数学卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版） 23页

‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0‎ ‎2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．下列说法不正确的是（　　）‎ A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”‎ C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 ‎4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（　　）‎ A． ﹣+ B．﹣++ C． D．‎ ‎5．下列命题中正确命题的个数是（　　）‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；‎ ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；‎ ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；‎ ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2π+ B．4π+ C．4π+4 D．2π+4‎ ‎8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（　　）‎ A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）‎ ‎13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为　　．‎ ‎14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=　　．‎ ‎15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为　　．‎ ‎16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．‎ ‎（1）证明：直线MN∥平面OCD．‎ ‎（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．‎ ‎19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；‎ ‎（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．‎ ‎20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．‎ ‎21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．‎ ‎（1）证明：BE⊥CD′；‎ ‎（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A（y﹣n）=0，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，‎ 即x﹣2y+7=0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线﹣=1，得 a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，‎ ‎∴双曲线的右焦点F（，0），‎ 一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．‎ 由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法不正确的是（　　）‎ A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”‎ C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；‎ B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；‎ C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；‎ D说明充分性与必要性是否成立即可．‎ ‎【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；‎ 对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；‎ 对于C，a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上是减函数，命题正确；‎ 对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，‎ y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；‎ ‎∴是充分不必要条件，命题错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（　　）‎ A． ﹣+ B．﹣++ C． D．‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．‎ ‎【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，‎ 点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，‎ 所以=．‎ 所以=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中正确命题的个数是（　　）‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；‎ ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；‎ ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；‎ ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．‎ ‎【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．‎ 对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；‎ 对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；‎ 对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；‎ 对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，‎ ‎∴焦点F（﹣1，0），‎ 又∵A（0，1），‎ ‎∴|AF|==，‎ 由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，‎ ‎∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2π+ B．4π+ C．4π+4 D．2π+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，‎ 所以体积为+=2π+，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，‎ ‎∵圆心到直线的距离是=5，‎ ‎∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°‎ 根据几何概型的概率公式得到P==‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a，‎ 则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），‎ C（﹣a，0，0），P（0，，）．‎ 则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），‎ C=（a，a，0）．‎ 设直线BC与AP所成的角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B交直线l于点P，‎ 则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，‎ 所以椭圆C的离心率的最大值为： ==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②‎ 当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，‎ 根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．‎ ‎①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；‎ ‎②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；‎ ‎③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；‎ 对照选项，B正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（　　）‎ A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，‎ 取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．‎ ‎【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，‎ 则=（+）•（+）‎ ‎=（+）•（ ）‎ ‎==﹣1，‎ 设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02‎ 又N（0，1），∴=，‎ 而y0∈[﹣2，2]，‎ ‎∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，‎ 当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．‎ ‎∴最大值和最小值是：19，．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）‎ ‎13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为　50π　．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，‎ 则（2R）2=32+42+52=50，‎ ‎∴R=．‎ ‎∴S球=4π×R2=50π．‎ 故答案为：50π．‎ ‎　‎ ‎14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=　﹣7　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．‎ ‎【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，‎ 则 （3+a）（5+a）﹣4×2=0，‎ 即a2+8a+7=0．‎ 解得，a=﹣1或a=﹣7．‎ 又∵5﹣3a≠8，‎ ‎∴a≠﹣1．‎ ‎∴a=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎　‎ ‎15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，‎ 则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，‎ 设正四面体ABCD的棱长为2，‎ 则CO===，‎ ‎∴cos∠BCO==，‎ ‎∴sin∠BCO==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=　2﹣3　．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，‎ ‎∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，‎ 根据双曲线的方程得：‎ a=3，b=2，c=，‎ ‎∴|OF|=，‎ ‎∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，‎ ‎∴Rt△OTF中，|FT|==2，‎ ‎∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，‎ 故答案为：2﹣3．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；‎ 若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，‎ 若p真q假，则＜m＜2，‎ 若p假q真，则m≤1或m≥2．‎ 所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．‎ ‎（1）证明：直线MN∥平面OCD．‎ ‎（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取AD中点E，连结ME，NE，推导出平面MNE∥平面CDO，由此能证明直线MN∥平面OCD．‎ ‎（2）三棱锥N﹣CDM的体积VN﹣CDM=VM﹣CDN，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）取AD中点E，连结ME，NE，‎ ‎∵M为OA的中点，N为BC的中点，‎ ‎∴ME∥OD，NE∥CD，‎ ‎∵ME∩NE=E，OD∩CD=D，ME，NE⊂平面MNE，OD，CD⊂平面CDO，‎ ‎∴平面MNE∥平面CDO，‎ ‎∵MN⊂平面MNE，∴直线MN∥平面OCD．‎ 解：（2）∵OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，‎ ‎∴AM⊥平面CDN，且AM=1，‎ ‎∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴三棱锥N﹣CDM的体积VN﹣CDM=VM﹣CDN===．‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；‎ ‎（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；‎ ‎（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，‎ ‎∴x=±2，‎ ‎∴P（±2，1）；‎ ‎（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，‎ 可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），‎ ‎∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．‎ 平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，‎ ‎∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，‎ 两条平行线间的距离为=，‎ ‎∴△PAB的面积的最大值为=4．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；‎ ‎（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．‎ ‎【解答】解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．‎ ‎①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，‎ 从而切线方程为y=（2±）x．…‎ ‎②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，‎ 由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．…‎ ‎（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…‎ 即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即 ‎|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…‎ 解方程组得P点坐标为（﹣，）．…‎ ‎　‎ ‎21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．‎ ‎（1）证明：BE⊥CD′；‎ ‎（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．‎ ‎（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．‎ 法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，‎ ‎∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，‎ ‎∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．‎ 又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，‎ ‎∴BE⊥面D'EC，‎ 又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…‎ 解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，‎ 连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，‎ ‎∵平面D'EC⊥平面BEC，‎ ‎∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，‎ ‎∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．‎ 在Rt△D'MF中，D'M=，，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…‎ 法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，‎ 建立如图空间直角坐标系．‎ 则，，，‎ ‎．‎ 设平面BEC的法向量为，‎ 平面D'BC的法向量为，‎ 则，取x2=1，得=（1，1，1），‎ cos＜＞==，‎ ‎∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；‎ ‎（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．‎ ‎【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则 因为抛物线的焦点坐标为，所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 故椭圆G的方程为．…‎ ‎（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0‎ ‎∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①‎ 联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②‎ 由①②可得 设点B的坐标为（x0，y0），则有，，‎ 所以，‎ 所以 等号仅当，即取得 故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…‎ ‎　‎