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- 2021-06-11 发布
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微专题 39 传统不等式的解法
一、基础知识
1、一元二次不等式:
可考虑将左边视为一个二次函数 ,作出图像,再找出 轴上方的部分
即可——关键点:图像与 轴的交点
2、高次不等式
(1)可考虑采用“数轴穿根法”,分为以下步骤:(令关于 的表达式为 ,不等式为
)
①求出 的根
② 在数轴上依次标出根
③ 从数轴的右上方开始,从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根
④ 观察图像, 寻找 轴上方的部分
寻找 轴下方的部分
(2)高次不等式中的偶次项,由于其非负性在解不等式过程中可以忽略,但是要验证偶次项
为零时是否符合不等式
3、分式不等式
(1)将分母含有 的表达式称为分式,即为 的形式
(2)分式若成立,则必须满足分母不为零,即
(3)对形如 的不等式,可根据符号特征得到只需 同号即可,所以将
分式不等式转化为 (化商为积),进而转化为整式不等式求解
4、含有绝对值的不等式
(1)绝对值的属性:非负性
(2)式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论
(常用);二是通过平方
(3)若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解:
① 的解集与 或 的解集相同
② 的解集与 的解集相同
2 0 0ax bx c a
2f x ax bx c x
x
x f x
0f x
0f x 1 2, ,x x
0f x x
0f x x
x
f x
g x
0g x
0f x
g x ,f x g x
0
0
f x g x
g x
f x g x f x g x f x g x
f x g x g x f x g x
(4)对于其它含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨
论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理
5、指对数不等式的解法:
(1)先讲一个不等式性质与函数的故事
在 不 等 式 的 基 本 性 质 中 , 有 一 些 性 质 可 从 函 数 的 角 度 分 析 , 例 如 :
,可发现不等式的两边做了相同的变换(均加上 ),将相同的变换视
为一个函数,即设 ,则 ,因为 为增函
数 , 所 以 可 得 : , 即 成 立 , 再 例 如 :
,可设函数 ,可知 时, 为增函数, 时,
为减函数,即
由以上两个例子我们可以得出:对于不等式两边作相同变换的性质,可将变换视为一个函
数,则在变换时不等号是否发生改变,取决于函数的增减性。增函数→不变号,减函数→变
号
在这种想法的支持下,我们可以对不等式的变形加以扩展,例如: ,则 的关
系如何?设 ,可知 的单调减区间为 ,由此可判断出:当
同号时,
(2)指对数不等式:解指对数不等式,我们也考虑将其转化为整式不等式求解,那么在指对
数变换的过程中,不等号的方向是否变号呢?先来回顾指对数函数的性质:无论是 还
是 ,其单调性只与底数 有关:当 时,函数均为增函数,当
时,函数均为减函数,由此便可知,不等号是否发生改变取决于底数与 1 的大小,
规律如下:
时,
时,
进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了
(3)对于对数的两个补充
① 对数能够成立,要求真数大于 0,所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于 0 这个条件,
a b a c b c c
f x x c ,a c f a b c f b f x x c
a b f a f b a b a c b c
0,
0,
c ac bca b c ac bc
f x cx 0c f x 0c
f x
0,
0,
c f a f b
a b
c f a f b
a b 1 1,a b
1f x x f x ,0 , 0, ,a b
1 1a b a b
xy a
log 0, 1ay x a a a 1a
0 1a
1a x y
log log ( , 0)
x y
a a
a a
x y x y
0 1a x y
log log ( , 0)
x y
a a
a a
x y x y
如当 时,
② 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”:因为 ,可作为转换的桥梁
例如: ?
某些不等式虽然表面形式复杂,但如果把其中一部分视为一个整体,则可对表达式进行简
化,进而解决问题,例如: ,可将为 视为一个整体,令 ,则
,则不等式变为 , ,两边可同取以
2 为底对数
6、利用换元法解不等式
(1)换元:属于化归时常用的一种方法,本质是研究对象的选取,不受题目所给字母的限制,
而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归,转化为能够解决的问题。如上一个例子中,通
过将 视为整体,从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解
(2)在换元的过程中,用新字母代替原来的字母和式子,将问题转化为新字母的问题,从而
要先了解新字母的取值范围。即若换元,则先考虑新元的初始范围
(3)利用换元法解不等式的步骤通常为:
①选择合适的对象进行换元:观察不等式中是否有相同的结构,则可将相同的结构视为一个
整体
②求出新元的初始范围,并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解 的范围
二、典型例题:
例 1:解下列一元二次不等式:
(1) (2)
(3) (4)
解(1)
即 与 轴的交点为
由图像可得满足 的 的范围为
不等式的解集为
(2) 令 ,则 可解得:
1a
0
log log 0a a
f x
f x g x g x
f x g x
1 loga a
22.5 log 2.5
2 2 22.5 2.5 1 2.5 log 2 log 2 log 32
2
2 3 2 4 0x x 2x 2xt
0t 2 3 4 0 4 1 0 4t t t t t 2 4x
2log 4 2x
2x
x
2 3 4 0x x 2 4 1 0x x
2 4 5 0x x 2 4 3 0x x
2 3 4 0x x 4 1 0x x
2 3 4f x x x x 1, 4x x
0f x x 1 4x
1,4
2 4 1f x x x 0f x 4 2 3 2 32x
-1 4
作图观察可得: 或
不等式的解集为
(3)令 ,则 中,
则 与 轴无公共点,即恒在 轴上方,
注:由(1)(2)我们发现,只要是 ,开口向上的抛物线与 轴相交,其图像都是类似
的,在小大根之间的部分 ,在小大根之外的部分 ,发现这个规律,在解一
元二次不等式时便有了更为简便的口诀
① 让最高次项系数为正
② 解 的方程,若方程有解,则 的解集为小大根之外, 的解集为
小大根之间,若方程无解,则作出图像观察即可
(4)解:先将最高次项系数变为正数:
方程 的根为
不等式的解集为
例 2:解下列高次不等式:(1)
(2)
(1)解:
则 的根
作图可得: 或
不等式的解集为
(2)思路:可知 ,所以只要 ,则 恒正,所以考虑先将恒正恒负的
因式去掉,只需解 ,可得 且
不等式的解集为
小炼有话说:在解高次不等式时,穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉,在进行穿根即可。
穿根法的原理:它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号,进而决定整个式子的符号,图
2 3x 2 3x
,2 3 2 3,
2 4 5f x x x 0f x 0
f x x x x R
0a x
0f x 0f x
0f x 0f x 0f x
2 24 3 0 4 3 0x x x x
2 4 3 0x x 4 2 7 2 72x
, 2 7 2 7,
1 2 3 0x x x
21 2 3 0x x x
1 2 3f x x x x
0f x 1 2 31, 2, 3x x x
1 2x 3x
1,2 3,
22 0x 2x 22x
1 3 0
2 0
x x
x
1 3x 2x
1,2 2,3
1 2 3
像中的数轴分为上下两个部分,上面为 的部分,下方为 的部分。以例 2
(1)为例,当 时,每一个因式均大于 0,从而整个 的符号为正,即在数轴的上方
(这也是为什么不管不等号方向如何,穿根时一定要从数轴右上方开始的原因,因为此时
的符号一定为正),当经过 时, 由正变负,而其余的式子符号未变,所以
的符号发生一次改变,在图像上的体现就是穿根下来,而后经过下一个根时, 的
符号再次发生改变,曲线也就跑到 轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是
在经历每一个根时,式子符号的交替变化。
例 3:解下列分式不等式:(1) (2)
解:(1)不等式等价于
不等式的解集为
(2)不等式等价于
解得:
不等式的解集为
例 4:(1) (2)
(3)
分式不等式在分母符号不定的情况下,千万不要用去分母的方式变形不等式(涉及到不等
号方向是否改变),通常是通过移项,通分,将其转化为 再进行求解
解:(1)
或
不等式的解集为
0f x 0f x
3x f x
f x 3x 3x
f x f x
x f x
2 1 03
x
x
2
2
4 3 06 8
x x
x x
2 1 3 0 1 , ,323 0
x x x
x
1 , ,32
2 2
2
4 3 6 8 0 1 3 2 4 0
2 46 8 0
x x x x x x x x
x xx x
且
1 2 3 4
2 4
x x
x x
或
且
1,2 3,4
2 1 13
x
x
2 21x x
2 16 12
x
x x
0f x
g x
2 1 2 11 1 03 3
x x
x x
4 3 04 0 43 3 0
x xx xx x
3x
,3 4,
(2)
不等式的解集为
(3)思路:观察发现分母 很成立,所以考虑直接去分母,不
等号的方向也不会改变,这样直接就化为整式不等式求解了
解:
不等式的解集为
例 5:解不等式:
(1) (2)
解:(1)方法一:
所解不等式可转化为
方法二:观察到若要使得不等式 成立,则 ,进而 内部恒
为正数,绝对值直接去掉,即只需解 即可。解得
不等式的解集为
(2)思路:观察可发现不等号左右两端式子相同,一个数的绝对值大于它本身,则这个数一
定是负数,所以直接可得:
不等式的解集为
小炼有话说:含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法
例 6:解不等式:(1) (2)
解:(1)含多个绝对值的问题,可通过“零点分段法”来进行分类讨论
令两个绝对值分别为零,解得: ,作出数轴,将数轴分为三部分,分类讨论
2 21x x
22 1 2 122 0 0 0 01 1 1 1
x x x xx xx x x x x
1 1 0 1 0 1
11 0
x x x x x
xx
或
1,0 1,
22 6 12 3 3 0x x x
2
2 1 6 126 12
x x x xx x
2 7 12 0 3 4 0x x x x 3 4x
3,4
2 3x x x 2 2x x
x x
2
2
2
3 4 03 3 0 23
x x x x or xx x x x xx x x
0 2x
2 3x x x 3 0 0x x 2x x
2 3x x x 0 2x
0,2
2 0 0 2x xx
0,2
1 2 5x x 2 1 2 0x x
2, 1x x
① 不等式变为
② 时,不等式变为 时不等式均成立
③ 不等式变为
综上所述:不等式的解集为
小炼有话说:零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在于需
要进行分类讨论,对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些
细节部分均要做好,才能保证答案的正确性
(2)思路:本题依然可以仿照(1)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观
察,所解不等式为 ,两边均是绝对值(非负数),所以还可以考虑两边平方
(所用不等式性质: )一次将两个绝对值去掉,再进行求解。
解:
不等式的解集为
例 7:解下列不等式:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1) (2)
或
不等式的解集为 不等式的解集为
(3)
1x 1 2 5 2x x x 1 2x
2 1x 1 2 5 3 5x x 2 1x
2x 1 2 5 3x x x 3 2x
3,2
2 1 2x x
2 20a b a b
2 1 2x x
2 2 2 22 1 2 4 4 1 4 4x x x x x x
23 3 1 1x x
1,1
2 3
21 22
x
x
2 2 10.2 0.04x x
2
2log 2 3x x 2
1log 2 1x x x
2 3
21 22
x
x
2 2 10.2 0.04x x
23 22 2x x 2 6 5 20.2 0.2x x
23 2x x 2 6 5 2x x
2 2 3 0x x 2 6 7 0x x
3x 1x 1 7x
, 1 3, 1,7
2
2log 2 3x x
2
2 2
2
log 2 log 8
2 0
x x
x x
2
2
2 8 2 4
2 0 0 2
x x x
x x x x
或
或
不等式的解集为
(4)
或
可解得:
不等式的解集为
例 8:解下列不等式:
(1) (2)
(3) (4)
(1)思路: ,从而可将 视为一个整体,则所解不等式可看做关于 的二次不等
式,解出 的范围,再反求 的范围即可
解:
令
即
不等式的解集为
(2)思路:观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点,联想到对数公式:
,从而选择一项进行变形(比如选择 ),再将 视为一个
整体解不等式,解出 的范围后进而求出 的范围
解:
2 0x 2 4x
2,0 2,4
2
1log 2 1x x x
2
1 1log 2 log 1x xx x x
2
2
2 1
1 1
2 0
x x x
x
x x
2
2
2 1
0 1 1
2 0
x x x
x
x x
3x
3,
9 4 3 12 0x x 11
2
1log log 1 14x x
1
2 1 12 6 82
x
x
2 3 3 1x x
2
9 3x x 3x 3x
3x x
9 4 3 12 0x x
2
3 4 3 12 0x x 3 , 0xt t
2 4 12 0 0 6t t t
30 3 6 log 6x x
3,log 6
1log loga
b
b a 1
1log 4x 1
2
log 1x
1
2
log 1x x
11
2
1log log 1 14x x
令
不等式转化为:
或 ,即 或
可解得: 或
(3)
令 不等式转化为:
即
不等式的解集为
(4)思路:所解不等式等价于 ,本题可以考虑对 的符号进行讨论,从
而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面,可发现 ,从而所解不等式转化为:
,将 视为一个整体,先解出 范围,进而解出 的范围
解:
令 ,所解不等式转化为
1 1
1 12 2
4 2
1 0 1
1 1 2
1 2log 1 1 log 1 1log 1 log 1
x x
x x
x xx x
1
2
t log 1x 0t
22 21 0 0 2 1 0t tt t t tt t
2t 0 1t 1
2
log 1 2x 1
2
0 log 1 1x
5x 3 22 x
1
2 1 12 6 82
x
x
2 212 16 2 8 2 3 2 82 2
x
x x x
2
2 6 2 16 0x x
2 , 0xt t 2 6 16 0 0 8t t t
0 2 8 3x x
,3
21 3 3 1x x x
22x x
2
2
3 3 1
3 3 1
x x
x x
x x x
2 23 3 1 1 3 3 1x x x x
2
2
3 3 1
3 3 1
x x
x x
0t x
2
2
3 3 1
3 3 1
t t
t t
即 即
或
不等式的解集为
例 9:已知不等式 的解集为 ,则 ___, ____
思路:所解不等式 ,即 ,
观察可得只要 让第二个不等式成立,则第一个一定成立。所以只需解 。由
已知可得此不等式的解集为 ,则 为 的两根,代
入 解得 ,再解得
答案:
小炼有话说:解多个同时成立的不等式时,不妨观察它们之间是否存在“替代”关系,从而
简化所解不等式的个数
例 10:已知不等式 的解集为 ,则 的取值范围是________
思路:所给条件等价于 的解集为 ,即 的解集为 ,由此
可得: 解得:
答案:
2
2
3 173 2 0 2
3 4 0 0 4
t t t
t t t
3 17 42 t 3 17 42 x
3 174 2x 3 17 42 x
3 17 3 174, ,42 2
2
2log 3 6 2ax x ,1 ,+b a b
2
2 2
2 2
3 6 0
log 3 6 log 4 3 6 4
ax x
ax x ax x
2
2
3 6 0
3 2 0
ax x
ax x
x 2 3 2 0ax x
,1 ,+b 1,x x b 2 3 2 0ax x
1x 1a 2b
1, 2a b
2
2log 2 5 1ax x R a
2
2
2 5 2
2 5 0
ax x
ax x
R 2 2 3 0ax x R
0
4 12 0
a
a
10 3a
10 3a