高中数学选修第2章2_4_1同步练习 3页

高中数学人教A版选2-1 同步练习 (2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝－8x　　　　　　　　 B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：选C.显然由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.‎ (2012·沧州质检)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)‎ A. B．－ C．8 D．－8‎ 解析：选B.由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.‎ 抛物线y2＝2px(p>0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．‎ 解析：y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.‎ 答案： 抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是__________．‎ 解析：由已知抛物线开口向上，1＋＝5，所以p＝8，即抛物线的标准方程是x2＝16y.所以应填：x2＝16y.‎ 答案：x2＝16y ‎[A级　基础达标]‎ 顶点在原点，焦点是F(0，5)的抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝x D．x2＝y 解析：选B.由＝5得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故x2＝20y.‎ 抛物线y＝－的准线方程是(　　)‎ A．x＝ B．y＝2‎ C．x＝ D．y＝4‎ 解析：选B.抛物线方程化为标准式：x2＝－8y，所以准线方程是y＝2.‎ 抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线的焦点间的距离为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选D.抛物线的准线为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，由抛物线的定义知，点A与焦点间的距离也是5.‎ 以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是__________．‎ 解析：由双曲线－＝1，‎ 得抛物线的焦点坐标为(4，0)，‎ 故可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ 所以＝4，即p＝8，抛物线方程为y2＝16x.‎ 答案：y2＝16x 已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝__________．‎ 解析：抛物线的焦点坐标为，‎ 由 ＝5，得p＝4或p＝－12(舍去)．‎ 答案：4‎ 在抛物线y2＝12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标．‎ 解：由方程y2＝12x，知焦点F(3，0)，准线l：x＝－3，设所求点为P(x，y)，则由定义知：|PF|＝x＋3，又|PF|＝9，‎ ‎∴x＋3＝9，x＝6，代入y2＝12x，得y＝±6.‎ 故所求点的坐标为(6，6)，(6，－6)．‎ ‎[B级　能力提升]‎ 一动圆圆心在抛物线x2＝4y上，过点(0，1)且与定直线l相切，则l的方程为(　　)‎ A．x＝1 B．x＝ C．y＝－1 D．y＝－ 解析：选C.因为动圆过点(0，1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0，1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0，1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.‎ 已在点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)‎ A. B. C．(1，2) D．(1，－2)‎ 解析：选A.点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线距离，如图，PF＋PQ＝PS＋PQ，故最小值在S，P，Q 三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.‎ 若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．‎ 解析：设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2，0)的距离为r＋1.O′到x＝－1的距离为r，∴O′到(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.‎ 答案：y2＝8x 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．‎ ‎(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；‎ ‎(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.‎ 解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3，0)，‎ 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，∴p＝6，‎ ‎∴方程为y2＝－12x.‎ ‎(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，‎ 由抛物线定义得5＝|AF|＝.‎ 又(－3)2＝2pm，‎ ‎∴p＝±1或p＝±9，‎ 故所求抛物线方程为 y2＝±2x或y2＝±18x.‎ (创新题)已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．‎ 解：如图，设点M的坐标为(x，y)，由于点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，则点M到点F(4，0)的距离与它到直线l′：x＋4＝0的距离相等．根据抛物线的定义可知点M的轨迹是以F为焦点，直线l′为准线的抛物线，且＝4，即p＝8.‎ 所以点M的轨迹方程为y2＝16x.‎