2019届二轮复习微点深化　立体几何中的轨迹与折叠问题课件（22张）（全国通用） 22页

微点深化　立体几何中的轨迹与折叠问题 1. 运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律 . 2. 将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力 . 热点一　以立体图形为载体的轨迹问题 【例 1 】 (1) 已知在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 垂直，且 AD ＝ AB ， E 为 CC 1 的中点， P 在对角面 BB 1 D 1 D 所在平面内运动，若 EP 与 AC 成 30° 角，则点 P 的轨迹为 ( 　　 ) A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 (2)( 2018· 宁波期中 ) 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，点 P 是平面 AC 内的动点， 若点 P 到直线 A 1 D 1 的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( 　　 ) A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 解析 　 (1) 因为在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 垂直，且 AD ＝ AB ，所以该平面六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面 BB 1 D 1 D ⊥ 底面 ABCD ， AC ⊥ 对角面 BB 1 D 1 D . 取 AA 1 的中点 F ，则 EF ∥ AC ，因为 EP 与 AC 成 30° 角，所以 EP 与 EF 成 30° 角 . 设 EF 与对角面 BB 1 D 1 D 的交点为 O ，则 EO ⊥ 对角面 BB 1 D 1 D ，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底面，故选 A. 答案 　 (1)A 　 (2)B 探究提高 　 研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化，将问题转化为两平面或曲线的交线，或者直接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理 . (2) 如图，在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 是侧面 BB 1 C 1 C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C 1 D 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( 　　 ) A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析 　点 P 到直线 C 1 D 1 的距离即为点 P 到点 C 1 的距离，所以在平面 BB 1 C 1 C 中，点 P 到定点 C 1 的距离与到定直线 BC 的距离相等，由抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线，故选 D. 答案 　 D (3) 如图，定点 A 和 B 都在平面 α 内，定点 P  α ， PB ⊥ α ， C 是 α 内异于 A 和 B 的动点，且 PC ⊥ AC . 那么，动点 C 在平面 α 内的轨迹是 ( 　　 ) A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 解析 　由 PB ⊥ α ，可得 PB ⊥ AC ，又 PC ⊥ AC ，所以 AC ⊥ 平面 PBC ，则可得 AC ⊥ BC ，由于定点 A 和 B 都在平面 α 内，动点 C 满足 AC ⊥ BC 的轨迹是在平面 α 内以 AB 为直径的圆，而 C 是 α 内异于 A 和 B 的动点，所以动点 C 在平面 α 内的轨迹是在平面 α 内以 AB 为直径的圆 ( 去掉两个 A 、 B ). 故选 B. 热点二　立体几何中的折叠问题 【例 2 】 (1) (2018· 浙江名校协作体联考 ) 已知矩形 ABCD ， AB ＝ 1 ， BC ＝ . 将 △ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( 　　 ) A. 存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置，三对直线 “ AC 与 BD ” ， “ AB 与 CD ” ， “ AD 与 BC ” 均不垂直 ① 求证： A ′ C ⊥ EF ； ② 求直线 A ′ D 与平面 ECDF 所成角的大小 . 探究提高 　 立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 【题组训练 2 】 (1) (2018· 诸暨调研 ) 如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点，沿 AE ， AF ， EF 把正方形折成一个四面体，使 B ， C ， D 三点重合，重合后的点记为 P ， P 点在 △ AEF 内的射影为 O ，则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. O 是 △ AEF 的垂心 B. O 是 △ AEF 的内心 C. O 是 △ AEF 的外心 D. O 是 △ AEF 的重心 解析　 由题意可知 PA ， PE ， PF 两两垂直，所以 PA ⊥ 平面 PEF ，从而 PA ⊥ EF ，而 PO ⊥ 平面 AEF ，则 PO ⊥ EF ，因为 PO ∩ PA ＝ P ，所以 EF ⊥ 平面 PAO ， ∴ EF ⊥ AO ，同理可知 AE ⊥ FO ， AF ⊥ EO ， ∴ O 为 △ AEF 的垂心 . 答案　 A (2) (2018· 杭州一模 ) 如图， △ ABC 是等腰直角三角形， AB ＝ AC ， ∠ BCD ＝ 90° ，且 BC ＝ CD ＝ 3. 将 △ ABC 沿 BC 的边翻折，设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M ，若点 M 在 △ BCD 内部 ( 含边界 ) ，则点 M 的轨迹的最大长度等于 __________ ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 BD 上时，直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 __________. (3) (2018· 浙江三市质检 ) 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 120° ， M 为线段 BC 的中点， D 为线段 BC 上一点，且 BD ＝ BA ，沿直线 AD 将 △ ADC 翻折至 △ ADC ′ ，使 AC ′ ⊥ BD . ① 证明：平面 AMC ′ ⊥ 平面 ABD ； ② 求直线 C ′ D 与平面 ABD 所成的角的正弦值 . ① 证明 　因为 △ ABC 为等腰三角形， M 为 BC 的中点，所以 AM ⊥ BD ， 又因为 AC ′ ⊥ BD ， AM ∩ AC ′ ＝ A ，所以 BD ⊥ 平面 AMC ′ ， 因为 BD  平面 ABD ，所以平面 AMC ′ ⊥ 平面 ABD . ② 解 　在平面 AC ′ M 中，过 C ′ 作 C ′ F ⊥ AM 交 AM 于点 F ，连接 FD . 由 ① 知， C ′ F ⊥ 平面 ABD ，所以 ∠ C ′ DF 为直线 C ′ D 与平面 ABD 所成的角 .