人教大纲版高考数学题库考点28 导数及其运算 4页

‎ ‎ 考点28 导数及其运算 ‎ ‎1.（2010·江西高考文科·Ｔ４）若满足，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)4‎ ‎【命题立意】本题主要考查导数，考查导数的运算、求值．‎ ‎【思路点拨】先求导，再代入求值，注意整体代换思想.‎ ‎【规范解答】选B．因为所以，即 故选B．‎ ‎2.（2010·江西高考理科·Ｔ５）等比数列中，，函数 ‎，则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查导数及求导法则，等比数列的性质，考查考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】先化简，然后求导数，再利用等比数列的性质进行计算.‎ ‎【规范解答】选Ｃ．，所以 ‎ =（2×4）=.‎ ‎【方法技巧】本题也可利用求导法则不化简直接对求导，其导函数为 故=（2×4）=.‎ ‎3.（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图象的识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查数形结合的思维能力．‎ ‎【思路点拨】本题结合题意及图象的变化情况可用排除法.‎ ‎【规范解答】选A．最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加,没有负的改变量，排除B；考察A,D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积的改变为突变，产生中断，选择A.‎ ‎【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.‎ ‎4.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ21）已知函数.‎ ‎（I）当时，求的极值;‎ ‎（II）若在上是增函数，求的取值范围.‎ ‎【命题立意】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调区间和确定参数的取值范围. 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. ‎ ‎【思路点拨】先对函数进行求导，（I）将代入到导函数中判断其单调性，并利用单调性确定极值；（II）根据在上是增函数，利用对参数进行分类讨论.‎ ‎【规范解答】（I），当时，‎ ‎，在内单调递减，在内单调递增，‎ 在时，有极小值，‎ 所以是的极小值.‎ ‎（II）在上，单调递增，且当且仅当，‎ 即 ①.‎ ‎（1）当时①恒成立；‎ ‎（2）当时①成立，当且仅当，解得；‎ ‎（3）当时①成立，即成立，当且仅当，‎ 解得.‎ 综上：的取值范围为.‎ ‎5.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ20） 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明： .‎ ‎【命题立意】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. ‎ ‎【思路点拨】首先对函数进行求导，然后将代入到中建立新的函数，再对求导，利用函数的单调性求的取值范围；‎ 问题（Ⅱ）的证明，利用问题（Ⅰ）的结论进行合理配凑求解.‎ ‎【规范解答】(I),,‎ 题设等价于.令,则.‎ 当时,;当时,,是的最大值点,‎ ‎.综上,的取值范围是.‎ ‎(II)由(I)知,,即.‎ 当时,.‎ 当时, ，‎ 所以.‎