2020届二轮复习17直线与圆锥曲线作业 9页

专题能力训练17　直线与圆锥曲线 ‎　专题能力训练第40页　 ‎ 一、能力突破训练 ‎1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案:A 解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.‎ 设OE的中点为G,‎ 由△OBG∽△FBM,得‎1‎‎2‎‎|OE|‎‎|FM|‎‎=‎‎|OB|‎‎|BF|‎,‎ 即ka‎2k(a-c)‎‎=‎aa+c,整理,得ca‎=‎‎1‎‎3‎,‎ 故椭圆的离心率e=‎1‎‎3‎,故选A.‎ ‎2.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎5‎,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)‎ A.‎5‎‎10‎ B.‎5‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎‎5‎ 答案:B 解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎5‎,所以ba‎=c‎2‎‎-‎a‎2‎a‎2‎=‎e‎2‎‎-1‎=2,双曲线的渐近线为y=±bax=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是‎1‎‎1+4‎‎=‎‎5‎‎5‎.故选B.‎ ‎3.如果与抛物线y2=8x相切且倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(　　)‎ A.4 B.2‎2‎ C.2 D.‎‎2‎ 答案:C 解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-‎ ‎2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2.而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2‎(‎2‎‎)‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎=2.‎ ‎4.已知双曲线C:x‎2‎‎3‎-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.3 C.2‎3‎ D.4‎ 答案:B 解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x,‎ 所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.‎ 不妨设∠OMN=90°,‎ 则|MN|=‎3‎|OM|.‎ 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=‎3‎,‎ 所以|MN|=3.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　　. ‎ 答案:‎‎3‎‎2‎ 解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax.‎ 由y=bax,‎x‎2‎‎=2py,‎得A‎2bpa‎,‎‎2b‎2‎pa‎2‎.‎ 由y=-bax,‎x‎2‎‎=2py,‎得B‎-‎2bpa,‎‎2b‎2‎pa‎2‎.‎ ‎∵F‎0,‎p‎2‎为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.‎ 即‎2b‎2‎pa‎2‎‎-‎p‎2‎‎2bpa‎-0‎‎·‎‎-‎ba=-1,解得b‎2‎a‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎,‎ ‎∴c‎2‎a‎2‎‎=‎‎9‎‎4‎,即可得e=‎3‎‎2‎.‎ ‎6.设椭圆C:x‎2‎‎2‎+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.‎ 由已知可得,点A的坐标为‎1,‎‎2‎‎2‎或‎1,-‎‎2‎‎2‎.‎ 所以AM的方程为y=-‎2‎‎2‎x+‎2‎或y=‎2‎‎2‎x-‎2‎.‎ ‎(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,‎ 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,‎ 所以∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1<‎2‎,x2<‎2‎,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y‎1‎x‎1‎‎-2‎‎+‎y‎2‎x‎2‎‎-2‎.‎ 由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得 kMA+kMB=‎2kx‎1‎x‎2‎-3k(x‎1‎+x‎2‎)+4k‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎.‎ 将y=k(x-1)代入x‎2‎‎2‎+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,‎ 所以x1+x2=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎2k‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎.‎ 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ‎=‎4k‎3‎-4k-12k‎3‎+8k‎3‎+4k‎2k‎2‎+1‎=0.‎ 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,‎ 所以∠OMA=∠OMB.‎ 综上,∠OMA=∠OMB.‎ ‎7.如图,已知抛物线x2=y,点A‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎4‎,B‎3‎‎2‎‎,‎‎9‎‎4‎,抛物线上的点P(x,y)-‎1‎‎2‎b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.‎ ‎(1)解由题意得ca‎=‎3‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎ab=1,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎解得a=2,‎b=1.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).‎ 设P(x0,y0),则x‎0‎‎2‎+4y‎0‎‎2‎=4.‎ 当x0≠0时,直线PA的方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2).‎ 令x=0,得yM=-‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎,‎ 从而|BM|=|1-yM|=‎1+‎‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎.‎ 直线PB的方程为y=y‎0‎‎-1‎x‎0‎x+1.‎ 令y=0,得xN=-x‎0‎y‎0‎‎-1‎,‎ 从而|AN|=|2-xN|=‎2+‎x‎0‎y‎0‎‎-1‎.‎ 所以|AN|·|BM|=‎‎2+‎x‎0‎y‎0‎‎-1‎‎·‎‎1+‎‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎ ‎=‎x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎+4x‎0‎y‎0‎-4x‎0‎-8y‎0‎+4‎x‎0‎y‎0‎‎-x‎0‎-2y‎0‎+2‎ ‎=‎4x‎0‎y‎0‎-4x‎0‎-8y‎0‎+8‎x‎0‎y‎0‎‎-x‎0‎-2y‎0‎+2‎=4.‎ 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,‎ 所以|AN|·|BM|=4.‎ 综上,|AN|·|BM|为定值.‎ ‎9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x,‎得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎ 解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为 ‎(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 二、思维提升训练 ‎10.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:设直线AB:x=my+1,‎ 联立x=my+1,‎y‎2‎‎=4x⇒y2-4my-4=0,‎ 则y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),‎ MB‎=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).‎ ‎∵∠AMB=90°,‎ ‎∴MA‎·‎MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)‎ ‎=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5‎ ‎=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5‎ ‎=4m2-4m+1=0.‎ ‎∴m=‎1‎‎2‎.∴k=‎1‎m=2.‎ ‎11.(2019北京,理18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程.‎ ‎(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ ‎(1)解由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.‎ ‎(2)证明抛物线C的焦点为F(0,-1).‎ 设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).‎ 由y=kx-1,‎x‎2‎‎=-4y,‎得x2+4kx-4=0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.‎ 直线OM的方程为y=y‎1‎x‎1‎x.‎ 令y=-1,得点A的横坐标xA=-x‎1‎y‎1‎.‎ 同理得点B的横坐标xB=-x‎2‎y‎2‎.‎ 设点D(0,n),则DA‎=‎-x‎1‎y‎1‎,-1-n,‎DB=-x‎2‎y‎2‎,-1-n,DA‎·DB=‎x‎1‎x‎2‎y‎1‎y‎2‎+(n+1)2=x‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎‎4‎‎-‎x‎2‎‎2‎‎4‎+(n+1)2=‎16‎x‎1‎x‎2‎+(n+1)2=-4+(n+1)2.‎ 令DA‎·‎DB=0,‎ 即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.‎ 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).‎ ‎12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ 解:(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,‎ 故∠EBD=∠ACD=∠ADC.‎ 所以|EB|=|ED|,‎ 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,‎ 从而|AD|=4,‎ 所以|EA|+|EB|=4.‎ 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1(y≠0).‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由y=k(x-1),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎ 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,‎ 则x1+x2=‎8‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎,x1x2=‎4k‎2‎-12‎‎4k‎2‎+3‎,‎ 所以|MN|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|=‎12(k‎2‎+1)‎‎4k‎2‎+3‎.‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-‎1‎k(x-1),点A到直线m的距离为‎2‎k‎2‎‎+1‎,‎ 所以|PQ|=2‎4‎‎2‎‎-‎‎2‎k‎2‎‎+1‎‎2‎=4‎4k‎2‎+3‎k‎2‎‎+1‎.‎ 故四边形MPNQ的面积 S=‎1‎‎2‎|MN||PQ|=12‎1+‎‎1‎‎4k‎2‎+3‎.‎ 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8‎3‎).‎ 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8‎3‎).‎ ‎13.已知斜率为k的直线l与椭圆C:x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP‎+FA+‎FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.‎ ‎(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则x‎1‎‎2‎‎4‎‎+‎y‎1‎‎2‎‎3‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎3‎=1.‎ 两式相减,并由y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=k,得x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎‎+‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎·k=0.‎ 由题设知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=m,于是k=-‎3‎‎4m.①‎ 由题设得0