2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：11-2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（讲解部分） 21页

11.2 　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 高考理数 考点一    离散型随机变量的分布列 考点清单 考向基础 1.离散型随机变量的分布列 一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 , x 2 , … , x i , … , x n , X 取每一个 值 x i ( i =1,2, … , n )的概率 P ( X = x i )= p i ,则下表称为随机变量 X 的概率分布列,简 称为 X 的分布列. X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 2.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质: (1) p i ≥ 0, i =1,2, … , n ; (2) p 1 + p 2 + … + p i + … + p n =1; (3) P ( x i ≤ X ≤ x j )= p i + p i +1 … + p j ( i < j 且 i , j ∈N * ). 【温馨提示】分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列是否 有误,还可以求分布列中的某些参数. 3.常见的离散型随机变量的概率分布模型 (1)两点分布 若随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1- p p 则称 X 服从两点分布. (2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{ X = k }发 生的概率为 P ( X = k )=   ( k =0,1,2, … , m ),其中 m =min{ M , n },且 n ≤ N , M ≤ N , n 、 M 、 N ∈N * ,称分布列 X 0 1 … m P     …   　　为超几何分布列. 考向突破 考向一    求离散型随机变量的分布列 例1     (2019四川乐山第三次调研,6)设随机变量 ξ 的概率分布列如下表,则 P (| ξ -2|=1)=   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　     C.   　　　　    D.   ξ 1 2 3 4 P     a   解析 　根据随机变量 ξ 的概率分布列知,   +   + a +   =1,解得 a =   . 又| ξ -2|=1,∴ ξ =1或 ξ =3, 则 P (| ξ -2|=1)= P ( ξ =1)+ P ( ξ =3)=   +   =   . 故选C. 答案     C 考向二    超几何分布列的求解 例2     (2020届云南昆明第二次月考,17)某人在甲、乙两社区各经营一个小 商品店,他记录了连续25天的营业额(单位:拾元),结果用茎叶图表示如图. 甲 乙 3　1 27 7　5　5　0 28 4 5　4　2 29 2　5 8　7　3　3　1 30 4　6　7 9　4　0 31 2　3　5　5　6　8　8 8　5　5　3 32 0　2　2　4　7　9 7　4　1 33 1　3　6　7 34 3 2 35 6 (1)根据茎叶图,对甲、乙两店的营业额做比较,写出两个统计结论; (2)若从两店营业额超过3 300元的天中随机抽取3天做进一步分析,设抽到 甲店的天数为 X ,求 X 的分布列和均值. 解析 　(1)由茎叶图可以得到如下结论: ①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数. ②甲店营业额较乙店营业额更分散.(或乙店营业额较甲店营业额更集中 (稳定)或甲店营业额的分散程度比乙店营业额的分散程度更大) ③甲店营业额的中位数为3 070元,乙店营业额的中位数为3 180元. ④乙店营业额基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近).甲店营业 额除一个特殊值(3 520)外,也大致对称,其分布较均匀.   (4分) (2)由题中茎叶图可知,两店营业额超过3 300元的共有10天,其中,甲店有4 天,乙店有6天.   (6分) 由题意得 X 可能的取值为0,1,2,3, P ( X = k )=   ( k =0,1,2,3).   (8分) 于是, X 的概率分布列如下: X 0 1 2 3 P         　　故 E ( X )=0 ×   +1 ×   +2 ×   +3 ×   =   .   (12分) 考点二    离散型随机变量的均值与方差 考向基础 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 　　(1)均值 称 EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x i p i + … + x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (2)方差 称 DX =   ( x i - EX ) 2 p i 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的 平均偏离程度,其算术平方根   为随机变量 X 的标准差,记作 σX . 2.均值与方差的性质 (1) E ( aX + b )= aEX + b ( a , b 为实数). (2) D ( aX + b )= a 2 DX ( a , b 为实数). 3.两点分布的均值、方差 若 X 服从两点分布,则 EX = p , DX = p (1- p ). 考向突破 考向    求离散型随机变量的均值与方差 例     (2019广东佛山禅城期末,4)若随机变量 ξ 的分布列为 　　其中 m ∈(0,1),则下列结果中正确的是   (　　) A. E ( ξ )= m , D ( ξ )=(1- m ) 2      B. E ( ξ )=1- m , D ( ξ )=(1- m ) 2 C. E ( ξ )=1- m , D ( ξ )= m - m 2 　　　　    D. E ( ξ )=1- m , D ( ξ )= m 2 ξ 0 1 P m 1- m 解析　 由题意得 E ( ξ )=0 × m +1 × (1- m )=1- m , D ( ξ )=(0-1+ m ) 2 m +(1-1+ m ) 2 (1- m )= m - m 2 .故选C. 答案     C 方法1      离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法 1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行   说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 方法技巧 在求解时,要注意计数原理、排列组合及常见概率模型. 2.期望与方差的一般计算步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 的所有可能取值; (2)求 X 取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算. 例1     (2020届辽宁沈阳沈河第二中学10月月考)将4本不同的书随机放入 如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中. 　　(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率; (2)随机变量 X 表示放在2号抽屉中书的本数,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ). 1 2 3 4 解析 　(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有4 4 =256种不 同的方法. 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件 A ,则事件 A 包含   =24个基 本事件,∴ P ( A )=   =   ,即4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为   . (2) X 的可能取值为0,1,2,3,4. P ( X =0)=   =   , P ( X =1)=   =   , P ( X =2)=   =   , P ( X =3)=   =   , P ( X =4)=   =   , ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P           　     E ( X )=0 ×   +1 ×   +2 ×   +3 ×   +4 ×   =1. 方法2      利用期望与方差进行决策的方法 (1)当我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量 ξ 1 , ξ 2 的期望,当 E ( ξ 1 )= E ( ξ 2 )时,不应误认为它们一样好,需要用 D ( ξ 1 ), D ( ξ 2 )来比较这两个随机 变量的偏离程度. (2)当我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近. (3)当对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则 由方差来确定;若 E ( ξ 1 )与 E ( ξ 2 )比较接近且方差相差不大,应根据不同选择给 出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定. 例2     (2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后 即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为 备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这 种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:   以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率,记 X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n =19与 n =20之中选其 一,应选用哪个? 解题导引 (1)   (2)由(1)即可求解 n 的最小值; (3)   解析 　(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易 损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 可知 X 的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22, P ( X =16)=0.2 × 0.2=0.04; P ( X =17)=2 × 0.2 × 0.4=0.16; P ( X =18)=2 × 0.2 × 0.2+0.4 × 0.4=0.24; P ( X =19)=2 × 0.2 × 0.2+2 × 0.4 × 0.2=0.24; P ( X =20)=2 × 0.2 × 0.4+0.2 × 0.2=0.2; P ( X =21)=2 × 0.2 × 0.2=0.08; P ( X =22)=0.2 × 0.2=0.04.   (4分) 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分) (2)由(1)知 P ( X ≤ 18)=0.44, P ( X ≤ 19)=0.68,故 n 的最小值为19.   (8分) (3)记 Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n =19时, EY =19 × 200 × 0.68+(19 × 200+500) × 0.2+(19 × 200+2 × 500) × 0.08+(19 × 200+3 × 500) × 0.04=4 040.   (10分) 当 n =20时, EY =20 × 200 × 0.88+(20 × 200+500) × 0.08+(20 × 200+2 × 500) × 0.04= 4 080. 可知当 n =19时所需费用的期望值小于 n =20时所需费用的期望值,故应选 n = 19.   (12分)