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- 2021-06-11 发布
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微专题 74 利用几何关系求解最值问题
一、基础知识:
1、利用几何关系求最值的一般思路:
(1)抓住图形中的定点与定长,通常与求最值相关
(2)遇到线段和差的最值,经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时,
便可围成三角形,从而由三角形性质可知两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,无法
取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的,
寻找线段和的最小值,则动点应在定点连成的线段上;若寻找线段差的最小值,则动点应在
定点连成的线段延长线上。
(3)若所求线段无法找到最值关系,则可考虑利用几何关系进行线段转移,将其中某些线段
用其它线段进行表示,进而找到最值位置
(4)处理多个动点问题时,可考虑先只让一个动点运动,其他动点不动,观察此动点运动时
最值选取的规律,再根据规律让其他点动起来,寻找最值位置。
2、常见的线段转移:
(1)利用对称轴转移线段(详见例 1)
(2)在圆中,可利用与半径相关的直角三角形(例如半弦,圆心到弦的垂线,半径;或是切
线,半径,点与圆心的连线)通过勾股定理进行线段转移。
(3)在抛物线中,可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的
相互转化。
(4)在椭圆中,利用两条焦半径的和为常数,可将一条焦半径转移至另一条焦半径
(5)在双曲线中,利用两条焦半径的差为常数,也可将一条焦半径转移至另一条焦半径(注
意点在双曲线的哪一支上)
3、与圆相关的最值问题:
(1 )已知圆 及圆外一定点 ,设圆 的半径为 则圆上点到
点距离的最小值为 ,最大值为 (即
连结 并延长, 为 与圆的交点, 为 延长线与圆的交
点
(2)已知圆 及圆内一定点 ,则过 点的所有弦中最长的为直径,
最短的为与该直径垂直的弦
C P C r P
PM PC r PN PC r
PC M PC N PC
C P P
MN
C
P
A
B
解:,弦长的最大值为直径,而最小值考虑弦长公式为 ,若 最小,则
要取最大,在圆中 为定值,在弦绕 旋转的过程中, ,所以 时,
最小
(3)已知圆 和圆外的一条直线 ,则圆上点到直线距离的最
小 值 为 , 距 离 的 最 大 值 为
(过圆心 作 的垂线,垂足为 , 与圆 交于 ,其
反向延长线交圆 于
(4)已知圆 和圆外的一条直线 ,则过直线 上的点作圆
的切线,切线长的最小值为
解: ,则若 最小,则只需 最小即可,
所以 点为过 作 垂线的垂足时, 最小
过 作圆的切线,则切线长 最短
4、与圆锥曲线相关的最值关系:
(1)椭圆:设椭圆方程为
① 焦半径:焦半径的最大值为 ,最小值为
② 焦点弦:焦点弦长的最小值称为通径,为 ,此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
(2)双曲线:设双曲线方程为
① 焦半径:焦半径的最小值为 ,无最大值
② 焦点弦:焦点弦长的最小值称为通径,为 ,此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
(3)抛物线:设抛物线方程为
① 焦半径:由抛物线的焦半径公式可知:焦半径的最小值为原点到焦点的距离,即
② 焦点弦:当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时,弦长最小,为
2 22AB r d AB d
CP P d CP d CP AB
C l
C lPM d r C lPN d r
C l P CP C M
C N
C l l
PM
2 2PM CP r PM CP
P C l CP
P PM
2 2
2 2 1 0x y a ba b
a c a c
22b
a
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
a c
22b
a
2 2y px
2
p
2p
l M
C
P
N
l
C
P
M
二、典型例题:
例 1:已知在平面直角坐标系中,点 , 为 轴上一动点,则 的
最小值为___________
思路:从所求可联想到三点不共线时,三角形两边之和大
于第三边(而三点共线时可能相等),由已知可得: ,
但从图像上发现无论 在何处, ,无法
取到等号。(即使 共线时等号也不成立),为了取到
最值。考虑利用对称转移所求线段。作 关于 轴的对称点
,从而有 ,所以 转化为
,可知当 三点共线时, ,即
答案:
小 炼 有 话 说 :(1)三点共线取得最值的条件:动点位于两定点之间时,则距离和取到最小
值。同理;当动点位于两定点同一侧时,距离差的绝对值取到最大值。
(2)处理线段和(差)最值问题时,如果已知线段无法找到最值关系,则可考虑利用“线段
转移法”,将某一线段替换成另一长度相等线段,从而构造出取得最值的条件
例 2:设抛物线 上一点 到此抛物线准线的距离为 ,到直线 的
距离为 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:通过作图可观察到直接求 的最值比较困难,所以考虑转移某个距离,由已知可
得 为 到准线的距离,所以可根据抛物线定义转移为
( 其 中 是 抛 物 线 的 焦 点 , ), 所 以
, 观 察 图 像 可 得 :
1,1 , 3,4A B P x PA PB
5AB
P PA PB AB
, ,P A B
A x
'A 'AP A P PA PB
'PA PB ', ,A P B ' '
min
41PA PB A B
min 41PA PB
41
2 4y x P 1d :3 4 12 0l x y
2d 1 2d d
3 16
5
18
5 4
1 2d d
1d P PF
F 1,0F
1 2 2d d PF d
答案:A
例 3:已知过抛物线 的焦点 的弦与抛物线交于 两点,过 分别作 轴的垂
线,垂足分别为 ,则 的最小值为__________
思路:设抛物线的准线为 ,由抛物线 可知 ,
观察图像可知 。而由抛物线定义可
得 : , 所 以
, 即 要 求 出
的最小值,只需求出 的最小值,即抛物线焦点弦
的 最 小 值 , 由 抛 物 线 性 质 可 知 当 轴 时 , 最 小 , , 所 以
答案:
例 4:已知点 在抛物线 的准线上,过点 作抛物线的切线,
若 切 点 在 第 一 象 限 , 是 抛 物 线 的 焦 点 , 点 在 直 线 上 , 点 在 圆
上,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:由图像可知,固定 点,则圆 上到 距离的最小值 ,所以只
需在直线上找到与圆心 距离最小的点,即 到直线 的
距离。需要确定抛物线方程和 点坐标,由 可得
准 线 方 程 为 , 所 以 , 抛 物 线 方 程 为
, 焦 点 设 , 则
2
3 1 12 35F lPF d d
2 4y x F ,A B ,A B y
,C D AC BD
l 2 4y x : 1l x
1, 1A l B lAC d BD d
,A l B ld AF d BF
1 1 2AC BD AF BF AB
AC BD AB
AB x AB min 2 4AB p
min 2AC BD
2
3, 12P
2: 2 0E x py p P
A F M AF N
2 2: 2 2 1C x y MN
1
5
6
5 2 6 2 1
M C M 1CM r CM
C C AF
A 3, 12P
1y 2p
2 214 4x y y x 0,1F 21, 4A a a
, 切 线 斜 率 , 从 而 , 即 ,
, 所 以 直 线 方 程 : , 从 而
答案:A
例 5:抛物线 上的点到直线 距离的最小值是( )
A. B. C. D.
思路一:直接利用点到直线距离公式得到距离关于 的函数,设抛物线上的点 ,则
,所以最小值为
思路二:本题也可将直线进行平移,平移至与抛物线相切,则两直线之间的距离即为所求最
小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线,设切点
坐 标 为 , 所 求 函 数 的 导 数 , 因 为 切 线 与
平 行 , 所 以 , 可 得 , 进 而
,故切线方程为: ,整理后可
得: ,所以两直线距离 ,即
抛物线上的点到距离的最小值
答案:B
例 6 : 已 知 点 是 抛 物 线 的 一 点 , 为 抛 物 线 的 焦 点 , 在 圆
上,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:本题含两个动点 ,先固定一个点不动,寻找最小值的规律。考虑固定 ,则圆
' 1
2y x 1
2k a
21 1 14 43 2
2
a
k a a
a
4,4A
4 1 3
4 0 4AFk AF 3 4 4 0x y
min 22
6 8 4 11 53 4
MN
2y x 4 3 8 0x y
1
4
4
3
8
5 3
x 2,P x x
2
2
2 2034 3 8 3 3 20 1 4
5 5 3 5 3P l
xx x
d
4
3
0 0,x y ' 2y x
4 3 8 0x y 0
42 3x 0
2
3x
2
0 0
4
9y x 4 4 2
9 3 3y x
44 3 03x y
48 3 4
5 3d
M 2 4y x F A
2 2: 4 1 1C x y MA MF
2 3 4 5
,M A M
上距离 最近的点为 与圆的交点,即 ,所以只需考虑
的最小值即可,通过移动 可知,无论 位于何处, ,
所 以 不 是 最 小 值 。 考 虑 转 移 线 段 , 抛 物 线 的 准 线
, 则 , 所 以
(即 到准线的距离,
所以
答案:C
例 7 : 已 知 动 点 在 椭 圆 上 , 若 点 的 坐 标 为 ,
,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
思路:由椭圆方程可知 即为椭圆的焦点,由 可知 是以 为圆心,半径为 1 的
圆上的点, 在圆外,且由 可得 ,所以 即为圆上的切线,
的 最 小 值 即 切 线 长 的 最 小 值 , 由 圆 的 性 质 可 得:
,所以只需找到 的最
小值即可,由椭圆性质可知: ,故
答案:B
例 8:设 是椭圆 的左焦点, 是椭圆上的任意一
点 , 点 的 坐 标 为 , 则 的 最 大 值 为
___________
思路:先作出椭圆图像,标出定点 的位置,若从 入手,
则由图发现无论 在何处, 。与所求最大值不符。考虑进行线段转移,
M MC min 1MA MC r MC
MC MF M M MC MF CF
CF
: 1l x M lMF d
5M l C lMC MF MC d d C
1 1 4C lMA MF MC MF d
,P x y
2 2
125 16
x y A 3,0
1, 0AM PM AM PM
2 3 2 3
A 1AM M A
P 0PM AM PM AM PM
PM
2 22 1PM PA r PA PA
min 5 3 2PA a c
2
min min 1 3PM PA
1F
2 2
125 16
x y P
M 6,4 1PM PF
1,M F 1F M
P 1 1PM PF F M
发现 为左焦半径,所以考虑作出右焦点 ,利用 进行线段
转移。即 ,只需求出 ,结合图像可得
, 且 , 从 而 可 得 :
答案:15
例 9 : 设 是 椭 圆 上 一 点 , 分 别 是 两 圆 和
上的点,则 的最小值和最大值分别为( )
A. 4,8 B. C. D.
思路:本题有三个动点 ,但观察可得 之间没
有联系,所以若 达到最小,则只需 分别
达 到 最 小 即 可 。 固 定 点 , 可 知
,
所以 ,可知 恰好为椭圆两个定点,所以由
椭圆定义可得: ,所以 ,同理可知:
, 所 以
答案:A
例 10 : 设 分 别 为 和 椭 圆
上 的 点 , 则 两 点 间 的 最 大 距 离 是
___________
思路:本题中 均为动点,所以考虑先固定一点不动,
比如 点,寻找此时达到最值时 位置的规律,进而再
1PF 2 3,0F 1 2 2 10PF PF a
1 210PM PF PM PF 2 maxPM PF
2 2PM PF F M 2 2
2 6 3 4 0 5F M
1 2max 10 15PM PF F M
P
2 2
19 5
x y ,M N 2 2
1 : 2 1C x y 2 :C
2 22 1x y PM PN
2,6 6,8 8,12
, ,P M N ,PM PN
PM PN ,PM PN
P
1 1 1 2 2 2min min1, 1PM PC r PC PN PC r PC
1 2 2PM PN PC PC 1 22,0 , 2,0C C
1 2 2 6PC PC a min 6 2 4PM PN
1 1 1 2 2 2max max1, 1PM PC r PC PN PC r PC
max 6 2 8PM PN
,P Q 22: 6 2C x y
2
2 110
x y ,P Q
,P Q
Q P
让 运动起来,找到最值。观察图像可得 点固定时, 达到的最大值时 在 延长线
与 的交点处,即 ,由于 ,所以只需找到 的最大值即可,设
,而 ,则 ,由 可得 ,代入
消 去 可 得 : , 因 为
,所以当 时, ,从而
答案:
三、历年好题精选
1、(2014,安徽)在平面直角坐标系 中,已知向量 ,点
满足 ,曲线 ,区域
,若 为两段分离的曲线,则( )
A. B. C. D.
2、已知直线 和直线 ,则抛物线 上一动点 到直线
的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
3、已知点 和 , 是椭圆 上一动点,则 的最
大值为_________
4、已知点 在抛物线 的准线上,过点 作抛物线的切线,若切
点 在第一象限, 是抛物线的焦点,点 在直线 上,点 在圆
上,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5、已知圆 ,圆 , 分别是圆
上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为 ( )
Q Q PQ P QC
C PQ QC r 2r QC
,Q x y 0,6C 2 22 6QC x y
2
2 110
x y 2 210 1x y
x
2
2 22 2 210 1 6 9 12 46 9 503QC y y y y y
1,1y 2
3y 2
max 50 5 2QC QC 6 2PQ QC r
6 2
xOy , , 1, 0a b a b a b
Q 2OQ a b | cos sin ,0 2C P OP a b
| 0 ,P r PQ R r R C
1 3r R 1 3r R 1 3r R 1 3r R
1 : 4 3 6 0l x y 2 : 1l x 2 4y x P 1 2,l l
2 3 11
5
37
16
4,0A 2,2B M
2 2
125 9
x y MA MB
3, 12P
2: 2 0E x py p P
A F M AF N
2 2: 2 2 1C x y MN
1
5
6
5 2 6 2 1
2 2
1 : 2 3 1C x y 2 2
2 : 3 4 9C x y ,M N 1 2,C C
P x PM PN
A. B. C. D.
6、(2016,绵阳二模)已知点 P 在单位圆 上运动,点 P 到直线 与
的距离分别记为 ,则 最小值为_________.
7、已知点 是双曲线 的右支上一点, 分别是圆 和
上的点,则 的最大值为_________
习题答案:
1、答案:A
5 2 4 17 1 6 2 2 17
122 yx 3 4 10 0x y
3x 1 2,d d 1 2d d
P
2 2
136 64
x y ,M N 2 210 4x y
2 210 1x y PM PN
解析:由 的特点可以以 所在直线为坐标轴建系,则有 ,
所以曲线 上点的坐标为 ,即圆心是原点的单位圆;另一方面
可得 ,所以 区域为以 为圆心, 为半径的
圆环。通过数形结合可得若 为两段分离的曲线,意味着以 为圆心, 为
半径的圆均与单位圆相交。所以
2、答案:A
解析:观察直线 的方程恰好是抛物线的准线,所以想到 到 的距离与 相等( 是抛
物线的焦点)。以此为突破口进行线段转移,所以 ,通过作图观察
可得 (等号成立条件: 为 到 的垂线与抛物线的焦点),且 ,
所以
3、答案:10+2 10
解析:可知 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点
为 ,连接 并延长交椭圆于 ,则 是使
取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点
有:
4、答案:A
解析:由点 在抛物线准线上可得:
设 解得: (舍)
由 可得 的方程为:
,a b ,a b 1,0 , 0,1a b
C cos ,sin
2, 2OQ 2, 2 , 2Q OQ Q ,r R
C Q ,r R
1
1 1 3
1
OQ r
R r R
OQ R
2l P 2l PF F
1 2 1P l P l P ld d d PF
1 1P l F ld PF d P F 1l 1,0F
1 2 1min
4 0 6 25P l P l F ld d d
A
1 4,0A 1BA 1M 1M
MA MB
M 2 2
1 12 2 2 5 6 2 10 2 10MA MB a MA MB a A B
3, 12P
2p
2 21: 4 4E x y y x ' 1
2y x
21, 4A a a
2
'
1 1 14| 3 2
2
AP x a
a
k y a
a
4, 1a a
4,4A 0,1F AF 31 3 4 4 04y x x y
在直线 上, 在圆上
5、答案:A
解析:设圆 的半径为 ,即 ,可知
关于 轴对称点为
,等号成立条件: 共线
6、答案:
解析:设点 ,可得 ,
,所以 ,所以
的最小值为
7、答案:15
解析:在双曲线 中,
M AF N
2 2
3 2 4 2 4 6 11 15 53 4C lMN d r
1 2,C C 1 2,r r 1
2
1
3
r
r
1 1 2 2,PM PC r PN PC r
1 2 1 2 1 2 4PM PN PC PC r r PC PC
1 2,3C x '
1 2, 3C
2 2' '
1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 5 2PC PC PC PC C C
5 2 4PM PN '
1 2, ,C C P
4 55 5
cos ,sinP 1 2 2
3cos 4sin 10 10 4sin 3cos
53 4
d
2 3 cosd 1 2
1 4 55 4sin 8cos 5 sin5 5d d 1 2d d
4 55 5
2 2
136 64
x y 6, 8, 10a b c
1 210,0 , 10,0F F 1 2 2 12PF PF a
1 1 2 2,MP PF MF PN PF NF
1 1 2 2 15PM PN PF MF PF NF