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普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版]（选修 1-1、1-2） 高 中 学 生 学 科 素 质 训 练 新课标高二数学文同步测试（2） （1-1 第二章圆锥曲线方程与几何性质） 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 50 分，第Ⅱ卷 100 分，共 150 分；答 题时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）。 1．在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是 （ ） 2．已知椭圆 2 2 2 2 53 n y m x  和双曲线 2 2 2 2 32 n y m x  ＝1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方 程是 （ ） A．x＝± y2 15 B．y＝± x2 15 C．x＝± y4 3 D．y＝± x4 3 3．过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的 长分别是 p、q，则 qp 11  等于 （ ） A．2a B． a2 1 C．4a D． a 4 4．若椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 分成 5:3 两段，则此椭圆的离心率为 （ ） A． 17 16 B． 17 174 C． 5 4 D． 5 52 5．椭圆 312 22 yx  =1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，那么 点 M 的纵坐标是 （ ） A．± 4 3 B．± 2 3 C．± 2 2 D．± 4 3 6．设 F1 和 F2 为双曲线 14 2 2  yx 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则 △F1PF2 的面积是 （ ） A．1 B． 2 5 C．2 D． 5 7．已知 F1、F2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1⊥PF2，e1 和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A． 221 ee B． 42 2 2 1  ee C． 2221  ee D． 211 2 2 2 1  ee 8．已知方程 1|| 2 m x + m y 2 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 （ ） A．m<2 B．10,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以 a、b、 m 为边长的三角形是 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形 10．椭圆 134 22  yx 上有 n 个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列｛|PnF|｝是公 差大于 100 1 的等差数列, 则 n 的最大值是 （ ） A．198 B．199 C．200 D．201 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）。 11．已知点（－2，3）与抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点的距离是 5，则 p=___ __。 12．设圆过双曲线 169 22 yx  =1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中 心的距离是 。 13．双曲线 169 22 yx  ＝1 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上，若 PF1⊥PF2，则点 P 到 x 轴的距离为 。 14．若 A 点坐标为（1，1）， F1 是 5x2＋9y2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则|PA| ＋|P F1|的最小值是_______ ___。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)。 15．（12 分）已知 F1、F2 为双曲线 12 2 2 2  b y a x （a＞0，b＞0）的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程。 16．（ 12 分）已知椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 1F ，向量 AB 与OM 是共线向量。 （1）求椭圆的离心率 e； （2）设 Q 是椭圆上任意一点， F1、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围； 17．（ 12 分）如图椭圆 12 2 2 2  b y a x (a>b>0)的上顶点 为 A，左顶点为 B, F 为右焦点, 过 F 作平行与 AB 的直线交椭圆于 C、D 两点. 作平行四边形 OCED, E 恰在椭圆上。 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若平行四边形 OCED 的面积为 6 , 求椭圆方程。 18．（ 12 分）双曲线 12 2 2 2  b y a x (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直 线 l 的距离与点(－1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ 5 4 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 图 x y D E O B A F C 19．（ 14 分）如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上 的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|= 17 ，|AN|=3， 且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程 20．（ 14 分）已知圆 C1 的方程为(x－2)2+(y－1)2= 3 20 ，椭圆 C2 的方程为 2 2 a x + 2 2 b y =1（a>b>0）， C2 的离心率为 2 2 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点，且线段 AB 恰为圆 C1 的直径，求直 线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 参考答案 一、1．D；解析一：将方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0 转化为标准方程： xb ay b y a x  2 2 2 2 2 ,111 . 因为 a＞b＞0，因此， ab 11  ＞0，所以有：椭圆的焦点在 y 轴，抛物线的开口向左，得 图 D 选项. 解析二：将方程 ax+by2=0 中的 y 换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0 的图形关于 x 轴对称，排除 B、C，又椭圆的焦点在 y 轴.故选 D. 评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了 代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力. 2．D；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，∴椭圆焦点（ 22 53 nm  ，0），双曲 线焦点（ 22 32 nm  ，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=± ||2 ||6 m n ·x∴代入 m2=8n2，|m|=2 2 |n|，得 y=± 4 3 x。 3．C；解析：抛物线 y=ax2 的标准式为 x2＝ a 1 y，∴焦点 F（0， a4 1 ）. 取特殊情况，即直线 PQ 平行 x 轴，则 p=q. 如图，∵PF＝PM，∴p＝ a2 1 ，故 apppqp 421111  ． 4．D； 5．A；解析：由条件可得 F1（－3，0），PF1 的中点在 y 轴上，∴P 坐标（3，y0），又 P 在 312 22 yx  =1 的椭圆上得 y0=± 2 3 ，∴M 的坐标（0，± 4 3 ），故选 A. 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力. 6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2 5 ，且双曲线是对称图形，假设 P（x， 14 2 x ）， 由已知 F1P⊥F2 P，有 1 5 14 5 14 22       x x x x ，即 114522 1,5 24 2 2  xSx ，因此 选 A. 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式 以及运算能力. 7．D；8．D；9．B；10．C； 二、 11．4；解析：∵抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（ 2 p ，0），由两点间距离公式，得 22 3)22( p =5。解得 p=4. 12． 3 16 ；解析：如图 8—15 所示，设圆心 P（x0，y0），则|x0|＝ 2 35 2  ac ＝4， 图 代入 169 22 yx  ＝1，得 y0 2＝ 9 716  ，∴|OP|＝ 3 162 0 2 0  yx ． 评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 13． 5 16 ；解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n）， a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝6 m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64， mn＝32. 又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝ 5 16 。 14． 26  ； 三、 15．解：（1）设 F2（c，0）（ c＞0）， P（c，y0），则 2 2 0 2 2 b y a c  =1。解得 y0=± a b 2 ， ∴|PF2|= ，在直角三角形 PF2F1 中，∠PF1F2=30° 解法一：|F1F2|= 3 |PF2|，即 2c= a b2 3 ，将 c2=a2+b2 代入，解得 b2=2a2 解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a. ∵|PF2|= ，∴2a= ，即 b2=2a2，∴ 2a b 故所求双曲线的渐近线方程为 y=± 2 x。 16．解：（1）∵ a bycxcF MM 2 1 ,),0,(  则 ，∴ ac bkOM 2  。 ∵ ABOMa bk AB 与, 是共线向量，∴ a b ac b  2 ，∴b=c,故 2 2e 。 （2）设 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , , , 2 , 2 , FQ r F Q r F QF r r a F F c         2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2121 2 1 2 1 2 4 ( ) 2 4cos 1 1 022 ()2 r r c r r rr c aa rrrr rr rr            当且仅当 21 rr  时，cosθ =0，∴θ ]2,0[  。 说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解 析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解 此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关 向量的问题转化为解析几何问题。 17．解：(Ⅰ) ∵焦点为 F(c, 0), AB 斜率为 a b , 故 CD 方程为 y= (x－c). 于椭圆联立后消去 y 得 2x2－2cx－b2=0. ∵CD 的中点为 G( a bcc 2,2  ), 点 E(c, － a bc )在椭圆上, ∴将 E(c, － )代入椭圆方程并整理得 2c2=a2, ∴e = 2 2a c . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD 的方程为 y= 2 2 (x－c), b=c, a= 2 c. 与椭圆联立消去 y 得 2x2－2cx－c2=0. ∵平行四边形 OCED 的面积为 S=c|yC－yD|= c DCDC xxxx 42  ）（ = c 62 62 222  ccc , ∴c= , a=2, b= . 故椭圆方程为 124 22  yx 18．解：直线 l 的方程为 bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的 距离 d1 = 22 )1( ba ab   。 同理得到点(－1,0)到直线 l 的距离 d2 = 22 )1( ba ab   .s= d1 +d2= 22 ba ab  = c ab2 . 由 s≥ 5 4 c,得 ≥ c,即 5a 22 ac  ≥2c2. 于是得 5 12 e ≥2e2.即 4e2－25e+25≤0.解不等式,得 4 5 ≤e2≤5. 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是 52 5  e . 19．解法一：如图建立坐标系，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点. 依题意知：曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为，y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0） 其中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标，p＝|MN|．所以 M（ 2 p ，0）， N（ 2 p ，0） 由|AM|＝ 17 ，|AN|＝3 得： （xA＋ ）2＋2pxA＝17 ① 图 （xA 2 p ）2＋2pxA＝9 ② 由①②两式联立解得 xA＝ p 4 ，再将其代入①式并由 p>0，解得      1 4 Ax p 或      2 2 Ax p 因为△AMN 是锐角三角形，所以 2 p ＞xA，故舍去 所以 p＝4，xA＝1．由点 B 在曲线段 C 上，得 xB＝|BN| ＝4． 综上得曲线段 C 的方程为 y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2 为 x、y 轴，M 为坐标原点.作 AE⊥l1，AD⊥l2， BF⊥l2，垂足分别为 E、D、F.设 A（xA，yA）、 B（xB，yB）、 N（xN，0） 依题意有 xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝ 22|||| 22  DAAM 由于△AMN 为锐角三角形，故有 xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋ 22 |||| AEAN  ＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6． 设点 P（x，y）是曲线段 C 上任一点，则由题意知 P 属于集合 ｛（ x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝ 故曲线段 C 的方程为 y2＝8（x－2）（ 3≤x≤6，y＞0）． 评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想， 考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力. 20．由 e= 2 2 ，得 a c = ，a2=2c2,b2=c2。 设椭圆方程为 2 2 2b x + 2 2 b y =1。又设 A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得 x1+x2=4,y1+y2=2。 又 2 2 1 2b x + 2 2 1 b y =1， 2 2 2 2b x + 2 2 2 b y =1，两式相减，得 2 2 2 2 1 2b xx  + 2 2 2 2 1 b yy  =0。 ∴ 1)(2 21 21 21 21    yy xx xx yy ∴直线 AB 的方程为 y－1= －(x－2)，即 y= －x+3。 将 y= －x+3 代入 + =1，得 3x2－12x+18－2b2=0 又直线 AB 与椭圆 C2 相交，∴Δ =24b2－72>0。 由|AB|= 2 |x1－x2|= 21 2 21 4)( xxxx  = 3 202 ,得 2 · 3 7224 2 b = 3 20 。 解得 b2=8，故所求椭圆方程为 16 2x + 8 2y =1。