2018-2019学年江苏省扬州中学高二下学期4月月考试题 数学（理）Word版 8页

江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期月考考试 ‎ 高二（理）数学 2019.4‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．写出命题“”的否定：_____________________‎ ‎2．计算的结果为__________。‎ ‎3．“”是“z为实数”的______________条件（选填：充要、充分不必要、必要不充分，既不充分又不必要）‎ ‎4．若复数满足（为虚数单位）为纯虚数，其中，则 ‎5．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有 （用数字作答）．‎ ‎6. 设,‎ ‎ 则= .‎ ‎7.用数学归纳法证明不等式(n∈N,n≥2)‎ 从n=k到n=k+1时，左边的项数增加了_____项．‎ ‎8. 四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有 种不同的安排方案（用数字作答）． ‎ ‎9. 函数的单调递增区间是 ．‎ ‎10．在中，若则三角形ABC的外接圆半径，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为，则此三棱锥外接球的半径是r=_____________。‎ ‎11．若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 ‎ ‎12．若已知=++，则= ‎ ‎13．已知函数,若对任意的,都有,则实数 的取值范围是__________．‎ ‎14．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有ip＜iq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，‎4”‎、“2，‎3”‎，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是 .‎ 二、解答题（本大题共6道题，共计90分）‎ ‎15．（1）已知命题p：∀x∈R，ax‎2‎-2x+1≥0‎；命题q：‎函数y=-‎ax在区间‎（-∞，0）‎ 上为减函数．若命题“‎(¬p)∨q”为真命题，“‎(¬p)∧q”为假命题，求实数a的取值集合；‎ ‎（2）若集合A={x|x-1‎x+2‎<0}‎，B={a|a‎2‎-4at+3t‎2‎≥0，t＞0‎}，a∈A是a∈B的充分不必要条件，求实数t的取值范围．‎ ‎16．已知z、w为复数，为实数，w=．‎ ‎（1）求|z|；‎ ‎（2）求w。‎ ‎17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥‎平面ABCD，PA=AD=2‎，AB=‎‎2‎，M是棱PD上一点，且DM‎=λDP，‎0≤λ≤1‎．‎ ‎(1)‎当λ=时，求直线AM与PC所成角的余弦值；‎ ‎(2)‎当CM⊥BD时，求二面角M-AC-B的大小．‎ ‎18．规定=,其中x∈R,m是正整数,且=1，这是组合数 (n、m是正整数,且m⩽n)的一种推广。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设x>0,当x为何值时，取得最小值?‎ ‎(3)组合数的两个性质; ①=.②+=.‎ 是否都能推广到 (x∈R，m是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。‎ ‎19．设实数a≤1，数列{xn}满足：x0=0，(这里n为任意自然数，e为自然对数的底数)‎ ‎（1）求x1 ，x2，并分别判断x1 ，x2与0大小关系；‎ ‎（2）根据（1）的结论猜想xn（n为任意自然数）与0的大小关系，并用数学归纳法证明你的猜想。‎ ‎20．已知函数f(x)=(x-1)‎ex，g(x)=mx‎2‎-kx，其中m∈R且‎ m≠0‎，k∈R．‎ ‎（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；‎ ‎（2）当m>0，k = 0时，求证：函数F(x)=f(x)+g(x)‎有两个不同的零点；‎ ‎（3）若m=1‎，记函数h(x)=f‎'‎‎(x)‎e‎2x+‎g(x)+1‎ex，若‎∃a ， b ， c∈‎‎0 ，  1‎，使h(a)+h(b)0‎‎△=4-4a≤0‎，得a≥1‎，即p：a≥1‎；‎ 若函数y=-‎ax在区间‎（-∞，0）‎上为减函数，则a＜0‎，即q：a＜0‎，‎ 若p，q同时为真命题，则a≥1‎a<0‎，此时a无解 若p，q同时为假命题，则a<1‎a≥0‎，得‎0≤a<1‎．‎ 即实数a的取值范围是‎[0，1)‎．‎ ‎（2）A={x|x-1‎x+2‎<0}={x|-2＜x＜1}‎，‎ B=aa‎2‎‎-4at+3t‎2‎≥0，t＞0‎=a‎(a-t)(a-3t)≥0，t＞0‎=‎aa≥3t或a≤t，其中t＞0‎‎，‎ 若a∈A是a∈B的充分不必要条件，‎ 则A‎⊂‎‎≠‎B,即t≥1‎或‎3t≤-2‎（舍）‎ 即实数t的取值范围是‎1,+∞‎．‎ ‎17．‎1‎以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,‎0，‎0)‎，B(‎2‎,‎0，‎0)‎，C‎2‎‎,2,0‎，D(0,‎2，‎0)‎，P(0,‎0，‎2)‎，‎ 设M(x,‎y，z)‎，则DM‎=λDP=‎‎0,-2λ,2λ，‎0≤λ≤1‎，‎ AM‎=AD+DM=‎‎0,2-2λ,2λ‎，‎ 当λ=‎‎1‎‎3‎时，AM‎=‎‎0,‎4‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎，PC‎=‎‎2‎‎,2,-2‎，‎ ‎∴cosAM‎,‎PC=AM‎⋅‎PCAM‎⋅‎PC=‎‎2‎‎5‎‎，‎ ‎∴‎直线AM与PC所成角的余弦值为‎2‎‎5‎．‎ ‎2‎BD‎=(-‎2‎,‎‎2，‎0)‎，CM‎=CD+DM=‎‎-‎2‎,-2λ,2λ，‎ 当CM⊥BD时，CM‎⋅BD=2-4λ=0‎，解得λ=‎‎1‎‎2‎，‎ 此时，AM‎=(0,‎1，‎1)‎，AC‎=‎‎2‎‎,2,0‎，‎ 设平面MAC的一个法向量n‎=(x,‎y，z)‎，‎ 则‎{‎n‎⋅AM=y+z=0‎n‎⋅AC=‎2‎x+2y=0‎，取z=1‎，得n‎=‎‎2‎‎,-1,1‎，‎ 又平面BAC的一个法向量AP‎=(0,‎0，‎2)‎，‎ ‎∴cosn‎,‎AP=n‎⋅‎APn‎⋅‎AP=‎2‎‎2×2‎=‎‎1‎‎2‎‎，‎ 由图象得二面角M-AC-B是钝二面角，‎ ‎∴‎二面角M-AC-B的大小为‎120‎‎∘‎．‎ ‎18.解：(1)由题意可得==−680.(4分)‎ ‎(2)==(x+−3).(6分)‎ ‎∵x>0，故有x+⩾2。‎ 当且仅当x=时,等号成立.∴当x=时, 取得最小值.(8分)‎ ‎(3)性质①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义; (10分)‎ 性质②能推广,它的推广形式是+=，x∈R,m是正整数.(12分)‎ 事实上，当m=1时,有+=x+1=.‎ 当m⩾2时. +=+ ‎=[+1]== (16分)‎ ‎19.解：（1）由≥0，‎ x2=，‎ 当a≤0，则x2≥1≥0成立 当1≥a>0时，由ex≥x+1（*）得ea-1≥a>0, x2==1-≥1-=0成立 补证（*）设函数f(x)= ex-x-1, f’(x)= ex-1=0，得x=0‎ 当x>0时，f’(x)>0，f(x)递增；当x<0时，f’(x)<0，f(x)递减。‎ 所以，f(x)有最小值f(0)=0，即f(x) ≥0恒成立。‎ ‎（2）猜想：xn≥0对n为任意自然数成立，‎ 当a≤0时，对于任意自然数n有=≥1≥0成立，‎ 故将命题加强为：‎ 当00‎，则fx单调递增；‎ 所以x=0‎为fx的极值点 因为gx=mx‎2‎-kx，m≠0‎，所以函数gx的极值点为x=‎k‎2m 因为函数fx与gx有相同的极值点，所以x=k‎2m=0‎ 所以k=0‎ ‎（2）由题意Fx=mx‎2‎+‎x-1‎ex，所以F‎'‎x‎=2mx+xex=x‎2m+‎ex 因为m>0‎，所以‎2m+ex>0‎ 令F‎'‎x‎=0‎，得x=0‎ 当x∈‎‎-∞， 0‎时，F‎'‎x‎<0‎，则Fx单调递减；‎ 当x∈‎‎0， +∞‎时，F‎'‎x‎>0‎，则Fx单调递增；‎ 所以x=0‎为Fx的极值点 因为F‎0‎=-1<0‎，F‎1‎=m>0‎，又Fx在‎0， +∞‎上连续且单调 所以Fx在‎0， +∞‎上有唯一零点 取x‎0‎满足x‎0‎‎<-2‎且x‎0‎‎mx‎0‎‎2‎+mx‎0‎‎-1‎=mx‎0‎‎2‎‎+x‎0‎-1‎ 因为x‎0‎‎<-2‎且x‎0‎‎0‎ 所以Fx‎0‎>0‎，又Fx在‎-∞，0‎上连续且单调 所以Fx在‎-∞，0‎上有唯一零点 综上，函数Fx=fx+gx有两个不同的零点 ‎（3）m=1‎时，‎hx=f‎'‎xe‎2x+gx+1‎ex=‎x‎2‎‎+‎1-kx+1‎ex 由‎∃a ， b ， c∈‎‎0,1‎，使ha+hb3-‎e‎2‎ ‎②当k≤0‎时，h‎'‎x‎≥0‎，hx在‎0,1‎上单调递增 所以‎2h‎0‎0‎，hx在k,1‎上单调递增；‎ 所以‎2ht‎3-‎e‎2‎或k<3-2e