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- 2021-06-10 发布
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单元评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A．< B．<
C．a2|b|
解析：A正确，B，C，D可举反例排除，如对B，C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2.
答案：A
2．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
解析：原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.
答案：C
3．已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：画出可行域：
z＝x－y⇒y＝x－z，
由图形知最优解为(0，1)，
所以zmin＝－1.
答案：C
4．若x≥y，则下列不等式中一定正确的是( )
- 10 -
A．2x≥2y B．≥
C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy
解析：对于A项，由指数函数的性质可知，2x≥2y，故A项一定正确；
对于B项，x，y可能均为负数，此时B项不成立，故B项不一定正确；
对于C项，若y为负值，且|x|<|y|，则C项不成立，故C项不一定正确；
对于D项，由x≥y，得x－y≥0，则(x－y)2≥0，则x2＋y2≥2xy，故D项一定正确．
答案：AD
5．若2m＋4n<2，则点(m，n)必在( )
A．直线x＋y＝1的左下方 B．直线x＋y＝1的右上方
C．直线x＋2y＝1的左下方 D．直线x＋2y＝1的右上方
解析：因为2>2m＋4n≥2＝2＋n＋1，
所以＋n＋1<，
即m＋2n<1，
所以(m，n)在x＋2y＝1的左下方．
答案：C
6．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
解析：当a＝2时，不等式－4<0恒成立，
因此a＝2满足题意．
当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
需满足
解得－20)在平面区域内取得最优解(最大值)的点有无数多个，则m的值为( )
- 10 -
A．－ B．
C． D．不存在
解析：当直线z＝mx＋y(m>0)与直线AC平行时，线段AC上的每个点的坐标都是最优解．
因为kAC＝＝－，
所以－m＝－，即m＝.
答案：B
8．下列有关说法正确的是( )
A．当x>0时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当θ∈时，sin θ＋的最小值为2
D．当a>0，b>0时，≥4恒成立
解析：A.当00时，>0，＋≥2，正确；
C．当θ∈时，设t＝sin θ，则00，b>0时，a＋≥2，b＋≥2，所以≥4恒成立，D正确．
- 10 -
答案：BD
9．设x，y满足约束条件则目标函数z＝的取值范围为( )
A．[－3，3] B.
C．[－1，1] D．[－2，2]
解析：由线性约束条件画出可行域如图所示，其顶点坐标分别为(1，0)，(－1，2)，(－1，－2)．目标函数z＝可看作点(x，y)，(2，0)连线的斜率，结合图形可知，z的取值范围为.
答案：B
10．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋.则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为α＋β＝a＋＋b＋＝1＋·(a＋b)＝1＋1＋1＋＋≥5.
答案：C
11．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则正数a的取值范围是( )
A． B．(0，1]
C． D．(0，1]∪
解析：画出前三个不等式表示的平面区域，为图中△OAB，当直线l：x＋y＝a在l0与l1之间(包括l1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l在l2的位置或从l2
- 10 -
向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形；又l在l1，l2的位置时，a的值分别为1，.所以01时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10，b>0)的最大值为40，则＋的最小值为________．
解析：不等式组的可行域如图中阴影部分所示．
直线2x－y－6＝0和x－y＋2＝0的交点为A(8，10)．由z＝ax＋by得y＝－x＋，因为a>0，b>0，所以－<0.所以当x＝8，y＝10时，z＝ax＋by取得最大值40，即8a＋10b＝40.
所以＋＝＝＋≥＋1＝，
- 10 -
当且仅当5b＝2a时，等号成立．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解关于x的不等式x2＋(a－2)x－2a≥0.
解：x2＋(a－2)x－2a≥0可化为(x＋a)·(x－2)≥0.
当－a＝2，即a＝－2时，(x－2)2≥0时，此时x∈R；
当－a>2，即a<－2时，解得x≥－a或x≤2；
当－a<2，即a>－2时，解得x≥2或x≤－a.
综上所述：当a>－2时，x∈(－∞，－a]∪[2，＋∞)；
当a＝－2时，x∈R；
当a<－2时，x∈(－∞，2]∪[－a，＋∞)．
18．(本小题满分12分)(1)已知正数a，b满足a＋b＝1，求证：a2＋b2≥；
(2)设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．
证明：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝1－
＝.
(2)因为a，b，c是△ABC的三边，不妨设a≥b≥c>0，
则a>b－c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.
平方得：
a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab，
三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab.
所以2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2，
即a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．
19．(本小题满分12分)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a＞0)．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为
- 10 -
y＝a·＋0.01v2·＝＋5v，
则y＝＋5v, v∈(0，100]．
(2)依题意知a，v都为正数，
则＋5v≥2 ＝100，
当且仅当＝5a，即v＝10时取等号．
若10≤100，即0＜a≤100，
当v＝10时，全程运输成本y最小．
若10＞100，即a＞100时，则当v∈(0，100]时，可以证明函数y＝＋5v是减函数，即此时当v＝100时，全程运输成本y最小．
综上所得，当0＜a≤100时，行驶速度应为v＝10千米/时，全程运输成本最小；
当a＞100时，行驶速度应为v＝100千米/时，全程运输成本最小．
20．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
项目
每吨甲产品
每吨乙产品
每天资源限额
煤/t
8
4
320
电力/(kW·h)
3
4
150
劳动力/个
4
8
280
若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲，乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？
解：设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元，
依题意可得约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
利润目标函数z＝5x＋8y.
由几何意义知，当直线y＝－x＋z经过可行域上的点M时，z＝5x＋8y取最大值．
- 10 -
解方程组得即M(10，30)．
所以每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润．
21．(本小题满分12分)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，＋＋＝3.
(1)求证：≥8；
(2)当(1)中不等式取等号时，且关于x的不等式|x＋|－|x－|≥x2＋x＋t的解集非空，求t的取值范围．
(1)证明：由a＋b＋c＝1，且＋＋＝3，
可得a>0，b>0，c>0，
则＝··≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝取得等号．
(2)解：由(1)可得a＝b＝c＝，则原不等式|x＋3|－|x－3|≥9x2＋x＋t，
即t≤－9x2－x＋|x＋3|－|x－3|的解集非空．
设f(x)＝－9x2－x＋|x＋3|－|x－3|，则t≤f(x)max，
当x≥3时，f(x)＝－9x2－x＋6递减，可得f(x)≤－78；
当－30，
所以g(m)在[－2，2]上递增，
所以对于m∈[－2，2]，f(x)<0恒成立等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，
- 10 -
解得－1
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