高中数学选修2-2教学课件4_5_5_1定积分在几何中的简单应用 21页

4.5.5 定积分在几何中的简单应用 定积分的简单应用 1 、定积分的几何意义： O x y a b y  f ( x ) x = a 、 x = b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 x y O a b y  f ( x ) =- S 当 f ( x )  0 时，由 y  f ( x ) 、 x  a 、 x  b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， 一、复习回顾 定理 （微积分基本定理） 2 、牛顿 — 莱布尼茨公式 如果 f(x) 是区间 [a,b] 上的连续函数 , 并且 F ’ (x)=f(x), 则 一、复习回顾 二、热身练习 1 解： 如图由几何意义 2 计算 : 计算： 解：如图由几何意义 定积分的简单应用 0 y x 定积分的简单应用 3 . 计算由 与 x 轴及 x= － 1 ， x ＝ 1 所围成的面积 x y N M O a b A B C D 4 ．用定积分表示阴影部分面积 二、热身练习 A 2 a b 曲边梯形（三条直边，一条曲边） a b X A 0 y 曲边形 面积 A=A 1 -A 2 a b 1 三、问题探究 曲边形面积的求解思路 定积分的简单应用 四、例题实践 求曲边形面积 例１．计算由曲线 与 所围图形的面积 解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积 解方程组 得交点横坐标为 及 Ｓ ＝ Ｓ 曲边梯形ＯＡＢＣ －Ｓ 曲边梯形ＯＡＢＤ ＝ ＝ ＝ ＝ 定积分的简单应用 A B C D x y O 1 1 - 1 - 1 归纳 求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤： （ 1 ）画草图，求出曲线的交点坐标 （ 3 ）确定被积函数及积分区间 （ 4 ）计算定积分，求出面积 定积分的简单应用 （ 2 ）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 4 x y O 8 4 2 2 B S 1 S 2 Ａ： 4 y O 8 4 2 2 A S 1 S 2 例 2 ．计算由曲线 直线 以及 x 轴 所围图形的面积Ｓ 定积分的简单应用 四、例题实践 求曲边形面积 Ｂ： x y O 1 五、巩固练习 提高题 1: 定积分的简单应用 求曲线 与直线 所围成平面图形的面积 S 1 解题要点 : S 2 有其他方法吗？ S 1 = S 2 七、作业 1 、书本 P71 、 80 2 、课堂完全解读 3 、同步导学 六、小结 1 ．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2 ．如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 3 ．解题时应注意些什么呢？ 4 ．体会到什么样的数学研究思路及方法呢？ 思考 h b 如图 , 一桥拱的形状为抛物线 , 已知该抛物线拱的高为常数 h, 宽为常数 b. 求证 : 抛物线拱的面积 定积分的简单应用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程 求由曲线围成的平面图形面积 的 解题步骤 提高题 2 ： x h b y 0 证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为 则有 得 所以抛物线方程为 于是，抛物线拱的面积为 代抛物线上一点入方程 S 2S 定积分的简单应用 拓展 1 求椭圆 解 : 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 拓展 2 ： 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A ( x ), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 , 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 , 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时 , 有 例 2. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积 . 解 : 方法 1 利用直角坐标方程 则 ( 利用对称性 ) 方法 2 利用椭圆参数方程 则 特别当 b = a 时 , 就得半径为 a 的球体的体积 思考 : 试推导圆锥以及圆台的体积计算公式 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出 : 弧长元素 ( 弧微分 ) : 因此所求弧长 拓展 3 ：平面曲线的弧长 (2) 曲线弧由参数方程给出 : 弧长元素 ( 弧微分 ) : 因此所求弧长 例 3 ： 求连续曲线段 解 : 的弧长 .