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- 2021-06-11 发布
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选修2-2 1.7 定积分的简单应用
一、选择题
1.如图所示,阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)-g(x)]dx D.[g(x)-f(x)]dx
[答案] C
[解析] 由题图易知,当x∈[a,b]时,f(x)>g(x),所以阴影部分的面积为[f(x)-g(x)]dx.
2.如图所示,阴影部分的面积是( )
A.2 B.2-
C. D.
[答案] C
[解析] S=-3(3-x2-2x)dx
即F(x)=3x-x3-x2,
则F(1)=3-1-=,
F(-3)=-9-9+9=-9.
∴S=F(1)-F(-3)=+9=.故应选C.
3.由曲线y=x2-1、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2-1)dx
B.|(x2-1)dx|
C.|x2-1|dx
D.(x2-1)dx+(x2-1)dx
[答案] C
[解析] y=|x2-1|将x轴下方阴影反折到x轴上方,其定积分为正,故应选C.
4.设f(x)在[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成图形的面积为( )
A.f(x)dx B.|f(x)dx|
C.|f(x)|dx D.以上都不对
[答案] C
[解析] 当f(x)在[a,b]上满足f(x)<0时,f(x)dx<0,排除A;当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时,f(x)dx是两面积之差,排除B;无论什么情况C对,故应选C.
5.曲线y=1-x2与x轴所围图形的面积是( )
A.4 B.3
C.2 D.
[答案] B
[解析] 曲线与x轴的交点为,
故应选B.
6.一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动,则它在t
=0s到t=3s时间段内的位移是
( )
A.31m B.36m
C.38m D.40m
[答案] B
[解析] S=(3t2+2t)dt=(t3+t2)=33+32=36(m),故应选B.
7.(2010·山东理,7)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由得交点为(0,0),(1,1).
∴S=(x2-x3)dx==.
8.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为( )
A.8J B.10J
C.12J D.14J
[答案] D
[解析] 由变力做功公式有:W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J),故应选D.
9.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=,那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B.3-
C.6+3 D.6-3
[答案] D
[解析] dt==6-3,故应选D.
10.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为a3,则直线l的方程为( )
A.y=±ax B.y=ax
C.y=-ax D.y=-5ax
[答案] B
[解析] 设直线l的方程为y=kx,
由得交点坐标为(0,0),(2a+k,2ak+k2)
图形面积S=∫[kx-(x2-2ax)]dx
=
=-==a3
∴k=a,∴l的方程为y=ax,故应选B.
二、填空题
11.由曲线y2=2x,y=x-4所围图形的面积是________.
[答案] 18
[解析] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组得交点坐标为(2,-2),(8,4).
因此所求图形的面积S=-2(y+4-)dy
取F(y)=y2+4y-,则F′(y)=y+4-,从而S=F(4)-F(-2)=18.
12.一物体沿直线以v=m/s的速度运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是________.
13.由两条曲线y=x2,y=x2与直线y=1围成平面区域的面积是________.
[答案]
[解析] 如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2(x2dx+dx-x2dx)=.
14.一变速运动物体的运动速度v(t)=
则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位:m/s,时间单位:s)______________________.
[答案] 9-8ln2+
[解析] ∵0≤t≤1时,v(t)=2t,∴v(1)=2;
又1≤t≤2时,v(t)=at,
∴v(1)=a=2,v(2)=a2=22=4;
又2≤t≤e时,v(t)=,
∴v(2)==4,∴b=8.
∴路程为S=2tdt+2tdt+dt=9-8ln2+ .
三、解答题
15.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.
[解析] 由解得x=0及x=3.
从而所求图形的面积
S=(x+3)dx-(x2-2x+3)dx
=[(x+3)-(x2-2x+3)]dx
=(-x2+3x)dx
==.
16.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.
[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2,
∴f(x)=x2+2x+c.
又方程f(x)=0有两个相等实根.
∴判别式Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依题意有(x2+2x+1)dx=-t(x2+2x+1)dx,
∴=
即-t3+t2-t+=t3-t2+t.
∴2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,∴t=1- .
17.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点的速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:
(1)A、C间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间.
[解析] (1)设A到C经过t1s,
由1.2t=24得t1=20(s),
所以AC=∫1.2tdt=0.6t2=240(m).
(2)设从D→B经过t2s,
由24-1.2t2=0得t2=20(s),
所以DB=∫(24-1.2t)dt=240(m).
(3)CD=7200-2×240=6720(m).
从C到D的时间为t3==280(s).
于是所求时间为20+280+20=320(s).
18.在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为,试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程.
[解析] 如图所示,设切点A(x0,y0),由y′=2x,过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x.
令y=0得x=,即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,
S=S曲边△AOB-S△ABC.
S曲边△AOB=∫x00x2dx=x,
S△ABC=|BC|·|AB|
=·x=x,
即S=x-x=x=.
所以x0=1,从而切点A(1,1),切线方程为y=2x-1.