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- 2021-06-10 发布
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章末复习
1.判断函数的单调性
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间;
(2)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.
2.利用导数研究函数的极值要注意
(1)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧领域而言的.
(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有极值点,函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.
(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点,但函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是加上这点两侧的导数异号.
3.求函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如:f(x)=x3,x∈(-1,1).
(2)求函数最值的步骤
一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
4.应用导数解决实际问题,关键在于建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在区间内只有一个点x0,使f′(x0)=0,则f(x0)是函数的最值.
题型一 利用导数求函数的单调区间
在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.
例1 已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0.讨论f(x)的单调性.
解 由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=1+-=.
设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ<0即0<a<2时,对一切x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.
②当Δ=0即a=2时,仅对x=,有f′(x)=0,对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数.
③当Δ>0即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,
x2=,0<x1<x2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
此时f(x)在上单调递增,
在上单调递减,
在上单调递增.
跟踪演练1 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=(x-3)ex,x∈(0,+∞)
(2)f(x)=x(x-a)2.
解 (1)f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)>0,解得x>2,又x∈(0,+∞),
所以函数的单调增区间(2,+∞),函数的单调减区间(0,2).
(2)函数f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x的定义域为R,由f′(x)=3x2-4ax+a2=0,得x1=,x2=a.
①当a>0时,x1x2,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),,
单调递减区间为.
③当a=0时,f′(x)=3x2≥0,
∴函数f(x)的单调区间为(-∞,+∞),
即f(x)在R上是递增的.
综上,a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,(a,+∞),单调递减区间为
.
a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),,单调递减区间为.
a=0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
题型二 利用导数求函数的极值和最值
1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)解方程f′(x)=0的根;
(3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
特别地,①当f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得;②当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值, 这里(a,b)也可以是(-∞,+∞).
例2 已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R),
(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时,x2+ln x<x3.
(1)解 f′(x)=x-,因为x=2是一个极值点,
所以2-=0,则a=4.
此时f′(x)=x-=,
因为f(x)的定义域是(0,+∞),
所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,+∞),f′(x)>0,
所以当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.
(2)解 因为f′(x)=x-=,
所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,f′(x)=x-==,
所以函数f(x)的单调递增区间(,+∞);递减区间为(0,).
(3)证明 设g(x)=x3-x2-ln x,
则g′(x)=2x2-x-,
因为当x>1时,g′(x)=>0,
所以g(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,
所以g(x)>g(1)=>0,
所以当x>1时,x2+ln x<x3.
跟踪演练2 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](00.
要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根,
则解得-2