湖南省郴州市湘南中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 17页

湘南中学2019年下期高三理科数学期中考试试题 总分 150分 时量 120分钟 一、选择题（5×12=60分）‎ ‎1.集合，，则是（ ）‎ A. ， B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合 ，进而求交集即可.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二次函数的值域及一次函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项．‎ ‎3.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．‎ ‎4.设，，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.‎ ‎【详解】因为，所以；；；‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.‎ ‎5.在△ABC中，“”是“A＜B”的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性．‎ ‎【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.‎ ‎6.命题“”的否定是（　　）‎ A. 不存在， B. 存在，‎ C. ， D. 对任意的，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“”的否定是：，．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，熟记概念即可，属于基础题型.．‎ ‎7.若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是(　　)‎ A. [－8，－3] B. [－5，－1] C. [－2，0] D. [1，3]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数值域与的值域相同，代入函数中，容易求得函数的值域，得到结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即的值域为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及到的知识点有左右平移不改变函数的值域，不等式的性质，属于简单题目.‎ ‎8.已知函数，若，则 （ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎9.设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据函数是奇函数将转化为，再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数的函数值的正负，最后即可得出结果．‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，‎ 所以，即，‎ 因为奇函数在上为单调递减函数，且，‎ 所以奇函数在上为单调递减函数，且，‎ 所以奇函数在上是正值，在上是负值，‎ 在上是正值，上是负值，‎ 所以上满足大于等于0，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有，考查推理能力，考查化归思想，是中档题．‎ ‎10.已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可转化为函数在不单调，即对称轴要落在上，即可求解．‎ ‎【详解】解：依题意得在上不单调，即 化简得：，‎ ‎∴，即，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式和正弦函数的基本性质，属于中档题．‎ ‎11.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于(　　)‎ A. 14 B. 10 C. 7 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，即，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有0个交点，所以，所以．‎ 考点：函数的图像 ‎【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数．‎ ‎12.已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.‎ 详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，‎ 则当时，得，即，‎ 则满足，‎ 则，即，则，‎ 设，则，‎ 当，解得，当，解得，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以，即的取值范围是，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 二、填空题：（4×5=20分）‎ ‎13.，则______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法即可得到结果.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.‎ ‎14.已知定义在R上的奇函数，对任意x都满足，且当，，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由可得，结合函数是奇函数可得，即是周期为12的函数，由此即可得答案．‎ ‎【详解】解：由 可得，又由在R上奇函数，‎ 即，有，则是周期为12的周期函数．．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的运用，关键是分析出函数的周期性．‎ ‎15.已知， 是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若 ·＝0，则实数k的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：因为为两个夹角为的单位向量，，‎ 所以即为 ‎16.已知函数，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当当时，利用导数知识可知在上单调递增，分类讨论解不等式即可.‎ ‎【详解】当时，，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 由不等式可得：‎ ‎ 或 解得：或，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（70分）‎ ‎17.在锐角三角形中，内角的对边分别为且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求 △的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.‎ ‎【详解】（1）由及正弦定理，得.‎ 因为为锐角，所以.‎ ‎（2）由余弦定理，得，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ 考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.‎ ‎18.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.‎ ‎（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.‎ ‎【详解】（1）的图象经过点,‎ ‎①,‎ 因为，则,‎ 由条件，即②，‎ 由①②解得.‎ ‎（2），‎ 令得或，‎ 函数在区间上单调递增，‎ ‎,‎ 或，‎ 或 ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎19.设数列的前n项和，满足，且.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）知道关于的式子，再构造一个，即可．‎ ‎（2）利用错位相减法即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴，‎ 两式相减得 ‎ 又且，解得，所以.‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ 又 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，∴，‎ 则 ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得：-=‎ 故 ‎【点睛】本题考查求数列的通项公式，以及求数列的前n项和，属于中档题．‎ ‎20.函数 ‎ ‎（1）当 时，求函数在 上的值域；‎ ‎（2）是否存在实数 ，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）不存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.‎ 试题解析：解：（1）由题意：，‎ 令，所以，所以函数的值域为； ‎ ‎（2）令，则在上恒正，，在上单调递减，，即 ‎ 又函数在递减，在上单调递减，‎ ‎，即 ， 又函数在的最大值为1，，‎ 即， 与矛盾，不存在.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）由，转化为，构造函数，且有，问题转化为，对函数求导，分析函数 的单调性，结合不等式求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，.‎ ‎①当时，对任意的，，此时，函数的单调递减区间为；‎ ‎②当时，令，得；令，得.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），即，得，‎ 又，不等式两边同时除以，得，即.‎ 易知，由题意可知对任意恒成立，.‎ ‎①若，则当时，，，此时，‎ 此时，函数在上单调递减，则，不合乎题意；‎ ‎②若，对于方程.‎ ‎（i）当时，即，恒成立，‎ 此时，函数在上单调递增，则有，合乎题意；‎ ‎（ii）当时，即时，‎ 设方程的两个不等实根分别为、，且，‎ 则，，所以，，，.‎ 当时，；当时，，，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.‎ ‎22.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N*）‎ ‎（1）设完成A 型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；‎ ‎（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？‎ ‎【答案】（1）（）（2）32‎ ‎【解析】‎ 详解】(1)生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间（其中,且）‎ ‎（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间（其中,且）；‎ 设完成全部生产任务所需时间小时，则为与中的较大者，‎ 令，则，解得 所以，当时，；当时，‎ 故…‎ 当时，，故在上单调递减，‎ 则在上的最小值为（小时）；‎ 当时，，故在上单调递增，‎ 则在的最小值为（小时）； ‎ ‎，在上的最小值为，为所求，‎ 所以，为了在最短时间内完成生产任务，应取32‎ ‎ ‎