2017-2018学年江西省抚州市临川第一中学高二12月月考数学（理）试题 解析版 14页

‎2017-2018学年江西省抚州市临川第一中学高二12月月考数学（理）试题 解析版 一、单选题 ‎1．已知全集，集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合， ， ，全集， 。‎ 故答案为：A。‎ ‎2．命题“若，则”的逆命题是（ ）‎ A. 若，则或 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】逆否命题就是将条件和结论互换位置，并且讲条件和结论都否定；。故题干中的逆否命题为：若或，则。‎ 故答案为：D。‎ ‎3．用数学归纳法证明不等式 (，且）时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题干知n>1,故从2开始，第一步应该代入2，得到。‎ 故答案为：B。‎ ‎4．设， 满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，作出可行域，作出直线l0：y=3x，将l0平移至过点C（-2，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值4．‎ 故答案选C．‎ 点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．‎ ‎5．已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵数列{an}为等差数列，满足，‎ 其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，‎ ‎∴a1+a2017=1，‎ ‎∵数列{an}是等差数列，‎ ‎∴{an}的=1， .‎ 故答案为：D。‎ ‎6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如用算筹表示就是，则用算筹表示为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B。‎ 故答案为：B。‎ ‎7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，如下图：‎ 正方体的体积为：2×2×2=8，‎ 三棱锥的体积为： ××1×2×2=，‎ 故组合体的体积V=8﹣=。‎ 故答案为： 。‎ ‎8．已知是首项和公比都为等比数列，若， ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到 ‎ 并且 ‎ 综上两者取交集得到: .‎ 故答案为：B。‎ ‎9．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若， ， ，则， ， 的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设h（x）=xf（x），‎ ‎∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），‎ ‎∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，‎ ‎∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，‎ 当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，‎ ‎∴此时函数h（x）单调递增．‎ ‎∵a=f（）=h（），b=﹣f（﹣1）=f（1）=h（1），‎ c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），‎ 又1>ln2>，‎ ‎∴b＞c＞a．‎ 故答案为：D。‎ ‎10．已知， 分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设|PF1|=m，（m≥c﹣a）‎ 则根据双曲线的定义：|PF2|=2a+m， = ‎ ‎∵的最小值为8a，∴m=2a，根据焦半径的范围得到：|PF1|=m ‎ ‎，得到离心率的取值范围是.‎ 故答案为：D。‎ ‎11．已知是所在平面内一点，若对，恒有，则一定是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】由题知： 化简得到，‎ 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，两边平方可得， ‎ 即，‎ 由题意可得 ，‎ 即为c≤bsinC，‎ 由正弦定理可得sinC≤sinBsinC，‎ 则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°．‎ 即三角形ABC为直角三角形．‎ 故答案为：B。‎ 点睛：本题考查向量不等式恒成立问题的解法，考查三角形的形状判断和正弦定理的运用，运用向量的平方即为模的平方，以及二次不等式恒成立问题的解法是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．若存在两个正实数， ，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由2x+m（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+m（y﹣2ex）ln=0，‎ 即2+m（﹣2e）ln=0，‎ 即设t=，则t＞0，‎ 则条件等价为2+m（t﹣2e）lnt=0，‎ 即（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 设g（t）=（t﹣2e）lnt，‎ g′（t）=lnt+1﹣为增函数，‎ ‎∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，‎ ‎∴当t＞e时，g′（t）＞0，‎ 当0＜t＜e时，g′（t）＜0，‎ 即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，‎ 即g（t）≥g（e）=﹣e，‎ 若（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 则﹣≥﹣e，即≤e，‎ 则a＜0或a≥，‎ 故答案选：C 点睛; 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。‎ 二、填空题 ‎13．数据： ， ， ， ， ， 的中位数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据中位数的定义得到，将几个数字按照从小到大的顺序排列：10，12，14，15，17，17‎ 取中间的两个数的平均数为中位数：14.5‎ 故答案为：14.5.‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导得到： ‎ 代入点（1，4）得到方程为： 。‎ 故答案为： 。‎ ‎15．已知直三棱柱中， ，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的半径的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设BC=2x，BB1=2y，则4xy=8，‎ ‎∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，‎ ‎∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为，‎ ‎∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球半径的最小值为2．‎ 故答案为：2.‎ 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎16．已知圆的方程为， 是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设PA与PB的夹角为2α，‎ 则|PA|=PB|=，‎ ‎∴y==|PA||PB|cos2α=•cos2α ‎=4 cos2α．‎ 记cos2α=u，则y= =[﹣3+（1﹣u）+]*4 ≥(2﹣3)*4，‎ ‎∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，‎ ‎∴的最大值为. ‎ ‎∴的范围为．‎ 故答案为： ‎ 点睛：本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足（），：实数满足， .‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）为真，∴真且真，解出两个命题为真的情况下的解集，取交集即可；（2）是的充分不必要条件，记， 则是的真子集，转化为集合的包含关系即可。‎ 解析：‎ ‎（1）： （），时， ： ， ： ‎ ‎∵为真，∴真且真 ‎，得，即实数的取值范围为 ‎（2）是的充分不必要条件，记， ‎ 则是的真子集 ‎∴得，即的取值范围为.‎ ‎18．已知函数（），将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据两角和差公式化一得到，再由平移得到，由自变量的范围得到函数值的范围。（2）由第一问的表达式得到，再有余弦定理得到。‎ 解析：‎ ‎（1）由题设得，‎ ‎∴，‎ ‎∵当时， ，‎ ‎∴由已知得，即时， ，∴.‎ ‎（2）由已知， ‎ ‎∵在中， ，∴，∴，即，‎ 又∵，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立.‎ 又∵，∴‎ ‎19．如图，在直角梯形中， ， ， 是的中点，将沿折起，使得平面.‎ ‎（1）求证：平面平面 ‎（2）若在上且二面角所成的角的余弦值为，求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】试题分析：根据面面垂直的判定定理，得到平面，因为平面，即可得证；（2）由建系的方法得到两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可得结果.‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵底面，∴.‎ 又由于， ， ，‎ ‎∴为正方形，∴‎ 又，故平面，‎ 因为平面，所以平面平面 ‎（2）解：如图，建立空间直角坐标系，设， ， ， ， ‎ 设平面的一个法向量，则 即令得 平面的一个法向量为 ‎∴解得或（舍），此时.‎ ‎20．已知函数， ，等差数列满足： ， ，数列满足， ，企且（）‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）若数列满足，求前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将式子变形得到，即可得证；（2）根据第一问得到，由错位相减得到和。‎ 解析：‎ ‎（1）由，得 由题意，所以，即 所以数列是以为首项，公比为的等比数列.‎ ‎（2）由（1），得， ，∴.‎ 令，‎ 则，①‎ ‎，②‎ ‎①②得， ‎ ‎.所以.‎ ‎21．如图所示，椭圆： （）的离心率为，左焦点为，右焦点为，短轴两个端点、，与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点坐标；‎ ‎（3）当弦的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）或 ‎【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；（3）由（2）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x0和y0，易判断p点在x轴上方，从而得一关于x0，y0的不等式组，将坐标代入，解出即可；‎ 解析：‎ ‎（1）由题意可知：椭圆的离心率， ∴， ‎ 故椭圆的方程为 ‎（2）设直线的方程为， ， 坐标分别为， ‎ 由得 ‎.‎ ‎∴， ，‎ ‎∴， 。‎ ‎∴=‎ 将韦达定理代入，并整理得 ‎，解得 ‎.‎ ‎∴直线与轴相交于定点；‎ ‎（3）由（2）中，‎ 其判别式，得.①‎ 设弦的中点坐标为，则 ‎， ‎ ‎∵弦的中点落在内（包括边界），∴‎ 将坐标代入，整理得 解得 由①②得所求范围为或 点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎22．设.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）已知，若对所有，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上是增函数.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导，判断导函数的正负，即可得到单调性；（2）， ，只需即可，令，对这个函数研究单调性，使得最小值大于零即可。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎∴在上是增函数.‎ ‎（Ⅱ）‎ 显然，故若使，只需即可.‎ 令，则.‎ ‎（ⅰ）当即时， 恒成立，‎ ‎∴在内为增函数 ‎∴，即在上恒成立.‎ ‎（ⅱ）当时，则令，即，可化为，‎ 解得，‎ ‎∴两根（舍），.‎ 从而.‎ 当时，则， ，‎ ‎∴，∴在为减函数.‎ 又，∴.‎ ‎∴当时， 不恒成立，即不恒成立.‎ 综上所述， 的取值范围为.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎