数学卷·2018届江西省宜春市上高二中高二上学期第二次月考数学试卷（文科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ ‎2．如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 ‎4．下列命题正确的个数为（　　）‎ ‎①经过三点确定一个平面；‎ ‎②梯形可以确定一个平面；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为（　　）‎ A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2‎ ‎6．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．若m⊥β，m∥α，则α⊥β B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． +π B． +2π C．2+π D．2+2π ‎8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．x≤y ‎11．已知平面上两点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上存在点P，使得∠APB=90°，则a的取值范围是（　　）‎ A．[3，6] B．[3，7] C．[4，6] D．[0，7]‎ ‎12．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为　　．‎ ‎14．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为　　‎ ‎16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ADC=90°，且AA1=AD=DC=2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知圆C经过坐标原点O，A（6，0），B（0，8）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（﹣2，0）的直线l和圆C的相切，求直线l的方程．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）BE∥平面PAD；‎ ‎（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．‎ ‎（1）证明：平面PBE⊥平面PAC ‎（2）试在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．‎ ‎20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．‎ ‎（3）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥AD； ‎ ‎（2）求点D到平面PAM的距离．‎ ‎22．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．‎ ‎（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：由题意知圆半径r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】利用三视图的有关知识即可得出．‎ ‎【解答】解：由俯视图可知：该几何体的侧视图中，最左边由2个正方体，中间有3个正方体，右边有1个正方体，‎ 故答案为C．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：‎ x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，‎ 故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，‎ ‎∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，‎ ‎∴|R﹣r|＜d＜R+r，‎ 则两圆的位置关系是相交．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题正确的个数为（　　）‎ ‎①经过三点确定一个平面；‎ ‎②梯形可以确定一个平面；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】根据平面的基本性质及推论（公理1，2，3及推论），逐一分析四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据公理2，经过不共线三点确定一个平面，可得①错误；‎ 根据公理2的推论，两个平行直线确定一个平面，结合梯形两底边平行，可得②梯形可以确定一个平面，正确；‎ 两两相交的三条直线且不共面可以确定三个平面，故③正确；‎ 如果两个平面有三个共线公共点，则这两个平面重合或相交，故④错误．‎ 则命题正确的个数为2个，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为（　　）‎ A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据所给的图形中∠BAD=45°，得到原图形为一个直角梯形，然后，根据高之间的关系进行求解．‎ ‎【解答】解：根据题意，得∠BAD=45°，原图形为一个直角梯形；‎ 且上下底面的边长和BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍；‎ ‎∴原平面图形的面积为=8（cm2）．‎ 故答案为：8cm2．‎ ‎　‎ ‎6．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．若m⊥β，m∥α，则α⊥β B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ ‎【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于A，m∥α，过m的平面与α交于n，则m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，∵n⊂α，∴α⊥β，故正确；‎ 对于B，不正确．如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．‎ 对于C，因为若α⊥β，m⊂β，则m与α的位置关系不确定，故m与α可能相交，可能平行，也可能是m⊂α，‎ 对于D，因为γ，β 垂直于同一个平面α，故γ，β 可能相交，可能平行．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． +π B． +2π C．2+π D．2+2π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，‎ ‎∵圆柱的底面直径为2，高为2，‎ 棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，‎ 于是该几何体的体积为．‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由=，利用等积法能求出点A到平面A1BC的距离．‎ ‎【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，‎ ‎∵=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得h=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），‎ 又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，‎ 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，‎ 解得：k=；‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为=，‎ 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎10．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．x≤y ‎【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【分析】画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD，连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，D1F，则D1F为所求．‎ ‎【解答】解：画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD，‎ 连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，则ABFG为正方形，‎ 连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值：D1F==‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知平面上两点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上存在点P，使得∠APB=90°，则a的取值范围是（　　）‎ A．[3，6] B．[3，7] C．[4，6] D．[0，7]‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设P（m，n）在圆C上，表示出=（a+m，n），=（m﹣a，n），利用∠APB=90°，求出a2，根据|OP|表示的几何意义，得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，‎ ‎∴圆心C（3，4），半径r=1；‎ 设点P（m，n）在圆C上，则=（a+m，n），=（m﹣a，n）；‎ ‎∵∠APB=90°，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴（m+a）（m﹣a）+n2=0；‎ 即a2=m2+n2；‎ ‎∴|OP|=，‎ ‎∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|﹣r=5﹣1=4；‎ ‎∴a的取值范围是[4，6]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】利用|PA|=|PB|，结合勾股定理，即可求得点P的轨迹方程，|OP|的最小值为O到直线的距离．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则 ‎∵|PA|=|PB|，‎ ‎∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1，‎ ‎∴3x+4y﹣4=0，‎ ‎∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即=‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为　（x﹣1）2+（y+3）2=29　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；‎ ‎，‎ 故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．‎ ‎　‎ ‎14．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．‎ ‎【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．‎ 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．‎ 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，‎ 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．‎ 易得，可由勾股定理求得|OE|=1，‎ 于是可得到，即为的最大值．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为　8π　‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：，，2的长方体的外接球，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，‎ 其外接球相当于一个长，宽，高分别为：，，2的长方体的外接球，‎ 故其外接球的表面积S=π（2+2+220=8π，‎ 故答案为：8π ‎　‎ ‎16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ADC=90°，且AA1=AD=DC=2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM=　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由D1M⊥平面A1C1D可知D1M1 ⊥A1D，由三垂线定理逆定理得到M在面DAA1D1上的射影为A，同理M在面DCC1D1上的射影为C．利用DM2=DA2+DC2=8 即可求出DM．‎ ‎【解答】解：∵D1M⊥平面A1C1D，∴A1D⊥D1M，设D1M在面ADD1A1上的射影为D1M1，由三垂线定理逆定理，D1M1 ⊥A1D，∵AA1=AD=DC=2，∴D1A⊥A1D，M1与A重合．同理M在面DCC1D1上的射影为C．所以AMCD是正方形，∴DM2=DA2+DC2=8，DM=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知圆C经过坐标原点O，A（6，0），B（0，8）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（﹣2，0）的直线l和圆C的相切，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，求得圆心的坐标；再由原点O在圆上，求得圆的半径，从而得到圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣2与圆C相切．当直线l不与x轴垂直时，用点斜式设l的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径求得斜率k的值，从而求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，‎ 即为直线x=3，y=4的交点，‎ ‎∴圆心为（3，4）．‎ 又原点O在圆上，‎ ‎∴圆的半径．‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣2与圆C相切．‎ 当直线l不与x轴垂直时，‎ 设l的方程为y=k（x+2），‎ 即kx﹣y+2k=0，‎ ‎∴，‎ 解这个方程得，‎ ‎∴此时直线l的方程为，‎ 即9x+40y+18=0．‎ ‎∴直线l的方程是x=﹣2，或9x+40y+18=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）BE∥平面PAD；‎ ‎（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．‎ ‎（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，‎ 从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．‎ 又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．‎ ‎（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．‎ 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．‎ 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，‎ ‎∴CD⊥EF ②．‎ 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．‎ 由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎　‎ ‎19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．‎ ‎（1）证明：平面PBE⊥平面PAC ‎（2）试在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BE，由正三角形性质得BE⊥CA，由此能证明面PBE⊥面PAC．‎ ‎（2）取CD中点F，则F就是使AD∥平面PEF的点，可利用三角形中位线定理证明．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BE，‎ 又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，‎ ‎∴BE⊥CA，又PA∩CA=A，‎ ‎∴BE⊥平面PAC，‎ ‎∵BE⊂平面PAC，∴面PBE⊥面PAC．‎ ‎（2）解：取CD中点F，则F就是使AD∥平面PEF的点，‎ ‎∵E、F分别为CA，CD的中点，‎ ‎∴EF∥AD，‎ 又EF⊂平面PEF，AD不包含于平面PEF，‎ ‎∴AD∥平面PEF．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．‎ ‎（3）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．由于此方程表示圆，可得5﹣m＞0，解出即可；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利OM⊥ON得y1y2+x1x2=0‎ ‎，即可解出m．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ ‎∵此方程表示圆，‎ ‎∴5﹣m＞0，即m＜5．‎ ‎（2）圆的方程化为 （x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心 C（1，2），半径，‎ 则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为 ‎ 由于，则，有，∴，得m=4．‎ ‎（3）由 消去x得（4﹣2y）2+y2﹣2×（4﹣2y）﹣4y+m=0，‎ 化简得5y2﹣16y+m+8=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=①，y1y2=②‎ 由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0‎ 即y1y2+（4﹣2y1）（4﹣2y2）=0，‎ ‎∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0．‎ 将①②两式代入上式得16﹣8×+5×=0，‎ 解之得m=．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥AD； ‎ ‎（2）求点D到平面PAM的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；‎ ‎（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD可得h的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，‎ ‎∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，‎ ‎∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．‎ ‎（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，‎ 由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．‎ 在Rt△POC中，，，‎ 在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，‎ ‎∴△PAC的面积，‎ 设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，‎ 又，∴，‎ 解得，∴点D到平面PAM的距离为．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．‎ ‎（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系．‎ ‎（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．‎ ‎（Ⅲ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，由此得到圆O是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此求出存在以AB为直径的圆P满足题意．从而能求出在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，‎ 所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4﹣0|＞r1+r2=3，‎ 所以圆O与圆C相离．…‎ ‎（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，即kx﹣y+4=0，‎ 所以O到l的距离，解得．‎ 所以切线l的方程为或…‎ ‎（Ⅲ）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，‎ 此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），‎ AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，‎ 即圆O也是满足题意的圆…‎ ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，‎ 由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，‎ 由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有…①…‎ 由①得，…②，…③‎ 若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则MA⊥MB，所以，‎ 因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，‎ 即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…‎ 则，所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．‎ 此时以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，‎ 即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…‎ 综上，在以AB为直径的所有圆中，‎ 存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）…‎