河北省石家庄二中2020届高三11月阶段性考试数学（文）试题 18页

石家庄二中2019—2020学年高三11月阶段性考试 数学(文科)‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】或 A∩ ＝{3}．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集补集的运算，属于基础题．‎ ‎2.已知向量（1，2），（2，﹣2），（m，1）．若∥（2），则m＝（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出，根据即可得出‎2m﹣4＝0，解出m＝2．‎ ‎【详解】，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎2m﹣4＝0，‎ ‎∴m＝2．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．‎ ‎3.设有下面四个命题，：若是锐角，则，：若，则是锐角，‎ ‎：若，则，：若，则其中真命题为( )‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若是锐角，即，故，即为真命题；由于，而不是锐角，故若，则是锐角为假命题，即为假；当时，，而 故若，则为假命题，即为假；若，即，同号，故成立，即为真命题，故正确的命题为，，故选C.‎ ‎4.设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，‎ ‎【详解】因为成等比数列，所以，即 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．‎ ‎5.若函数（，且）在上既是奇函数又是增函数，则的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的奇偶性求出k，利用函数的单调性判断a，然后判断函数的图象．‎ ‎【详解】函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，‎ 可得f（0）＝0，ka0﹣a﹣0＝0，k＝1，‎ 函数是增函数，可知a＞1，则g（x）loga（x﹣1），‎ 函数的图象是y＝logax的图象向右平移1个单位．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的图象的判断，考查计算能力．‎ ‎6.已知，则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角的正弦、余弦公式，化简等式，再根据同角的三角函数的关系式，结合 ‎，可以求出，最后选出答案.‎ ‎【详解】因为，所以，因此有 ‎，而 ‎，所以有，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.‎ ‎7.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意：，‎ 且：，‎ 据此：，‎ 结合函数的单调性有：，‎ 即.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【考点】 指数、对数、函数的单调性 ‎【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.‎ ‎8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入特殊值和后排除选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】当时，，排除B,D，当时，，排除A,只有C符合条件，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力.‎ ‎9.中，三个内角的对边分别为，若成等差数列，且，则（ ）‎ A B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理和余弦定理确定的值即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，即，‎ 由可得：，‎ 由余弦定理有：，‎ 将代入上式：，‎ 整理可得：，则.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.‎ ‎10.设函数的最小正周期为，且，则（）‎ A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用辅助角公式变形，再利用函数为偶函数求出参数的值，然后求出函数的单调区间即可.‎ ‎【详解】解：，因为，所以.又因为，，所以，所以，经检验在上单调递增，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了辅助角公式、利用函数的奇偶性求参数的值及三角函数的单调区间，属中档题.‎ ‎11.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．‎ ‎【详解】解：若在取得极小值，‎ ‎．‎ 令，得或．‎ ‎①当时，．‎ 故在上单调递增，无最小值；‎ ‎②当时，，故当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 故在处取得极小值．‎ 综上，函数在处取得极小值．‎ ‎ “”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．‎ ‎12.函数的定义域为，满足，且当时，.若对任，都有，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断对于函数图象的变换，确定所在的区间，求出解析式，根据对任，都有，得到的取值范围.‎ ‎【详解】当时，函数，单调递减，所以，‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 所以，当时，，‎ 则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 则，‎ ‎.‎ 依次类推，当每向左平移一个单位，函数最小值变为倍，‎ 作出的部分图像如图所示，‎ 根据题意得到当时，，‎ 所以由对任，都有，‎ 可得的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13.设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量加法平行四边形法则可知，2，然后结合向量数量积的基本运算即可求解．‎ ‎【详解】∵△ABC是边长为2正三角形，E是BC的中点，F是AE的中点，‎ 由向量加法的平行四边形法则可知，2‎ ‎∴3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎14.已知数列满足则=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，相加，可得 ‎，‎ 所以 考点：本题考查数列的递推公式 点评：解决本题的关键是掌握求数列通项公式的方法：累加法 ‎15.点在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点，利用导数得到曲线在处的切线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，得到倾斜角的范围.‎ ‎【详解】切点，‎ 因为，所以，‎ 代入切点横坐标，得到切线斜率 所以，‎ 因为为切线的倾斜角， ，‎ 所以 所以得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义，求函数图像上在一点的切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于简单题.‎ ‎16.已知函数，，若，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求导得在上单调递减，在上单调递增，得,按， 分种情况进行讨论，求的最大值和最小值即可.‎ ‎【详解】令，则，‎ 易知函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 且，故.‎ 当，即时，，，‎ 此时，不合题意，舍去；‎ 当，即时，，，‎ 若，即，则，解得；‎ 若，即，则，解得；‎ 当，即时，，，‎ 此时，不合题意，舍去.‎ 综上所述，.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了函数求最值的问题，也考查了去掉绝对值的方法，分类讨论的思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知为等差数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式；‎ ‎（2）直接利用等比数列的前n项和公式求出.‎ ‎【详解】解：（1）由，解得，‎ 所以. ‎ ‎（2），所以前项和.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力.‎ ‎18.中，三个内角的对边分别为，‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件结合二倍角公式及同角三角函数的关系可以求得，从而得到；（2）由面积公式可得，再利用余弦定理，得到的值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以得，即，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，解得，‎ 由余弦定理得 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎19.已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数解析式；‎ ‎（2）若关于的方程f（x）＝kex（其中e为自然对数的底数）恰有两个不同的实根，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，依题意，，得到关于a，b的不等式组，求得a，b的值，则函数解析式可求；‎ ‎（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，利用导数求其极值，可知当k或k时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根；‎ ‎【详解】（1）f（x）＝ax2+bx+1，，‎ 依题设，有，即，‎ 解得，∴.‎ ‎（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，，可化为，‎ 记，则，‎ 令，得，‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 所以当时，取极小值；当时，取极大值，‎ 又时，，且；‎ 时，，‎ 可知当k或k时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根；‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定及函数值的变化趋势，属中档题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求单调减区间；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，利用正弦函数的单调性即可求解；‎ ‎（2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到f（x）的值，再把c＜f（x）＜c+2恒成立转化为关于c的不等式组求解．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎=‎ ‎=‎ 由解得，‎ 所以单调减区间为，.‎ ‎（2）因为 所以，‎ 所以 由不等式恒成立，得，解得.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．‎ ‎21.已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得由已知得 ，从而，由此能证明数列是等比数列，从而求出． （2）由已知得，由此利用错位相减法求出数列的前项和 试题解析：（1）∵ ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①得 即 ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎∴‎ ‎（2）由，∴‎ ‎∴ ③‎ 左右两边乘于2得 ④‎ ‎③-④得 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，对任意恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出导函数得到斜率，利用点斜式得到切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的极值，再探讨函数在区间 （m，m）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）先求导，再构造函数h（x）＝lnx，求出h（x）的最大值小于0即可．‎ ‎【详解】解：（I）. ‎ 故切线的斜率为，又f（e）=‎ ‎∴切线方程为：，即 ‎（II）.当时，‎ 当x>l时，‎ f（x）在（0，1）上单调递增,在（1.+）上单调递减．‎ 故f（x）在x=l处取得极大值．‎ ‎∵f(x)在区间（m，m+）（m>0）上存在极值，‎ ‎∴01，解得 ‎（Ⅲ）.由题可知.a≠0，且 ‎,‎ ‎,‎ 当a<0时，g（x）>0.不合题意．‎ 当a>0时，由可得恒成立 设，则 求导得：‎ 设 ‎①当01时，△>0，注意到t（0）=1，t（1）=4（1-a）<0，存在xo（0，1），使得t（x0）=0，‎ 于是对任意，t（x）<0，h’（x）<0.则h（x）在（xo，1）内单调递减，又h（l）=0，所以当时，h（x）>0，不合要求，‎ 综合①②可得0