2021高考数学一轮复习课后限时集训43平行关系文北师大版2 10页

课后限时集训43‎ 平行关系 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C　[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；‎ 对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；‎ 对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；‎ 对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．]‎ ‎2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)‎ A．①③　　 B．②③‎ C．①④ D．②④‎ C　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]‎ ‎3．(2019·哈尔滨模拟)已知互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β B．若α∥β，lα，mβ，则l∥m - 10 -‎ C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n D．若α∩γ，β⊥γ，则α∥β C　[对于A，α与β也可能相交，故排除A.‎ 对于B，l与m也可能是异面直线，故排除B.‎ 对于D，α与β也可能相交，故排除D.‎ 综上知，选C.]‎ ‎4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：‎ ‎①FG∥平面AA1D1D；‎ ‎②EF∥平面BC1D1；‎ ‎③FG∥平面BC1D1；‎ ‎④平面EFG∥平面BC1D1.‎ 其中推断正确的序号是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ A　[因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1 ，‎ 因为FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，‎ 所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；‎ 因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；‎ 因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，‎ 所以FG∥BC1，‎ 因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，‎ 所以FG∥平面BC1D1，故③正确；‎ 因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误，故选A.]‎ ‎5．(2019·黄山模拟)E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则(　　)‎ A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1‎ C．D1E＝2EC1‎ - 10 -‎ D．D1E＝EC1‎ D　[如图，设B1C∩BC1＝O，‎ 可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO，‎ ‎∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，‎ ‎∵O为BC1的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．‎ 　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.]‎ ‎7．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面PFED平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面PFED面积为________．‎ 　[在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，‎ 在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，‎ 过点D作直线DE∥VB，交BC于E，‎ ‎∴PF∥DE，∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，‎ 则四边形PDEF为边长为a的正方形，故其面积为.]‎ ‎8．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：‎ - 10 -‎ ‎①没有水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎②水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎③棱A1D1始终与水面所在平面平行；‎ ‎④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．‎ 其中正确的命题是________．‎ ‎①③④　[由题图，显然①是正确的，②是错误的；‎ 对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，‎ 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，‎ 所以A1D1∥平面EFGH(水面)．‎ 所以③是正确的；‎ 对于④，因为水是定量的(定体积V)，‎ 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.‎ 所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的．]‎ 三、解答题 ‎9．如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SA＝SB＝2，AB＝2，BC＝3.‎ ‎(1)证明：SC∥平面BDE；‎ ‎(2)若BC⊥SB，求三棱锥CBDE的体积．‎ ‎[解](1)证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴O为AC的中点，‎ 在△ASC中，E为AS的中点，‎ ‎∴SC∥OE，‎ 又OE平面BDE，SC平面BDE，‎ ‎∴SC∥平面BDE.‎ ‎(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，‎ - 10 -‎ ‎∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB＝B，‎ ‎∴BC⊥平面SAB，‎ ‎∵EH平面ABS，∴EH⊥BC，‎ 又EH⊥AB，AB∩BC＝B，‎ ‎∴EH⊥平面ABCD，‎ 在△SAB中，取AB中点M，连接SM，‎ ‎∵SA＝SB，∴SM⊥AB，∴SM＝1.‎ ‎∵EH∥SM，∴EH＝SM＝，‎ ‎∴S△BCD＝×3×2＝3.‎ ‎∴VCBDE＝VEBCD＝S△BCD·EH＝×3×＝.‎ ‎∴三棱锥CBDE的体积为.‎ ‎10．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．‎ ‎(1)求证：平面BDM∥平面EFC；‎ ‎(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥ACEF的体积．‎ ‎[解](1)证明：如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，‎ 又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.‎ ‎∵MN平面EFC，EC平面EFC，‎ ‎∴MN∥平面EFC.‎ ‎∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BFDE，‎ - 10 -‎ ‎∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.‎ ‎∵BD平面EFC，EF平面EFC，‎ ‎∴BD∥平面EFC.‎ 又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.‎ ‎(2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，‎ 又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.‎ 又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF，‎ 又N是AC的中点，∴V三棱锥ANEF＝V三棱锥CNEF，‎ ‎∴V三棱锥ACEF＝2V三棱锥ANEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，∴三棱锥ACEF的体积为.‎ ‎1．(2019·成都模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是(　　)‎ A．CE　　　B．CF　　　C．CG　　　D．CC1‎ B　[如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，由于A1FAC，‎ 又OC＝AC，可得：A1FOC，即四边形A1OCF为平行四边形，‎ 可得：A1O∥CF，又A1O平面A1BD，CF平面A1BD，‎ 可得CF∥平面A1BD，故选B.]‎ ‎2．(2019·深圳模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是(　　)‎ - 10 -‎ A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1‎ B　[由BD∥B1D1知BD∥平面B1D1P，‎ 所以m∥BD∥B1D1.‎ 又m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q，‎ 所以m∥平面B1D1Q，故选B.]‎ ‎3．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.‎ 　[∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，‎ 则＝，‎ ‎∴AB＝＝＝.]‎ ‎4．在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC、AP中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PCD；‎ ‎(2)若AD＝AP＝PB＝AB＝1，求三棱锥PDEF的体积．‎ ‎[解](1)证明：取PD中点G，连接GF，GC.‎ - 10 -‎ 在△PAD中，有G，F分别为PD、AP中点，‎ ‎∴GFAD.在矩形ABCD中，E为BC中点，‎ ‎∴CEAD，‎ ‎∴GFEC，∴四边形GFEC是平行四边形．‎ ‎∴GC∥EF.‎ 而GC平面PCD，EF平面PCD，‎ ‎∴EF∥平面PCD.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD⊥AB，AD∥BC.‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD平面ABCD，‎ ‎∴AD⊥平面PAB.‎ ‎∴平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD.‎ ‎∵AD＝AP＝PB＝AB＝1，‎ ‎∴AB＝，满足AP2＋PB2＝AB2.‎ ‎∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD.‎ ‎∵BC∥平面PAD，‎ ‎∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．‎ 而S△PDF＝×PF×AD＝××1＝，‎ ‎∴VPDEF＝S△PDF·BP＝××1＝.‎ ‎∴三棱锥PDEF的体积为.‎ ‎1．(2019·泰安模拟)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是(　　)‎ - 10 -‎ D　[由题意可知经过P、Q、R三点的平面为图中正六边形PQEFRG，点N与点E重合，故排除B、C，又MC1与QE是相交直线，故排除A，因此选D.‎ ‎]‎ ‎2．如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.‎ ‎(1)求证：AB1∥平面A1C1C；‎ ‎(2)求多面体ABCA1B1C1的体积．‎ ‎[解](1)证明：如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，‎ ‎∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，‎ ‎∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，‎ ‎∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，‎ ‎∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，‎ 又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C，‎ ‎∴B1D∥平面A1C1C.‎ - 10 -‎ 在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，‎ ‎∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，‎ ‎∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AD∥A1C1.‎ 又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1C，‎ ‎∴AD∥平面A1C1C，‎ ‎∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，‎ 又AB1平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.‎ ‎(2)在正方形ABB1A1中，A1B＝，‎ ‎∵△A1BC是等边三角形，∴A1C＝BC＝，‎ ‎∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，‎ ‎∴AA1⊥AC，AC⊥AB.‎ 又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，‎ 易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.‎ 易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱锥CADC1A1组成的，‎ 直三棱柱ABDA1B1C1的体积为××1＝，四棱锥CADC1A1的体积为××1×＝，‎ ‎∴多面体ABCA1B1C1的体积为＋＝.‎ - 10 -‎