浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题9平面解析几何 第77练 高考大题突破练 _圆锥曲线中的范围最值问题 9页

第77练 高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·嘉兴模拟)如图，AB为半圆x2＋y2＝1(y≥0)的直径，点D，P是半圆弧上的两点，OD⊥AB，∠POB＝30°.曲线C经过点P，且曲线C上任意点M满足：|MA|＋|MB|为定值.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，求△OEF的面积最大时的直线l的方程.‎ ‎2.(2019·温州模拟)斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q.‎ ‎(1)若点A的横坐标等于0，求|PQ|的值；‎ ‎(2)求|PR|·|QR|的最大值.‎ ‎3.(2019·台州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点P(，)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，并求出△F1MN面积的取值范围.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．解　(1)根据椭圆的定义知，曲线C是以A(－1,0)，B(1,0)为焦点的椭圆，‎ 其中2c＝2，P.‎ ‎2a＝|PA|＋|PB|‎ ‎＝＋ ‎＝＋，‎ ‎∴a2＝，b2＝，‎ ‎∴曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知过点D的直线l的斜率存在，设其为k，‎ 则l：y＝kx＋1.‎ 由 得(2＋6k2)x2＋12kx＋3＝0，‎ Δ＝(12k)2－4·(2＋6k2)·3＝24(3k2－1)>0，‎ x1＋x2＝－，x1·x2＝，‎ ‎∴|EF|＝·|x1－x2|＝·，‎ 又∵点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴△OEF的面积S＝·|EF|·d＝.‎ 令＝λ，λ>0，‎ 则S＝·＝·≤·＝.‎ 当且仅当λ＝，即λ＝，3k2－1＝2，k＝±1时，△OEF面积取最大值.‎ 此时直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎2．解　(1)∵A(0,0)，∴B(4,4)，∴k＝1，‎ 联立可得x2＋4x－4＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，‎ 则|PQ|＝|x1－x2|＝8.‎ ‎(2)设AB的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，‎ ‎∵xB－xA＝＝4，‎ ‎∴k2＝1－b，‎ 由解得xR＝＝，‎ 联立得x2＋4kx－4＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，‎ ‎∴|PR|·|QR|‎ ‎＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)‎ ‎＝－(1＋k2)[x1x2－xR(x1＋x2)＋x]‎ ‎＝－(1＋k2) ‎＝－2＋，‎ ‎∴当k＝±时，|PR|·|QR|取得最大值.‎ ‎3．解　(1)设椭圆C的焦距为2c，‎ ‎∵S△PF1F2＝×2c×＝2，∴c＝2，‎ 又点P(，)在椭圆C上，‎ ‎∴＋＝1，‎ ‎∴a4－9a2＋8＝0，解得a2＝8或a2＝1(舍去)，‎ 又a2－b2＝4，∴b2＝4，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵A(－2，0)，F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ 当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，由对称性不妨令点E在x轴上方，则M(0,2)，N(0，－2)，‎ ‎∴F1M⊥F1N，F2M⊥F2N，‎ 则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2.‎ 当直线EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为y＝kx(k≠0)，‎ 设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，‎ 则点F(－x0，－y0)，‎ 由消去y，得x2＝，‎ ‎∴x0＝，y0＝，‎ ‎∴直线AE的方程为y＝(x＋2)，‎ ‎∵直线AE与y轴交于点M，‎ 令x＝0，得y＝，‎ 即点M，‎ 同理可得点N，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴·＝0，∴F1M⊥F1N，‎ 同理F2M⊥F2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2.‎ 当直线EF的斜率存在且不为零时，‎ ‎|MN|＝ ‎＝ ‎＝2·>4，‎ ‎∴△F1MN的面积为|OF1|·|MN|>4.‎ 当直线EF的斜率不存在时，|MN|＝4，‎ ‎△F1MN的面积为|OF1|·|MN|＝4.‎ 综上，以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，△F1MN面积的取值范围是[4，＋∞)．‎ 能力提升练 ‎4．解　(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为的正三角形的边长为2，依题意知，2a ‎＝4，a＝2，c＝a＝1，‎ 所以b2＝a2－c2＝3，‎ 所以，椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 将其代入＋＝1中，‎ 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 其中，Δ＝144(k2＋1)>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k ‎＝－2k＝，‎ 因为P为线段AB的中点，‎ 所以，点P的坐标为.‎ 故点P的坐标为，‎ 又直线PD的斜率为－，‎ 直线PD的方程为 y－＝－，‎ 令y＝0，得x＝，‎ 则点D的坐标为，‎ 所以，|DP|＝＝，‎ 又|AB|＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以，＝＝ ‎＝，‎ 又k2＋1>1，所以0<<1，‎ 所以0<<.‎ 所以，的取值范围是.‎