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  • 2021-06-11 发布

数学卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考数学试卷(理科) (解析版)

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‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二(上)第三次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.过点(﹣1,3)且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为(  )‎ A.x﹣2y+7=0 B.2x﹣y+5=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0‎ ‎2.双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎3.下列说法不正确的是(  )‎ A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题 B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”‎ C.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减 D.“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件 ‎4.在空间四边形OABC中,,,,点M在线段OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则等于(  )‎ A. ﹣+ B.﹣++ C. D.‎ ‎5.下列命题中正确命题的个数是(  )‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;‎ ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直;‎ ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行;‎ ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.P为抛物线y2=﹣4x上一点,A(0,1),则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )‎ A.2π+ B.4π+ C.4π+4 D.2π+4‎ ‎8.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25,圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.正四棱锥S﹣ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SB的中点,且SO=OD,则直线BC与AP所成的角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知两定点A(﹣1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P,以A为球心,AP为半径作一个球.设AP=x,记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x),则函数f(x)的图象最有可能的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点P为椭圆+=1上的动点,EF为圆N:x2+(y﹣1)2=1的任一直径,求最大值和最小值是(  )‎ A.16,12﹣4 B.17,13﹣4 C.19,12﹣4 D.20,13﹣4‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.)‎ ‎13.长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为  .‎ ‎14.直线l1:(3+a)x+4y=5﹣3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=  .‎ ‎15.已知正四面体ABCD,则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为  .‎ ‎16.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F,其中T为切点,M为切线与双曲线右支的交点,P为MF的中点,则|PO|﹣|PT|=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知命题p:“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”,命题q:∃x1∈R,8x12﹣8mx1+7m﹣6=0.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎18.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.‎ ‎(1)证明:直线MN∥平面OCD.‎ ‎(2)求三棱锥N﹣CDM的体积.‎ ‎19.已知抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线上的一个动点.‎ ‎(1)当|PF|=2时,求点P的坐标;‎ ‎(2)过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB,若P在弧AB上,求△PAB面积的最大值.‎ ‎20.已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.‎ ‎(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线方程;‎ ‎(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M且有|PM|=|PO|(O为原点),求使|PM|取得最小值时点P的坐标.‎ ‎21.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2,AB=1,点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角.‎ ‎(1)证明:BE⊥CD′;‎ ‎(2)求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值.‎ ‎22.已知椭圆G的中心是原点O,对称轴是坐标轴,抛物线的焦点是G的一个焦点,且离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆G的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知圆M的方程是x2+y2=R2(1<R<2),设直线l与圆M和椭圆G都相切,且切点分别为A,B.求当R为何值时,|AB|取得最大值?并求出最大值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二(上)第三次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.过点(﹣1,3)且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为(  )‎ A.x﹣2y+7=0 B.2x﹣y+5=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程.‎ ‎【分析】过点(m,n)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x﹣m)﹣A(y﹣n)=0,代入可得答案.‎ ‎【解答】解:过点(﹣1,3)且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为(x+1)﹣2(y﹣3)=0,‎ 即x﹣2y+7=0,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程,在由点到直线的距离公式求得答案.‎ ‎【解答】解:由双曲线﹣=1,得 a2=2,b2=3,c2=a2+b2=5,‎ ‎∴双曲线的右焦点F(,0),‎ 一条渐近线方程为y=x=x,即2y﹣x=0.‎ 由点到直线的距离公式得,焦点到其渐近线的距离d==.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.下列说法不正确的是(  )‎ A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题 B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”‎ C.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减 D.“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件 ‎【考点】特称命题.‎ ‎【分析】A根据复合命题的真假性,即可判断命题是否正确;‎ B根据特称命题的否定是全称命,写出它的全称命题即可;‎ C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论;‎ D说明充分性与必要性是否成立即可.‎ ‎【解答】解:对于A,当“p且q”为假时,p、q至少有一个是假命题,是正确的;‎ 对于B,命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”,是正确的;‎ 对于C,a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,命题正确;‎ 对于D,φ=时,y=sin(2x+φ)=cos2x是偶函数,充分性成立,‎ y=sin(2x+φ)为偶函数时,φ=kπ+,k∈Z,必要性不成立;‎ ‎∴是充分不必要条件,命题错误.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.在空间四边形OABC中,,,,点M在线段OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则等于(  )‎ A. ﹣+ B.﹣++ C. D.‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义.‎ ‎【分析】由题意结合图形,直接利用,求出,然后即可解答.‎ ‎【解答】解:因为空间四边形OABC如图,,,,‎ 点M在线段OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,‎ 所以=.‎ 所以=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.下列命题中正确命题的个数是(  )‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;‎ ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直;‎ ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行;‎ ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论.‎ ‎【分析】为了对各个选项进行甄别,不必每个选项分别构造一个图形,只须考查正方体中的线面即可.‎ ‎【解答】解:考察正方体中互相垂直的线和平面.‎ 对于①:过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直;如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直;故错;‎ 对于②:过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直;这是正确的,如图中,已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直;故正确;‎ 对于③:过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行;如图中:过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在;故错;‎ 对于④:过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.P为抛物线y2=﹣4x上一点,A(0,1),则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】通过抛物线方程可知焦点F(﹣1,0),利用两点间距离公式可知|AF|=,通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等,P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值.‎ ‎【解答】解:∵抛物线方程为y2=﹣4x,‎ ‎∴焦点F(﹣1,0),‎ 又∵A(0,1),‎ ‎∴|AF|==,‎ 由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等,‎ ‎∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )‎ A.2π+ B.4π+ C.4π+4 D.2π+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由题意,几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体,三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形,高为2,圆柱的底面半径是2,高为2,即可求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由题意,几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体,三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形,高为2,圆柱的底面半径是2,高为2,‎ 所以体积为+=2π+,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25,圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°,根据几何概型概率公式得到结果.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,‎ ‎∵圆心到直线的距离是=5,‎ ‎∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°‎ 根据几何概型的概率公式得到P==‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.正四棱锥S﹣ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SB的中点,且SO=OD,则直线BC与AP所成的角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值.‎ ‎【解答】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz.‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a,‎ 则A(a,0,0),B(0,a,0),S(0,0,a),‎ C(﹣a,0,0),P(0,,).‎ 则=(﹣a,﹣a,0),=(﹣a,,),‎ C=(a,a,0).‎ 设直线BC与AP所成的角为θ,‎ 则cosθ===.‎ ‎∴直线BC与AP所成的角的余弦值为.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.已知两定点A(﹣1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】求出A的对称点的坐标,然后求解椭圆长轴长的最小值,然后求解离心率即可.‎ ‎【解答】解:A(﹣1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(﹣3,2),连接A′B交直线l于点P,‎ 则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2,‎ 所以椭圆C的离心率的最大值为: ==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P,以A为球心,AP为半径作一个球.设AP=x,记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x),则函数f(x)的图象最有可能的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】棱柱的结构特征;函数的图象与图象变化.‎ ‎【分析】球面与正方体的表面都相交,我们考虑三个特殊情形:①当x=1;②‎ 当x=;③当x=.其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f(x)的最大值,根据图形的相似,②中弧长为①中弧长的一半.对照选项,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:如图,球面与正方体的表面都相交,‎ 根据选项的特点,我们考虑三个特殊情形:①当x=1;②当x=;③当x=.‎ ‎①当x=1时,以A为球心,1为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线,其弧长为:3××2π×1=,且为函数f(x)的最大值;‎ ‎②当x=时,以A为球心,为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线,根据图形的相似,其弧长为①中弧长的一半;‎ ‎③当x=.以A为球心,为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线,其弧长为:3××2π×1=,且为函数f(x)的最大值;‎ 对照选项,B正确.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知点P为椭圆+=1上的动点,EF为圆N:x2+(y﹣1)2=1的任一直径,求最大值和最小值是(  )‎ A.16,12﹣4 B.17,13﹣4 C.19,12﹣4 D.20,13﹣4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据题意,得|NE|=|NF|=1且,由此化简得=﹣1,根据椭圆方程与两点的距离公式,求出当P的纵坐标为﹣3时,取得最大值20,由此即得=﹣1的最大值,当P的纵坐标为时,‎ 取得最小值,由此即得=﹣1的最小值.‎ ‎【解答】解:∵EF为圆N的直径,∴|NE|=|NF|=1,且,‎ 则=(+)•(+)‎ ‎=(+)•( )‎ ‎==﹣1,‎ 设P(x0,y0),则有即x02=16﹣y02‎ 又N(0,1),∴=,‎ 而y0∈[﹣2,2],‎ ‎∴当y0=﹣3时,取得最大值20,则=﹣1=20﹣1=19,‎ 当y0=时,取得最小值,则=﹣1=﹣1=.‎ ‎∴最大值和最小值是:19,.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.)‎ ‎13.长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为 50π .‎ ‎【考点】球内接多面体.‎ ‎【分析】设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:设球的半径为R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线的长,‎ 则(2R)2=32+42+52=50,‎ ‎∴R=.‎ ‎∴S球=4π×R2=50π.‎ 故答案为:50π.‎ ‎ ‎ ‎14.直线l1:(3+a)x+4y=5﹣3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a= ﹣7 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】根据两直线平行的条件可知,(3+a)(5+a)﹣4×2=0,且5﹣3a≠8.进而可求出a的值.‎ ‎【解答】解:直线l1:(3+a)x+4y=5﹣3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,‎ 则 (3+a)(5+a)﹣4×2=0,‎ 即a2+8a+7=0.‎ 解得,a=﹣1或a=﹣7.‎ 又∵5﹣3a≠8,‎ ‎∴a≠﹣1.‎ ‎∴a=﹣7.‎ 故答案为:﹣7.‎ ‎ ‎ ‎15.已知正四面体ABCD,则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为  .‎ ‎【考点】直线与平面所成的角.‎ ‎【分析】取AD中点E,连结CE,过B作BO⊥CE,交CE于点O,则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:如图,取AD中点E,连结CE,过B作BO⊥CE,交CE于点O,‎ 则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角,‎ 设正四面体ABCD的棱长为2,‎ 则CO===,‎ ‎∴cos∠BCO==,‎ ‎∴sin∠BCO==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F,其中T为切点,M为切线与双曲线右支的交点,P为MF的中点,则|PO|﹣|PT|= 2﹣3 .‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线方程,求得c=,根据三角形中位线定理和圆的切线的性质,可知|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3.‎ ‎【解答】解:设双曲线的右焦点为F′,则PO是△PFF′的中位线,‎ ‎∴|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,‎ 根据双曲线的方程得:‎ a=3,b=2,c=,‎ ‎∴|OF|=,‎ ‎∵MF是圆x2+y2=9的切线,|OT|=3,‎ ‎∴Rt△OTF中,|FT|==2,‎ ‎∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣(|MF|﹣|FT|)=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3,‎ 故答案为:2﹣3.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知命题p:“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”,命题q:∃x1∈R,8x12﹣8mx1+7m﹣6=0.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假.‎ ‎【分析】若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假,进而可得实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:如果p为真命题,则有,即1<m<2;‎ 若果q为真命题,则64m2﹣32(7m﹣6)≥0,解得m≤或m≥2.‎ 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,‎ 若p真q假,则<m<2,‎ 若p假q真,则m≤1或m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为(∞,1]∪(,+∞).‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.‎ ‎(1)证明:直线MN∥平面OCD.‎ ‎(2)求三棱锥N﹣CDM的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)取AD中点E,连结ME,NE,推导出平面MNE∥平面CDO,由此能证明直线MN∥平面OCD.‎ ‎(2)三棱锥N﹣CDM的体积VN﹣CDM=VM﹣CDN,由此能求出结果.‎ ‎【解答】证明:(1)取AD中点E,连结ME,NE,‎ ‎∵M为OA的中点,N为BC的中点,‎ ‎∴ME∥OD,NE∥CD,‎ ‎∵ME∩NE=E,OD∩CD=D,ME,NE⊂平面MNE,OD,CD⊂平面CDO,‎ ‎∴平面MNE∥平面CDO,‎ ‎∵MN⊂平面MNE,∴直线MN∥平面OCD.‎ 解:(2)∵OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,‎ ‎∴AM⊥平面CDN,且AM=1,‎ ‎∵底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴三棱锥N﹣CDM的体积VN﹣CDM=VM﹣CDN===.‎ ‎ ‎ ‎19.已知抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线上的一个动点.‎ ‎(1)当|PF|=2时,求点P的坐标;‎ ‎(2)过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB,若P在弧AB上,求△PAB面积的最大值.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)当|PF|=2时,利用抛物线的定义,即可求点P的坐标;‎ ‎(2)先求出|AB|,再计算抛物线上点到直线的最大距离,即可求出△PAB的面积的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)设P(x,y),则y+1=2,∴y=1,‎ ‎∴x=±2,‎ ‎∴P(±2,1);‎ ‎(2)过F的直线方程为y=x+1,代入抛物线方程,可得y2﹣6y+1=0,‎ 可得A(2﹣2,3﹣2),B(2+2,3+2),‎ ‎∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8.‎ 平行于直线l:x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0,与抛物线C:x2=4y联立,可得x2﹣4x﹣4c=0,‎ ‎∴△=16+16c=0,∴c=﹣1,‎ 两条平行线间的距离为=,‎ ‎∴△PAB的面积的最大值为=4.‎ ‎ ‎ ‎20.已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.‎ ‎(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线方程;‎ ‎(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M且有|PM|=|PO|(O为原点),求使|PM|取得最小值时点P的坐标.‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】(1)分类讨论,利用待定系数法给出切线方程,然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可;‎ ‎(2)可先利用PM(PM可用P点到圆心的距离与半径来表示)=PO,求出P点的轨迹(求出后是一条直线),然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值.‎ ‎【解答】解:( 1)将圆C配方得(x+1)2+(y﹣2)2=2.‎ ‎①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx,由直线与圆相切得=,即k=2±,‎ 从而切线方程为y=(2±)x.…‎ ‎②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y﹣a=0,‎ 由直线与圆相切得x+y+1=0,或x+y﹣3=0.∴所求切线的方程为y=(2±)x x+y+1=0或x+y﹣3=0.…‎ ‎(2)由|PO|=|PM|得,x12+y12=(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…‎ 即点P在直线l:2x﹣4y+3=0上,|PM|取最小值时即 ‎|OP|取得最小值,直线OP⊥l,∴直线OP的方程为2x+y=0.…‎ 解方程组得P点坐标为(﹣,).…‎ ‎ ‎ ‎21.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2,AB=1,点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角.‎ ‎(1)证明:BE⊥CD′;‎ ‎(2)求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)由已知得BE⊥EC.从而BE⊥面D'EC,由此能证明BE⊥CD'.‎ ‎(2)法一:设M是线段EC的中点,过M作MF⊥BC垂足为F,则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角.由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值.‎ 法二:分别以EB,EC所在的直线为x轴、y轴,过E垂直于平面BEC的射线为z轴,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AD=2,AB=1,E是AD的中点,‎ ‎∴△BAE,△CDE是等腰直角三角形,‎ ‎∵AB=AE=DE=CD,∠BAE=∠CDE=90°,‎ ‎∴∠BEC=90°,∴BE⊥EC.‎ 又∵平面D'EC⊥平面BEC,面D'EC∩面BEC=EC,‎ ‎∴BE⊥面D'EC,‎ 又CD'⊂面D'EC,∴BE⊥CD'.…‎ 解:(2)法一:设M是线段EC的中点,过M作MF⊥BC垂足为F,‎ 连接D'M,D'F,则D'M⊥EC,‎ ‎∵平面D'EC⊥平面BEC,‎ ‎∴D'M⊥平面BEC,∴D'M⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面D′MF,∴D'F⊥BC,‎ ‎∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角.‎ 在Rt△D'MF中,D'M=,,‎ ‎∴,‎ ‎∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为.…‎ 法二:分别以EB,EC所在的直线为x轴、y轴,过E垂直于平面BEC的射线为z轴,‎ 建立如图空间直角坐标系.‎ 则,,,‎ ‎.‎ 设平面BEC的法向量为,‎ 平面D'BC的法向量为,‎ 则,取x2=1,得=(1,1,1),‎ cos<>==,‎ ‎∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为.…‎ ‎ ‎ ‎22.已知椭圆G的中心是原点O,对称轴是坐标轴,抛物线的焦点是G的一个焦点,且离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆G的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知圆M的方程是x2+y2=R2(1<R<2),设直线l与圆M和椭圆G都相切,且切点分别为A,B.求当R为何值时,|AB|取得最大值?并求出最大值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(I)依题意可设椭圆G的方程,利用抛物线的焦点是G的一个焦点,且离心率,求得几何量,即可求椭圆G的方程;‎ ‎(II)直线方程与椭圆方程联立,利用直线与圆、椭圆相切,确定参数之间的关系,表示出|AB|,利用基本不等式,可求|AB|最大值.‎ ‎【解答】解:(I)依题意可设椭圆G的方程为,则 因为抛物线的焦点坐标为,所以,‎ 又因为,所以,所以,‎ 故椭圆G的方程为.…‎ ‎(II)由题意知直线l的斜率存在,所以可设直线l:y=kx+m,即kx﹣y+m=0‎ ‎∵直线l和圆M相切,∴,即m2=R2(k2+1)①‎ 联立方程组消去y整理可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,‎ ‎∵直线l和椭圆G相切,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=0,即m2=4k2+1②‎ 由①②可得 设点B的坐标为(x0,y0),则有,,‎ 所以,‎ 所以 等号仅当,即取得 故当时,|AB|取得最大值,最大值为1.…‎ ‎ ‎

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