣x）2在区间[0，2]上的图象如图所示，则n的值可能是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先求导，再结合图象和导数和函数的关系，得到f（x）在x=处有极大值，也是最大值，即可得到1＜＜1.5，判断即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=axn（2﹣x）2，‎ ‎∴f′（x）=anxn﹣1×（2﹣x）2+axⁿ×2（2﹣x）×（﹣1）=axn﹣1（x﹣2）（x﹣），‎ ‎∵=1﹣＜1，‎ ‎∴x﹣＜2，‎ 当0＜x＜时 f（x）'＞0，‎ 当＜x＜2时 f（x）'＜0，‎ ‎∴f（x）在x=处有极大值，也是最大值，‎ ‎∵在图中最大值在1到1.5之间，‎ ‎∴1＜＜1.5，‎ 解得2＜n＜6，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，‎ 则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．‎ ‎【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 如下图所示：‎ 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），‎ ‎=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），‎ 设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），‎ 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线x2=2py（p＞0）的弦AB的中点的纵坐标为3，且|AB|的最大值为8，则p的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B中点的纵坐标为4，知y1+y2=6，由|AB|=y1+y2+p，弦AB的长度，可得结论．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵A、B中点的纵坐标为3，‎ ‎∴y1+y2=6，‎ 当弦AB过焦点时，|AB|取最大值，‎ 此时|AB|=y1+y2+p=6+p=8，‎ ‎∴p=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx无极值点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1] C．（﹣2，0）∪（0，1] D．（﹣∞，]∪{1}‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx（x＞0），f′（x）=（2x﹣2m）lnx+（x﹣2m+）=（2xlnx+x﹣m）．当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，可得函数f（x）单调递增，满足函数f（x）取极值．对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x2﹣2mx+m2）lnx（x＞0），f′（x）=（2x﹣2m）lnx+（x﹣2m+）=（2xlnx+x﹣m）．‎ 当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增，满足函数f（x）无极值．‎ ‎①m＞1时，只要求x∈（0，m）时，f′（x）≥0即可，只需2xlnx+2x﹣m≤0即可．∴m≥2x+2xlnx，‎ 令g（x）=x+2xlnx，g′（x）=3+2lnx，可得函数g（x）的图象：‎ ‎∴m＞g（m）=m+2mlnm，解得：m＜1，舍去．‎ ‎②m=1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，即1≥g（x）．‎ 而g（x）max=g（1）=1，成立，即m=1满足条件．‎ ‎③当0＜m＜1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≥g（x）max=g（1）=1，不符合题意，舍去．‎ ‎④当m≤0时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≤g（x）min==﹣2，即m≤﹣2．‎ 综上可得：m的取值范围是∪{1}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是　120°　．‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．‎ ‎【解答】解： =（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），‎ cos＜，＞===﹣，‎ ‎∴θ=＜，＞=120°．‎ 故答案为120°‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是　﹣5　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．‎ ‎【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，‎ 则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，‎ 当且仅当lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等号，‎ 即有f（x）的最大值为﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ ‎15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是　　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】根据=++，求模长即可．‎ ‎【解答】解：∵=++，‎ ‎∴||2=12+12+12+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos90°=5，‎ ‎∴||=，即A1C的长是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知点P是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可设|PF1|=m，|PF2|‎ ‎=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，‎ 由双曲线的定义可得n﹣m=2a，①‎ 设F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 由=0，可得三角形F1PF2是以P为直角顶点的三角形，‎ 即有m2+n2=4c2，②‎ 直线ON的方程为y=x，‎ 由题意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，‎ 即有=，③‎ 由①③可得m=，n=，‎ 代入②可得+=4c2，‎ 由c2=a2+b2，可化为a2=（b﹣a）2，‎ 可得b=2a，‎ c==a，‎ 则e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）解不等式＞0‎ ‎（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）由=＞0，利用穿根法，即可求得不等式的解；‎ ‎（2）将不等式转化成由基本不等式的性质即可求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．‎ ‎【解答】解：（1）由不等式=＞0，‎ 由穿根法可知：﹣2＜x＜1，或x＞3，‎ ‎∴不等式的解集为{x丨﹣2＜x＜1，或x＞3}；‎ ‎（2）证明（﹣1）（﹣1）（﹣1）=••，‎ ‎=≥=8，‎ 当且仅当a=b=c时取等号，‎ ‎　‎ ‎18．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．‎ ‎（Ⅰ）求C的大小 ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，‎ 所以p≤﹣2，或p≥．‎ 由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．‎ 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，‎ 从而tan（A+B）==﹣=﹣．‎ 所以tanC=﹣tan（A+B）=，‎ 所以C=60°．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，‎ 解得B=45°，或B=135°（舍去）．‎ 于是，A=180°﹣B﹣C=75°．‎ 则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．‎ 所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．‎ ‎　‎ ‎19．在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列 ‎（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）由an+1=4an﹣3n+1，变形an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．即可证明．‎ ‎（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1，解得an=n+4n﹣1，利用等差数列与等比数列的求和公式可得：Sn，Sn+1．作差4Sn﹣Sn+1即可得出．‎ ‎【解答】证明：（I）∵an+1=4an﹣3n+1，∴an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．‎ ‎∴数列{an﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4．‎ ‎（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1，解得an=n+4n﹣1，‎ Sn=+=+．‎ Sn+1=+．‎ ‎∴4Sn﹣Sn+1=4×+4×﹣﹣=﹣1=≥0．‎ ‎∴Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C ‎（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得到所用点的坐标，求得的坐标，由两向量的数量积为0说明BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D，‎ ‎∴B（2，0，0），C（0，，0），A1（0，0，），D（，，）．‎ 则，，‎ ‎∴．‎ ‎∴BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）解：设平面BDA1的一个法向量为，，，‎ ‎∴，取z=2，则；‎ 设平面A1DC的一个法向量为，，，‎ ‎∴，取y=1，得．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣A1D﹣C的大小为arccos．‎ ‎　‎ ‎21．设F1，F2分别是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=‎ ‎（Ⅰ）求E的离心率 ‎（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，利用根与系数的关系代入|AB|==，化简即可得出．‎ ‎（II）设线段AB的中点M（x0，y0）．可得x0==﹣．y0=x0+c．根据点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，kPM•kAB=﹣1，解得c．a2=b2+c2=2b2，解得b，a．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ ‎|AB|===，‎ 化为：a2=2b2．‎ ‎∴e===．‎ ‎（II）设线段AB的中点M（x0，y0）．‎ x0==﹣=﹣．y0=x0+c=c．‎ ‎∵点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，‎ ‎∴kPM•kAB=×1=﹣1，解得c=3．‎ ‎∴a2=b2+c2=2b2，解得b=c=3，a2=18．‎ ‎∴椭圆E的方程为=1．‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2‎ 的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB．‎ ‎（2）假设存在实数k，使成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入求得k．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），‎ 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，‎ 由韦达定理得，x1x2=﹣1，‎ ‎∴，∴N点的坐标为．‎ 设抛物线在点N处的切线l的方程为，‎ 将y=2x2代入上式得，‎ ‎∵直线l与抛物线C相切，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=k，即l∥AB．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB，‎ 又∵M是AB的中点，∴．‎ 由（Ⅰ）知=．‎ ‎∵MN⊥x轴，‎ ‎∴．‎ 又=．‎ ‎∴，‎ 解得k=±2．‎ 即存在k=±2，使．‎