2017-2018学年四川省德阳五中高二下学期期中考试数学试题（Word版） 12页

‎2017-2018学年四川省德阳五中高二下学期期中考试数学试题 2018-5-18‎ 命题人： 审题人：‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共22小题，共150分，共4页。完卷时间120分钟。考试结束后，将答卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A=，B=，则A∩B=(　 　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　 　)‎ A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直 ‎3.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4．下列有关命题的说法正确的是( )‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．‎ B． “” 是“”的必要不充分条件.‎ C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ D．命题“使得”的否定是：“均有”．‎ ‎5.（理科）将、、、四个球放入编号为1、2、3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且、两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎（文科）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( )‎ ‎ A．=1.23x＋4 B．=1.23x+5 C．=1.23x+0.08 D．=0.08x+1.23‎ ‎6．（理科）曲线与坐标轴所围成面积是（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．3‎ ‎（文科）观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )‎ A．28,27,123; B．13,39,123; C．24,23,123; D．42,41,123.‎ ‎7.在中，角所对边长分别为若则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．64 B．32 ‎ C．96 D．48‎ ‎11．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）‎ ‎13．（理科）展开式的常数项为______________（用数字作答）．‎ ‎（文科）在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．　‎ ‎14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为________.‎ ‎15.从（其中m，n∈{ –1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为____________.‎ ‎16.,底面为等边三角形，且,求三棱锥外接球的表面积______________.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本题满分10分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)经计算估计这组数据的中位数；‎ ‎（Ⅱ）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个质量在内的概率.‎ ‎18. （本题满分12分）已知等比数列的前项和为，满足，.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式； （Ⅱ）记，求的最大值.‎ ‎19. （本题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值．‎ ‎(Ⅰ)求a，b的值； （Ⅱ）判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．‎ ‎20. （本题满分12分）如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，E是线段上的点,，.‎ ‎(Ⅰ)求证:⊥；‎ ‎（Ⅱ）（文科）求三棱锥的体积.‎ ‎ （理科）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21. （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求证：直线过定点.‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数 ‎ (Ⅰ)求函数在处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设且在时恒成立，求整数的最大值.‎ ‎1．已知集合A=，B=，则A∩B=(　 B　)‎ ‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎2．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　D　)‎ A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直 ‎3.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( A )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4．下列有关命题的说法正确的是( C )．‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．‎ B． “” 是“”的必要不充分条件.‎ C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ D．命题“使得”的否定是：“均有”．‎ ‎5.将、、、四个球放入编号为1、2、3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且、两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎（文科）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( C )‎ ‎ A．=1.23x＋4 B．=1.23x+5 C．=1.23x+0.08 D．=0.08x+1.23‎ ‎6．曲线与坐标轴所围成面积是（ D ）‎ A．4 B．2 C．1 D．3‎ ‎（文科）观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( D )‎ A．13,39,123 B．24,23,123 C．28,27,123 D．42,41,123‎ ‎7.在中，角所对边长分别为若则的最小值为（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( B )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（ D ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）‎ A．64 B．32 ‎ C．96 D．48‎ ‎11．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 （B ）‎ ‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ C ） A． B． C． D．‎ ‎13．展开式的常数项为______-160________（用数字作答）．‎ ‎（文科）在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．　 ‎14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.13‎ ‎15.从（其中m，n∈{ –1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为___4/7_________.‎ ‎16.,底面为等边三角形，且,求三棱锥外接球的表面积______________.‎ ‎17. （本题满分10分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.‎ ‎0.008‎ ‎0.004‎ ‎0.003‎ ‎0.002‎ ‎0.001‎ 频率/组距 ‎ 100 150 200 250 300 350 400质量（克）‎ ‎(1) 经计算估计这组数据的中位数；‎ ‎(2)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个在内的概率.‎ 解：（1）由图像频率分布50%的竖线估计该样本的中位数为268.75 （过程适当给分）（4分）‎ ‎（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.‎ 设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率. （10分）‎ ‎18. （本题满分12分）已知等比数列的前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的通项公式； (2)记，求的最大值.‎ ‎18.:解：（Ⅰ）设的公比为，由得，,‎ 所以， 所以.又因为所以， 所以 ‎.所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以， ‎ ‎，所以是首项为，公差为的等差数列， ‎ 所以当时，‎ 所以当或时，的最大值为. ‎ ‎19. （本题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值．‎ ‎(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．‎ 解：(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋.‎ 又函数f(x)在x＝1处有极值，‎ 所以即解得 ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′ (x)＝x－＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．‎ ‎20. （本题满分12分）如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，E是线段上的点,，.‎ ‎（1）求证:⊥；‎ ‎（2）（文科）求三棱锥的体积.‎ ‎ （理科）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎（文科）解：（1）连接CA.……1分 在△ABC和△ADC中，‎ AB=AD,CD=CB, AC=AC，∴△ABC≌△ADC. ……..…2分 ‎∴∠BAC=∠DAC，从而AC⊥BD.…………………………3分 ‎（或者∵AB=AD,CD=CB，∴A和C都在BD的中垂线上.…2分 从而AC是BD的中垂线，即AC⊥BD. ……...................…3分）‎ A1A⊥平面ABCD，BD⊥A1A..…………………........…4分 A1A与AC相交于A, BD⊥平面A1AC C1. …….............…5分 CE在平面A1AC C1, ⊥. ........................................6分 ‎（2）设M是BD的中点，连接EM和.……………………...…7分 由（1）得BM⊥平面.…………………………....…..…8分 ‎ ∵，，‎ ‎∴的高为AC=2， …………………………………………...………9分 三棱锥B—CC1E的高BM=.……………………………………...……10分 ‎∴的面积S=………………………………...……11分 故.............................12分 ‎（理科）(几何法)解法一：（同文科）‎ ‎（2）设N是CD的中点,过N作NF⊥于F,连接FB,如图.......................7分 ‎, NB⊥CD.‎ 侧面⊥底面ABCD, NB⊥侧面.....8分 ‎ NF⊥,BF⊥‎ ‎∠BFN是二面角的平面角.........9分 依题意可得NB =, NF =,BF =........11分 ‎∠BFN==二面角的平面角的余弦值为..........12分 解法二：连接CA.…………………………………………1分 ，∴△BCD是等边三角形， ，∴，即DA⊥DC. …2分 分别以DA，DC，DD1所在直线为轴，建立空间直角坐标系，……3分 ‎，……………………………..…4分 ‎∴.…………………………………………..…5分 ，∴，即.………………………6分 ‎（2），⊥平面，是平面的一个法向量.....8分 ‎ ,， ，‎ 设平面的法向量是,则，，‎ 取得.平面的法量................10分 ‎【另解：由（1）知当时，⊥平面，则平面的法向量是 ‎=】 .................11分 由图可知二面角的平面角的余弦值为................12分 ‎21. （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：直线过定点.‎ 解：（Ⅰ），‎ 当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1，‎ 而，故椭圆C标准方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设，且，， ‎ 由题意知的斜率必存在，设BP：，代入得 ‎，得， ‎ AE斜率必存在，AE： ‎ 由对称性易知直线AE过的定点必在轴上，则当时，得 ‎ ‎ 即在的条件下，直线AE过定点（1，0）‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数 ‎ （1）求函数在处的切线方程；‎ ‎ （2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设且在时恒成立，求整数的最大值.‎