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- 2021-06-10 发布
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2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二(上)第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2﹣b2的值( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
3.△ABC中,a=,b=,sinB=,则符合条件的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
4.在等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则a6的值是( )
A.3 B.±3
C. D.以上答案都不对
5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,则角C的大小为( )
A. B. C. D.
6.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则( )
A. B. C. D.
7.在首项为81,公差为﹣7的等差数列{an}中,最接近零的是第( )项.
A.11 B.12 C.13 D.14
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18﹣a5,则S8=( )
A.18 B.36 C.54 D.72
9.在△ABC中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=( )
A.﹣ B. C.﹣1 D.1
10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA:sinB:sinC为( )
A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请把正确的答案填在题中的横线上)
11.在等腰三角形 ABC中,已知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长是 .
12.数列{an}的通项公式为an=,已知它的前n项和Sn=6,则项数n等于: .
13.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,则S5= .
14.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9= .
15.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ= .
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.在△ABC中,如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg,且B为锐角,则三角形的形状是 .
17.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.
18.已知数列{an},a1=1.以后各项由an=an﹣1+(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.
19.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3
成等比数列.
(Ⅰ)求d,an;
(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
21.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)
(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?
(Ⅱ)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算?
2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二(上)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
【考点】正弦定理.
【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC
【解答】解:根据正弦定理,,
则
故选B
2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2﹣b2的值( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
【考点】余弦定理.
【分析】直接利用余弦定理,化简求解即可.
【解答】解:由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+ac+c2,
所以a2+ac+c2﹣b2=0.
故选:C.
3.△ABC中,a=,b=,sinB=,则符合条件的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】根据sinB的值,求得cosB的值,进而利用余弦定理建立等式求得c的值,根据c的解得个数来判断符合条件的三角形的个数.
【解答】解:∴sinB=,
∴cosB=±=±
①当cosB=时,cosB===,
∴整理可得c2﹣c+2=0,求得c=有两个解,
②当cosB=﹣时,cosB===﹣,
整理得c2+c+2=0,求得c=<0,与c>0矛盾.
综合可知,c=,
即这样的三角形有2个.
故选B.
4.在等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则a6的值是( )
A.3 B.±3
C. D.以上答案都不对
【考点】等比数列的性质.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3,再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3,由此解得 a6 的值.
【解答】解:等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3,a6
再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3,解得 a6=,
故选 C.
5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,则角C的大小为( )
A. B. C. D.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】由直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,推导出a2+b2﹣c2=ab,由此利用余弦定理能求出cosC,能求出∠C.
【解答】解:∵△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,
直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,
∴b(a﹣b)+(a﹣c)[﹣(a+c)]=0,
整理,得a2+b2﹣c2=ab,
∴cosC==,
∴∠C=.
故选:B.
6.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则( )
A. B. C. D.
【考点】等差数列的性质.
【分析】根据等差数列的性质知,求两个数列的第五项之比,可以先写出两个数列的前9项之和之比,代入数据做出比值.
【解答】解:∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,
,
====
故选D.
7.在首项为81,公差为﹣7的等差数列{an}中,最接近零的是第( )项.
A.11 B.12 C.13 D.14
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由a1=81,d=﹣7,得到an=81+(n﹣1)×(﹣7)=88﹣7n,由an=88﹣7n≥0,能求出最接近零的项.
【解答】解:∵a1=81,d=﹣7,
∴an=81+(n﹣1)×(﹣7)=88﹣7n,
由an=88﹣7n≥0,
解得n,
∴最接近零的是第13项,
故选C.
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18﹣a5,则S8=( )
A.18 B.36 C.54 D.72
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,代入求和公式可得.
【解答】解:由题意可得a4+a5=18,
由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,
∴S8===72
故选:D
9.在△ABC中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=( )
A.﹣ B. C.﹣1 D.1
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】利用三角形中的正弦定理,将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示,代入要求的式子,利用三角函数的平方关系求出值.
【解答】解:∵acosA=bsinB
由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1
故选D
10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA:sinB:sinC为( )
A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4
【考点】正弦定理的应用.
【分析】由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA=,再由3b=20acosA,可得 cosA=,从而可得 =,由此解得a=6,可得三边长,根据sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果.
【解答】解:由于a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2.
由余弦定理可得 cosA===,
又3b=20acosA,可得 cosA==.
故有 =,解得a=6,故三边分别为6,5,4.
由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a:(a﹣1):( a﹣2)=6:5:4,
故选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请把正确的答案填在题中的横线上)
11.在等腰三角形 ABC中,已知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长是 50 .
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】先利用正弦定理,将角的正弦之比转化为边长之比,求得AC长,从而由等腰三角形性质得AB长,最后三边相加即可得△ABC的周长
【解答】解:设BC=a,AB=c,AC=b
∵sinA:sinB=1:2,由正弦定理可得:
a:b=1:2,
∵底边BC=10,即a=10,∴b=2a=20
∵三角形ABC为等腰三角形,且BC为底边,
∴b=c=20
∴△ABC的周长是20+20+10=50
故答案为 50
12.数列{an}的通项公式为an=,已知它的前n项和Sn=6,则项数n等于: 48 .
【考点】数列的求和.
【分析】先对数列的通项化简,分母有理化,an=,累加求和,即可求解.
【解答】解:由题意,∵an=,
∴an=,
∴Sn=﹣1,
∵Sn=6,
∴﹣1=6,解得n=48,
故答案为:48.
13.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,则S5= 11 .
【考点】等比数列的性质;数列的求和.
【分析】由题意可得anq2+an q=2an ,即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去),由此求得 S5= 的值.
【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,∴anq2+anq=2an ,
即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去).
∴S5==11,
故答案为 11.
14.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9= 27 .
【考点】等差数列的性质.
【分析】由题意可得a4=5,a6=1,进而可得a5=3,而S9=9a5,计算可得.
【解答】解:由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15,
a3+a6+a9=3a6=3,解之可得a4=5,a6=1,
故a4+a6=6,即2a5=6,a5=3,
故S9===27
故答案为:27
15.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ= 30° .
【考点】正弦定理.
【分析】根据题意画出图形,求出∠CAB与∠B的度数,设出追上乙船的时间,表示出BC与AC,在三角形ABC中,利用正弦定理列出关系式,即可求出θ的度数.
【解答】解:根据题意得:∠CAB=60°﹣θ,∠B=120°,设追上乙船的时间为x,则有BC=x,AC=x,
在△ABC中,利用正弦定理=,即=,
∴=sin(60°﹣θ),即sin(60°﹣θ)=,
∴60°﹣θ=30°,即θ=30°.
故答案为:30°
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.在△ABC中,如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg,且B为锐角,则三角形的形状是 等腰直角三角形 .
【考点】正弦定理;对数的运算性质.
【分析】由已知得sinB=, =,由此能推导出△ABC为等腰直角三角形,
【解答】解:∵lgsinB=﹣lg
sinB=,
∵B为锐角,
∴B=45°.
又∵lga﹣lgc═﹣lg,∴=.
由正弦定理,得=,
∴sinC=2sinA=2sin,
即sinC=sinC+cosC,
∴cosC=0,∴C=90°,
故△ABC为等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角三角形.
17.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.
【考点】余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理.
【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos(B+C)的值,将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后,将cos(B+C)的值代入即可求出cosA的值;
(2)由cosA的值及A为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将已知的面积及sinA的值代入,得出bc=6,记作①,再由a及cosA的值,利用余弦定理列出关于b与c的关系式,记作②,联立①②即可求出b与c的值.
【解答】解:(1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC,
化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC,
变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1,
即cos(B+C)=﹣,
则cosA=﹣cos(B+C)=;
(2)∵A为三角形的内角,cosA=,
∴sinA==,
又S△ABC=2,即bcsinA=2,解得:bc=6①,
又a=3,cosA=,
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:b2+c2=13②,
联立①②解得:或.
18.已知数列{an},a1=1.以后各项由an=an﹣1+(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.
【考点】数列递推式.
【分析】(1)由a1=1及递推公式an=an﹣1+写出前5项即可;
(2)由an=an﹣1+可得an﹣an﹣1==﹣,从而解得.
【解答】解:(1)a1=1,
a2=a1+=,
a3=a2+=,
a4=a3+=,
a5=a4+=;
(2)∵an=an﹣1+,
∴a2﹣a1=1﹣,
a3﹣a2=﹣,
a4﹣a3=﹣,
…,
an﹣an﹣1==﹣,
故an﹣a1=1﹣+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
=1﹣,
故an=2﹣=.
19.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(Ⅰ)求d,an;
(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质.
【分析】(Ⅰ)直接由已知条件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式an可求;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到等差数列{an}
的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d<0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和.
【解答】解:(Ⅰ)由题意得,即,整理得d2﹣3d﹣4=0.解得d=﹣1或d=4.
当d=﹣1时,an=a1+(n﹣1)d=10﹣(n﹣1)=﹣n+11.
当d=4时,an=a1+(n﹣1)d=10+4(n﹣1)=4n+6.
所以an=﹣n+11或an=4n+6;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,由(Ⅰ)得d=﹣1,an=﹣n+11.
则当n≤11时,.
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=.
综上所述,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定.
【分析】(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,可求a1=3,当n≥2时,由an=sn﹣sn﹣1可求通项,进而可求bn
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,利用错位相减可求数列的和
【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,a1=s1=3
当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1
而n=1,a1=4﹣1=3适合上式,
故an=4n﹣1,
又∵an=4log2bn+3=4n﹣1
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2Tn=3×2+7×22+…+(4n﹣5)•2n﹣1+(4n﹣1)•2n
∴
=(4n﹣1)•2n
=(4n﹣1)•2n﹣[3+4(2n﹣2)]=(4n﹣5)•2n+5
21.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)
(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?
(Ⅱ)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算?
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(I)弄清纯利润就是纯收入大于零的关系,将纯收入表示为年份n的表达式,注意等差数列知识的运用,通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份;
(II)通过比较法得出哪种方案最合算,关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系,用到求函数最值的思想和方法.
【解答】解:由题意知,每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列,
设纯利润与年数的关系为f(n),
则
(I)纯利润就是要求f(n)>0,∴﹣2n2+40n﹣72>0,
解得2<n<18.由n∈N知从第三年开始获利.
(II)①年平均利润=.当且仅当n=6时取等号.
故此方案先获利6×16+48=144(万美元),此时n=6,
②f(n)=﹣2(n﹣10)2+128.当n=10时,f(n)max=128.
故第②种方案共获利128+16=144(万美元),
故比较两种方案,获利都是144万美元.
但第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,故选择第①方案.