2018届二轮复习（理）　　坐标系与参数方程学案（全国通用） 13页

第1讲　坐标系与参数方程 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.‎ 热点一　极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，‎ 则 例1　(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．‎ 解　以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.‎ 当线段AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点，‎ 解　得 所以点B的直角坐标为(－1,1)．‎ 所以点B的极坐标为.‎ 思维升华 ‎　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．‎ 跟踪演练1　(2017届河北省唐山市三模)点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2,0)，求△MAB的面积．‎ 解　(1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 设Q(ρ，θ)，则P，‎ 则ρ＝4cos＝4sin θ.‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. ‎ ‎(2)M到射线θ＝的距离为 d＝2sin ＝，‎ ‎|AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，‎ 则S＝|AB|×d＝3－.‎ 热点二　参数方程与普通方程的互化 ‎1．直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎2．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎3．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．‎ 例2　(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标是(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝＝，其中tan φ＝，‎ 当a≥－4时，d的最大值为 .‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．‎ 跟踪演练2　(2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是 (t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．‎ 解　(1)因为直线的参数方程是(t为参数)，‎ 消去参数t，得直线l的普通方程为x－y＋3＝0.‎ 由曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝2sin θ，‎ 得ρ2cos2θ＝2ρsin θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝2y.‎ ‎(2)由得x2－2x－6＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则AB的中点M.‎ 因为x1＋x2＝2，所以M(1,4)，‎ 又点P的直角坐标为(1,1)，‎ 所以|PM|＝＝3.‎ 热点三　极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ 例3　(2017届福建省泉州市质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线l：y＝kx(x≥0)分别交C1，C2于A，B两点(A，B异于原点)，当k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围．‎ 解　(1)由(α为参数)，‎ 可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α，‎ 即C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 方程ρcos2θ＝sin θ可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ，(*)‎ 将代入方程(*)，可得x2＝y，‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＝y.‎ ‎(2)联立方程组 解得A.‎ 联立方程组可得B(k，k2)，‎ 故|OA|·|OB|＝···k＝2k，‎ 又k∈(1，]，所以|OA|·|OB|∈(2,2]．‎ 思维升华　(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．‎ ‎(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．‎ 跟踪演练3　(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝3.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ 解　(1)因为2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，‎ 所以曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝3展开，得 ρsin θ－ρcos θ＝3，即y－x＝3，‎ 因此直线l的直角坐标方程为x－y＋3＝0.‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 则点P到直线l的距离为 d＝＝≤.‎ 当且仅当sin＝－1时等号成立，‎ 此时θ＝2kπ＋ (k∈Z)，即P，‎ 因此点P到直线l的距离的最大值为.‎ 真题体验 ‎1．(2017·北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.‎ ‎∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．‎ 又∵点A在圆C上，‎ ‎∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，‎ ‎|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α.‎ 于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cos α ‎＝4cos α ‎＝|sin 2α－cos 2α－|‎ ‎＝2≤2＋.‎ 当2α－＝－，即α＝－时，S取得最大值2＋，‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 押题预测 ‎1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．‎ 押题依据　极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题．‎ 解　(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.‎ 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，‎ 即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将　代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，‎ 得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，‎ 化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 由根与系数的关系，得 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝，‎ 故4cos2α＝1，解得cos α＝±.‎ 因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，其中a>b>0.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cos θ，射线l：θ＝α(ρ≥0)．若射线l与曲线C1交于点P，当α＝0时，射线l与曲线C2交于点Q，|PQ|＝1；当α＝时，射线l与曲线C2交于点O，|OP|＝.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程；‎ ‎(2)设直线l′：(t为参数，t≠0)与曲线C2交于点R，若α＝，求△OPR的面积．‎ 押题依据　将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．‎ 解　(1)因为曲线C1的参数方程为(φ为参数)，且a>b>0，所以曲线C1的普通方程为＋＝1，而其极坐标方程为＋＝1.‎ 将θ＝0(ρ≥0)代入＋＝1，‎ 得ρ＝a，即点P的极坐标为；‎ 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2，‎ 即点Q的极坐标为(2,0)．‎ 因为|PQ|＝1，所以|PQ|＝|a－2|＝1，‎ 所以a＝1或a＝3.‎ 将θ＝(ρ≥0)代入＋＝1，‎ 得ρ＝b，即点P的极坐标为，‎ 因为|OP|＝，所以b＝.又因为a>b>0，所以a＝3，‎ 所以曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为直线l′的参数方程为(t为参数，t≠0)，‎ 所以直线l′的普通方程为y＝－x(x≠0)，‎ 而其极坐标方程为θ＝－(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 所以将直线l′的方程θ＝－代入曲线C2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR|＝1.‎ 因为将射线l的方程θ＝(ρ≥0)代入曲线C1的方程＋＝1，‎ 得ρ＝，即|OP|＝，‎ 所以S△OPR＝|OP||OR|sin∠POR ‎＝××1×sin ＝.‎ A组　专题通关 ‎1．(2017届哈尔滨市第三中学二模)圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋sin2θ)＝2.‎ ‎(1)以极点为原点，x轴非负半轴为极轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标(直角坐标和极坐标均可)．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 焦点的直角坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 焦点的极坐标为F1(1，π)，F2(1,0)．‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y＝x，‎ 曲线C：＋y2＝1，‎ 设直线m：y＝x＋t，‎ 即当直线m与曲线C相切时，切点M到直线l的距离最大．‎ 由 化简得7x2＋4tx＋2t2－2＝0，‎ Δ＝48t2－56(t2－1)＝0，解得t＝±，‎ x＝±，y＝∓，‎ 所以M或M.‎ ‎2．已知曲线C的参数方程为(φ为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求＋的值．‎ 解　(1)依题意知，曲线C的普通方程为 x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0，‎ 故x2＋y2＝6y，故ρ2＝6ρsin θ，‎ 故所求极坐标方程为ρ＝6sin θ.‎ ‎(2)设直线l为(t为参数)，‎ 将此参数方程代入x2＋y2－6y＝0中，‎ 化简可得t2－2t－7＝0，显然Δ>0.‎ 设M，N所对应的参数分别为t1，t2，‎ 故 ＋＝＝＝＝.‎ ‎3．(2017届四川省成都市九校模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C为(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．‎ 解　(1)曲线C化为普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝－1，‎ 得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1化简，得2t2－t－2＝0.‎ 设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝－1，‎ 所以|MA||MB|＝|t1t2|＝1.‎ ‎4．(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，‎ 联立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，‎ 所以l3与C的交点M的极径为.‎ ‎5．(2017届江西省重点中学协作体联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为.‎ ‎(1)求直线l以及曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．‎ 解　(1)由 消去t得y＝x，‎ 则ρsin θ＝ρcos θ，∴θ＝，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，‎ 则(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－2)2＝4，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋9＝0.‎ ‎(2)由 得到ρ2－7ρ＋9＝0，设其两根为ρ1，ρ2，‎ 则ρ1＋ρ2＝7，ρ1ρ2＝9，‎ ‎∴|AB|＝|ρ2－ρ1|＝＝.‎ ‎∵点P的极坐标为，‎ ‎∴|OP|＝2，∠POB＝，‎ ‎∴S△PAB＝|S△POB－S△POA|‎ ‎＝××2×|AB|＝.‎ B组　能力提高 ‎6．(2017届广东省深圳市一模)在直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程为 (α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线E的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．‎ ‎(1)解　将点P代入曲线E的方程得 解得a2＝3，‎ 所以曲线E的普通方程为＋＝1，‎ 极坐标方程为ρ2＝1.‎ ‎(2)证明　不妨设点A，B的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B，ρ1>0，ρ2>0，‎ 则 即 所以＋＝，即＋＝，‎ 所以＋为定值.‎ ‎7．(2017届广西玉林、贵港质检)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的参数方程为ρ＝2cos(θ为参数)．‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值．‎ 解　(1)点P的直角坐标为，‎ 由ρ＝2cos，‎ 得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入①，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为 2＋2＝1.‎ ‎(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝的直角坐标方程为2x＋4y－＝0，‎ 设点Q的直角坐标为，‎ 则M，‎ ‎∴M到直线l的距离 d＝ ‎＝ ‎＝，其中tan φ＝.‎ ‎∴d≥＝(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，‎ ‎∴M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值为.‎ ‎8．(2017届四川省大教育联盟三诊)已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin.‎ ‎(1)求证：l1⊥l2；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，P为直线l1，l2的交点，求|OP||AP|的最大值．‎ ‎(1)证明　易知直线l1的普通方程为xsin α－ycos α＝0.‎ 又ρcos(θ－α)＝2sin可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin，‎ 即直线l2的直角坐标方程为 xcos α＋ysin α－2sin＝0.‎ 因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0，‎ 根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2.‎ ‎(2)解　当ρ＝2，θ＝时，‎ ρcos(θ－α)＝2cos＝2sin，‎ 所以点A在直线ρcos(θ－α)＝2sin上．‎ 设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为＝1.‎ 于是|OP||AP|＝d·|OA|＝2d≤2，‎ 所以|OP||AP|的最大值为2.‎