专题17+正、余弦定理及解三角形-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 36页

考点17 正、余弦定理及解三角形 ‎1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 一、正弦定理 ‎1．正弦定理 在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．‎ ‎2．常见变形 ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.‎ ‎3．解决的问题 ‎（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；‎ ‎（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．‎ ‎4．在中，已知，和时，三角形解的情况 二、余弦定理 ‎1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 ‎2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论：‎ .‎ ‎3．解决的问题 ‎（1）已知三边，求三个角；‎ ‎（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．‎ ‎4．利用余弦定理解三角形的步骤 三、解三角形的实际应用 ‎1．三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.‎ ‎（1） (h为BC边上的高)；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）(为三角形的内切圆半径)．‎ ‎2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．‎ ‎3．测量中的术语 ‎（1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．‎ ‎（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎（3）方向角 相对于某一正方向的水平角.‎ ‎①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；‎ ‎②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；‎ ‎③南偏西等其他方向角类似．‎ ‎（4）坡角与坡度 ‎①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；‎ ‎②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．‎ ‎4．解三角形实际应用题的步骤 考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法：‎ ‎（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．‎ ‎（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．‎ 常见结论：‎ ‎（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．‎ ‎（2）三角形中的三角函数关系：‎ ； ；‎ ； .‎ 典例1 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，，则b= .‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为，且为的内角，所以，‎ ，‎ 又因为，所以.‎ 典例2 在中，已知， ‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ 因此 ‎1．已知A、B、C为的内角，tanA、tanB是关于的方程的两个实根.‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）若，，求p的值.‎ 考向二 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：‎ ‎（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.‎ ‎（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.‎ 典例3 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若sin B＋sin C＝1，试判断的形状．‎ ‎ ‎ ‎2．若的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则 A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 考向三 与面积、范围有关的问题 ‎（1）求三角形面积的方法 ‎①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．‎ ‎②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．‎ ‎（2）三角形中，已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．‎ ‎ ‎ 典例4 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ 典例5已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）求cosA+cosB的最大值.‎ ‎ ‎ ‎3．在中，内角，，所对边的边长分别是，，，已知，．‎ ‎（1）若的面积等于，求，；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ 考向四 三角形中的几何计算 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.‎ 典例6 中，D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若,求.‎ ‎ ‎ ‎4．如图，在中，角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.‎ 考向五 解三角形的实际应用 解三角形应用题的两种情形：（1）‎ 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ 研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.‎ 典例7宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，救援中心测得着陆点位于其正东方向．‎ ‎（1）求两救援中心间的距离；‎ ‎（2）求救援中心与着陆点间的距离．‎ 又，所以.‎ 在中，由正弦定理，得，则．‎ 故救援中心与着陆点间的距离为万米.‎ ‎5．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝__________ m.‎ 考向六 三角形中的综合问题 ‎1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、‎ 角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.‎ ‎2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.‎ ‎3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.‎ 典例8在中，已知，向量，，且.‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若点D在边BC上，且，，求的面积．‎ 又，所以，所以，即.‎ ‎（2）设，由，得，由（1）知，所以,.‎ 在中，由余弦定理，得，解得，所以，‎ 所以.‎ 典例9 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. ‎ ‎（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ 当且仅当a＝c时等号成立．‎ 所以cos B的最小值为.‎ ‎6． 在中，内角、、所对的边分别为、、.已知的面积为，，. ‎ ‎ （1）求a和sinC的值；‎ ‎ （2）求的值.‎ ‎1．若的内角所对的边分别为，已知，且 ‎，则等于 A． B． C． D． ‎2．在中，若tanA·tanB＜1，则该三角形一定是 ‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 ‎3．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知,则A=‎ A． B． C． D． ‎4．中，，，，则边上的高等于 A． B． C． D．3‎ ‎5．在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为 .‎ ‎6．在平面四边形中， 则的取值范围是 ．‎ ‎7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度___________m. ‎ ‎8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎9．在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为为的中点，求．‎ ‎10．如图所示，在中, 点为边上一点，且, 为的中点,.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎11．在中，的对边分别为，且成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的范围．‎ ‎12．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，.‎ ‎（1）求索道AB的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎1．（2017山东理科）在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． ‎ C． D． ‎2．（2016新课标全国Ⅲ理科）在中，，BC边上的高等于,则 ‎ A． B． C． D． ‎3．（2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎4．（2017新课标全国Ⅰ理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. ‎ ‎（1）求sin Bsin C;‎ ‎（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.‎ ‎5．（2017新课标全国Ⅱ理科）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎6．（2017北京理科）在中，=60°，c=a.‎ ‎（1）求sin C的值；‎ ‎（2）若a=7，求的面积.‎ ‎7．（2017天津理科）在中，内角所对的边分别为．已知，，．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 变式拓展 ‎（2）由正弦定理，得，解得或（舍去）.‎ 于是.‎ 则，‎ 所以.‎ ‎2．【答案】C ‎ 3．【解析】（1）因为，，所以由余弦定理，得，‎ 又的面积等于，，所以，整理得，‎ 由解得．‎ ‎（2）利用正弦定理，把化为，‎ 由解得，，‎ 又，则的面积．‎ ‎4．【解析】（1）在中，由，得，即，，又，∴，即，∵，∴.‎ ‎（2）在中，，，‎ .‎ 又，∴为等腰直角三角形，‎ 则，‎ 又，，‎ 故当时，四边形的面积有最大值，最大值为.‎ ‎5．【答案】150‎ ‎【名师点睛】本题考查了正弦定理的实际运用，考查分析能力，转化能力，空间想象能力，属于中等题. 注意本题所给图形是空间图形.‎ ‎6．【解析】（1）在中，由，得，‎ 由得，又，‎ 所以，. ‎ 由余弦定理得，可得，‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（2） ‎ .‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】由题意知，结合正弦定理得，即，又，结合余弦定理，得.选C.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】由已知条件，得 ‎ 说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负．因此一定是钝角三角形．‎ ‎3．【答案】C ‎【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，‎ 因为，，所以，化简得，解得.‎ 又，所以由，得.故选A.‎ ‎5．【答案】 ‎【解析】如图.‎ 在中，，‎ 整理得，‎ ‎∴，当且仅当AD=DC时取等号，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∴的面积的最大值为．‎ ‎6．【答案】 由则，‎ 所以．‎ ‎7．【答案】 ‎【解析】依题意，，，在中，由，‎ 得，因为，所以由正弦定理可得，即m.‎ 在中，因为，，所以，‎ 所以m.‎ ‎8．【解析】（1）∵，∴，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2）由三角形的面积公式，得，解得，‎ 由余弦定理，得，‎ 故．‎ ‎9．【解析】（1）由，得，‎ 在中，由正弦定理可得，即，所以 ．‎ ‎10．【解析】（1）在中，,‎ ,‎ 由正弦定理,得.‎ ‎（2）由（1）知，依题意得.在中，由余弦定理得 ,即,即,解得（负值舍去）.‎ 故,‎ 从而.‎ ‎11．【解析】（1）由题意得，‎ 由正弦定理得，‎ 即，所以． ‎ 所以， ‎ 所以的范围是．‎ ‎12．【解析】（1）在中，因为，所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理，得.‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得，解得，‎ 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【解析】由题意知，‎ 所以，选A.‎ ‎【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知 ，故选C．‎ ‎3．【答案】 ‎【解析】取BC中点E，由题意：，‎ ‎△ABE中，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ 解得或（舍去）．‎ 综上可得，△BCD的面积为，．‎ ‎4．【解析】（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎5．【解析】（1）由题设及，可得，故．‎ 上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．‎ ‎（2）由得，故．‎ 又，则．‎ 由余弦定理及得：‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．‎ ‎6．【解析】（1）在中，因为，，‎ ‎【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.‎ ‎7．【解析】（1）在中，因为，故由，可得．‎ 由已知及余弦定理，有，所以．‎ ‎【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎