2014届高考数学一轮复习题库：第十二章算法初步、推理与证明、复数12_3合情推理与演绎推理练习 4页

课时作业65　合情推理与演绎推理 一、选择题 ‎1．下列推理过程是演绎推理的是(　　)．‎ A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°‎ B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 C．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 ‎2．(2012山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)．‎ ‎1　‎ ‎3　5　7‎ ‎9　11　13　15　17‎ ‎19　21　23　25　27　29　31‎ ‎…　　…　　…‎ A．809 B．‎852 ‎ C．786 D．893‎ ‎3．定义一种运算“*”：对于正整数n满足以下运算性质：‎ ‎(1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*1+1，则n*1=(　　)．‎ A．n B．n＋1‎ C．n－1 D．n2‎ ‎4．(2012广东模拟)观察下列各式：‎ ‎1＝12，‎ ‎2＋3＋4＝32，‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝52，‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，‎ ‎…，[来源:学科网]‎ 可以得出的一般结论是(　　)．‎ A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2‎ B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2‎ C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2‎ D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2‎ ‎5．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝(　　)．‎ A. B. C.－1 D.＋1‎ ‎6．(2012江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)．‎ A．76 B．‎80 ‎ C．86 D．92‎ ‎7．已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我 们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)．‎ A．2n B．n‎2 ‎ C．3n D．nn 二、填空题[来源:学.科.网]‎ ‎8．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结论，可推测一般的结论为________．‎ ‎9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四种图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝__________.‎ ‎10．观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2,1＋＋＋…＋＞，…，由此猜想第n个不等式为______．[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 三、解答题 ‎11．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明．‎ ‎12．(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；[来源:学§科§网]‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．A　解析：C是类比推理，B与D均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B，C，D都不是演绎推理．而A是由一般到特殊的推理形式，故A是演绎推理．‎ ‎2．A　解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.‎ ‎3．A　解析：由(n＋1)*1＝n*1＋1，‎ 得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+( n－1).‎ 又∵1*1=1，∴n*1= n.‎ ‎4.B　解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n个式子的结果应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.‎ ‎5．A　解析：在“黄金双曲线”中，B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ ‎∵⊥，∴·＝0.‎ ‎∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，‎ ‎∴c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2得e2－e－1＝0，又e＞1，∴解得e＝.‎ ‎6．B　解析：由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N＋)的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80，故选B.‎ ‎7．D　解析：再续写一个不等式：‎ x＋＝＋＋＋≥4＝4，‎ 由此可得a＝nn.‎ 二、填空题 ‎8．f(2n)≥　解析：由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.‎ ‎9．61　解析：根据所给图形的规律，f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，n∈N*，由累加法可得f(n)＝2n2－2n＋1，‎ 所以f(6)＝61.‎ ‎10．1＋＋＋…＋＞ 解析：由1＞，1＋＋＞，‎ ‎1＋＋＋…＋＞，‎ ‎1＋＋＋…＋＞，‎ ‎1＋＋＋…＋＞，‎ 可猜想第n个不等式为1＋＋＋…＋＞.‎ 三、解答题 ‎11．解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么k PM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．‎ 证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，‎ 则N(－m，－n)．‎ 因为点M(m，n)在已知双曲线上，‎ 所以n2＝m2－b2.‎ 同理y2＝x2－b2.‎ 则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．‎ ‎12．解法一：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－ sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎