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- 2021-06-10 发布
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2016-2017学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合M={﹣3,﹣2,﹣1},N={x|(x+2)(x﹣3)<0},则M∩N=( )
A.{﹣1} B.{﹣2,﹣1} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣3,3}
2.命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为( )
A.若>1,则lnx≤0 B.若≤1,则lnx>0
C.若≤1,则lnx≤0 D.若lnx>0,则>1
3.双曲线y2﹣=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±7x C.y=±x D.y=±x
4.在等差数列{an}中,a4+a6=6,且a2=1,则公差d等于( )
A. B. C. D.
5.已知球O的半径为R,体积为V,则“R>”是“V>36π”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
6.双曲线﹣=1的焦距的最小值为( )
A. B.2 C.5 D.10
7.抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7,则A、B到y轴的距离之和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
8.命题p:∃x∈R,2<,命题q:若M为曲线y2=4x2上一点,A(,0),则|MA|的最小值为,那么下列命题为真命题的是( )
A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
9.若变量x,y满足约束条件,且z=仅在点A(﹣1,
)处取得最大值,则实数a的取值范围为( )
A.[﹣2,﹣1) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,1)
10.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内,已知飞机的高度为海拔15000m,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为( )
A.(15﹣18sin18°cos78°)km B.(15﹣18sin18°sin78°)km
C.(15﹣20sin18°cos78°)km D.(15﹣20sin18°sin78°)km
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分).
11.命题“∃x∈R,tanx≥0”的否定是 .
12.若x>0,y>0, +=,则x+4y的最小值为 .
13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增).根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯.
14.设x,y满足不等式组,且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n(整点是指横坐标,纵坐标均为整数的点),则z=nx﹣3y﹣1的最大值为 .
15.直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=4,cosA=,sinB=,c>4.
(1)求b;
(2)求△ABC的周长.
17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,3a7=a42,a2=2a1,在等差数列{bn}中,b3=a4,b15=a5
(1)求证:Sn=2an﹣3
(2)求数列{}的前n项和Tn.
18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2sin2A+sin2B=sin2C.
(1)若b=2a=4,求△ABC的面积;
(2)求的最小值,并确定此时的值.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4).
(1)若抛物线C上一动点M到准线的距离为d,D(﹣1,3),求d+|MD|的最小值;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且线段AB的中点为N(2,),求直线l的方程.
20.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,过点B作直线l交直线x=﹣a于点M,交椭圆于另一点P.
(1)求直线MB与直线PA的斜率之积;
(2)证明: •为定值.
21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线l:y=﹣(x+)对称.且:△AOB面积为,求k的值.
2016-2017学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合M={﹣3,﹣2,﹣1},N={x|(x+2)(x﹣3)<0},则M∩N=( )
A.{﹣1} B.{﹣2,﹣1} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣3,3}
【考点】交集及其运算.
【分析】求出集合N的等价条件,结合交集的定义进行求解即可.
【解答】解:N={x|(x+2)(x﹣3)<0}={x|﹣2<x<3},
∵M={﹣3,﹣2,﹣1},
∴M∩N={﹣1},
故选:A
2.命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为( )
A.若>1,则lnx≤0 B.若≤1,则lnx>0
C.若≤1,则lnx≤0 D.若lnx>0,则>1
【考点】四种命题.
【分析】根据已知中的原命题,结合否命题的定义,可得答案.
【解答】解:命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为命题:“若≤1,则lnx≤0”,
故选:C
3.双曲线y2﹣=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±7x C.y=±x D.y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y2﹣=0,整理后就得到双曲线的渐近线方程.
【解答】解:∵双曲线y2﹣=1,
∴双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y2﹣=0,即y=±x.
故选C.
4.在等差数列{an}中,a4+a6=6,且a2=1,则公差d等于( )
A. B. C. D.
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由已知结合等差数列的通项公式化为关于d的方程求解.
【解答】解:在等差数列{an}中,由a4+a6=6,且a2=1,
得a2+2d+a2+4d=6,即2+6d=6,∴d=.
故选:A.
5.已知球O的半径为R,体积为V,则“R>”是“V>36π”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用球的体积计算公式与不等式的性质、充要条件的性质即可判断出结论.
【解答】解:∵R>,∴>=>36π.
∴“R>”是“V>36π”的充分不必要条件.
故选:A.
6.双曲线﹣=1的焦距的最小值为( )
A. B.2 C.5 D.10
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】由题意,2c=2,即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值.
【解答】解:由题意,2c=2,
∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2,
故选B.
7.抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7,则A、B到y轴的距离之和为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A、B到y轴的距离之和.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=﹣1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7
∴x1+x2=5,
∴A、B到y轴的距离之和为5,
故选:D.
8.命题p:∃x∈R,2<,命题q:若M为曲线y2=4x2上一点,A(,0),则|MA|的最小值为,那么下列命题为真命题的是( )
A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
【考点】复合命题的真假.
【分析】
利用指数函数与二次函数的单调性即可判断命题p的真假,利用点到直线的距离公式即可判断出命题q的真假.再利用复合命题真假的判断方法,即可判断出真假.
【解答】解:命题p:∵2>>,∴命题p是假命题.
命题q:曲线y2=4x2,化为y=±2x,∴|MA|的最小值==,因此命题q为真命题.
∴下列命题为真命题的是D:(¬p)∧q,
故选:D.
9.若变量x,y满足约束条件,且z=仅在点A(﹣1,)处取得最大值,则实数a的取值范围为( )
A.[﹣2,﹣1) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,1)
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
z=的几何意义是区域内的动点P(x,y)到
定点D(a,0)的斜率,
由图象知当﹣1≤a≤0时,DP的斜率没有最大值,
当a≤﹣2时,DB的斜率最大,不满足条件.
当﹣2<a<﹣1时,DA的斜率最大,此时满足条件.
故选:C.
10.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内,已知飞机的高度为海拔15000m,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为( )
A.(15﹣18sin18°cos78°)km B.(15﹣18sin18°sin78°)km
C.(15﹣20sin18°cos78°)km D.(15﹣20sin18°sin78°)km
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】先求AB的长,在△ABC中,可求BC的长,进而由于CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD,故可得山顶的海拔高度
【解答】解:如图,∠A=18°,∠ACB=60°,
AB=1000×108×=30(km )
∴在△ABC中,BC==20sin18°
∵CD⊥AD,
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°
山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km.
故选D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分).
11.命题“∃x∈R,tanx≥0”的否定是 ∀x∈R,tanx<0 .
【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为:
∀x∈R,tanx<0,
故答案为:∀x∈R,tanx<0
12.若x>0,y>0, +=,则x+4y的最小值为 64 .
【考点】基本不等式.
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x>0,y>0, +=,
则x+4y=4(x+4y)=4(8+)≥4=64,当且仅当x=4y=32时取等号.
故答案为:64.
13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增).根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有 195 盏灯.
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列,且公比为2,然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可.
【解答】解:由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列,且公比为2,
设塔的顶层灯的盏灯为x,则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,解得x=3,
可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯.
故答案为:195.
14.设x,y满足不等式组,且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n(整点是指横坐标,纵坐标均为整数的点),则z=nx﹣3y﹣1的最大值为 47 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出整点个数,利用线性规划的知识进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由图象知平面区域内整点个数为16个,
即n=16,
则z=16x﹣3y﹣1,即y=x﹣,
平移直线y=x﹣,由图象知当直线y=x﹣
经过点A(3,0)时,
y=x﹣的截距最小,此时z最大,
此时z=16×3﹣0﹣1=47,
故答案为:47
15.直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用条件得出∠AOC=60°,C(b,2b),代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,b=a,即可得出结论.
【解答】解:∵∠AOC=∠BOC,
∴∠AOC=60°,
∴C(b,2b),
代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,∴b=a,
∴c==a,
∴e==,
故答案为.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=4,cosA=,sinB=,c>4.
(1)求b;
(2)求△ABC的周长.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA的值,进而由正弦定理可得b的值.
(2)由已知及余弦定理可得c的值,即可得解△ABC的周长.
【解答】解:(1)∵a=4,cosA=,sinB=,
∴sinA==,
∴由正弦定理可得:b===5.
(2)∵由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:16=25+c2﹣2×,
整理可得:2c2﹣15c+18=0,解得:c=6或(由C>4,舍去),
∴△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15.
17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,3a7=a42,a2=2a1,在等差数列{bn}中,b3=a4,b15=a5
(1)求证:Sn=2an﹣3
(2)求数列{}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由3a7=a42,a2=2a1,可得=,解得q,a1.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
(2)利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出.
【解答】(1)证明:设等比数列{an}的公比为q,
∵3a7=a42,a2=2a1,∴ =,q=2.
解得a1=3.
∴an=3×2n﹣1,Sn==3×2n﹣3.
∴Sn=2an﹣3.
(2)解:设等差数列{bn}的公差为d,b3=a4=3×23=24,b15=a5=3×24=48.
∴48=24+12d,解得d=2.
∴bn=24+2(n﹣3)=2n+18.
==2.
∴数列{}的前n项和Tn=2+…+
=2=.
18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2sin2A+sin2B=sin2C.
(1)若b=2a=4,求△ABC的面积;
(2)求的最小值,并确定此时的值.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)2sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得2a2+b2=c2,b=2a=4,c=2,求出sinC,即可求△ABC的面积;
(2)利用基本不等式求的最小值,并确定此时的值.
【解答】解:(1)∵2sin2A+sin2B=sin2C,
∴由正弦定理可得2a2+b2=c2,
∵b=2a=4,∴c=2,
∴cosC==﹣,
∴sinC=,
∴△ABC的面积S==;
(2)2a2+b2=c2≥2ab,
∴≥2,即的最小值为2,
此时b=a,c=2a, =2.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4).
(1)若抛物线C上一动点M到准线的距离为d,D(﹣1,3),求d+|MD|的最小值;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且线段AB的中点为N(2,),求直线l的方程.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)将点(4,﹣4)代入抛物线y2=2px(p>0)可得p值,利用抛物线的定义,求d+|MD|的最小值;
(2)根据线段AB的中点为N(2,),利用点差法,求出直线斜率,可得直线l的方程.
【解答】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4),可得p=2,
抛物线的准线方程为x=﹣1,
d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==,
∴d+|MD|的最小值为;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程,两式相减得:(y1+y2)(y1﹣y2)=4(x1﹣x2),
∴直线l的斜率k==6,
故直线l的方程为y﹣=6(x﹣2),
即18x﹣3y﹣35=0.
20.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,过点B作直线l交直线x=﹣a于点M,交椭圆于另一点P.
(1)求直线MB与直线PA的斜率之积;
(2)证明: •为定值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)利用已知条件列出方程组,求解可得椭圆的方程.设M(﹣2,y0),P(x1,y1),推出=(x1,y1),=(﹣2,y0).直线BM的方程,代入椭圆方程,由韦达定理得x1,y1,由此能求出直线MB与直线PA的斜率之积.
(2)•=﹣2x1+y0y1,由此能证明•为定值.
【解答】解:(1)∵椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,
直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,
∴由题意可得,解得a=2,b=c=,
∴椭圆的方程为.
∴A(﹣2,0),B(2,0),设M(﹣2,y0),P(x1,y1),
则(x1,y1),=(﹣2,y0),
直线BM的方程为y=﹣(x﹣2),即y=﹣x+,
代入椭圆方程x2+2y2=4,得(1+)x2﹣+﹣4=0,
由韦达定理,得2x1=,
∴,,
∴kMB•kPA==﹣×=﹣=﹣.
∴直线MB与直线PA的斜率之积为﹣.
证明:(2)∵(x1,y1),=(﹣2,y0),
,,
∴•=﹣2x1+y0y1=﹣+==4.
∴•为定值4.
21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线l:y=﹣(x+)对称.且:△AOB面积为,求k的值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意可知:2a=2,a=, =2,即=2,解得:b=1,即可求得椭圆的标准方程;
(2)(i)由题意可知:设直线y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标,代入直线方程l方程,由△>0,即可求得k的取值范围;
由三角形的面积公式可知:S=丨m丨•丨x1﹣x2丨==,即可求得k的值.
【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,即2a=2,a=,
由O到直线4x﹣3y+3=0距离d==,
直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为,
则=2,即=2,解得:b=1,
∴椭圆C的方程为:;
(2)由题意可知:直线l:y=﹣(x+)对称,则设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
,整理得:(2+k2)x2+2kmx+m2﹣2=0,
由韦达定理可知:x1+x2=﹣,x1•x2=,
根据题意:△=4k2m2﹣4(2+k2)(m2﹣2)=8(k2﹣m2+2)>0,
设线段AB的中点P(x0,y0),则x0==﹣,y0=kx0+m=,
∵点P在直线y=﹣(x+)上, =﹣(﹣+),
∴m=﹣,代入△>0,可得3k4+4k2﹣4>0,
解得:k2>,则k<﹣或k>,
(2)直线AB与y轴交点横坐标为m,
△AOB面积S=丨m丨•丨x1﹣x2丨=•丨m丨•=,
则=,整理得:k2=1,解得:k=±1,
k的值±1.
2017年2月1日