福建省泉州市永春一中2019-2020学年高一新生夏令营学科素质测试数学试题 25页

www.ks5u.com 永春一中2019年高一新生夏令营数学学科素质测试2019.7‎ 一、选择题（本大题共15小题，共60.0分）‎ ‎1.下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察四个选项横坐标均为2，因为与极坐标相同的点可以表示为，则判断A，B，C，D四个选项的纵坐标能否写成的形式.找出不能用形式表示的选项即可.‎ ‎【详解】解：与极坐标相同的点可以表示为，‎ A..可以 ‎ B..可以.‎ C.不能用的形式表示.‎ D.,可以. ‎ 只有C.不可以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查极坐标的概念. 极坐标与表示同一个点.解题关键为是否能将选项中的纵坐标写成的形式.‎ ‎2.直线和圆的位置关系是（ ）‎ A. 相切 B. 相离 C. 相交但不过圆心 D. 相交且过圆心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的参数方程化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,再将距离d与圆的半径r比大小即可解.‎ ‎【详解】解：由，得圆的普通方程为，‎ ‎∴圆的圆心为，半径．‎ 圆心到直线的距离.‎ ‎∵，∴直线与圆相交但不过圆心．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式.‎ 点到直线距离公式：点到直线的距离为：.‎ ‎3.将参数方程（为参数）化为普通方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求自变量x的取值范围，由的取值范围，可知的范围.‎ ‎①，②，再将②-①可消去即可解.‎ ‎【详解】解：∵，∴.又∵，‎ 则有，由①，②，②-①可得，‎ ‎∴将参数方程（为参数）化为普通方程是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查直线的参数方程消参化普通方程，要注意自变量x的取值范围.经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.题目难度较易.‎ ‎4.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将伸缩变换代入曲线中即可解.‎ ‎【详解】解：把代入曲线，可得：，即，‎ 即为曲线的方程．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.‎ ‎5.已知点的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极坐标的意义作出极坐标点M，再做出点M关于的对称点N，则可得出其极坐标.‎ ‎【详解】解：作出极坐标是的点，如图，‎ 它关于直线的对称点是N，其极坐标为或．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易.‎ ‎6.将点的直角坐标化为极径是正值，极角在0到之间的极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由P点的直角坐标，可得，再利用P点在第二象限且极角在0到之间即可求.‎ ‎【详解】解：∵点的直角坐标，‎ ‎∴，，‎ 又点在第二象限，极角在0到之间，∴．‎ ‎∴满足条件的点的极坐标为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的∠叫做点的极角，记为.有序数对叫做点的极坐标，记为.‎ ‎7.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线经过伸缩变换后，得到的曲线是（ ）‎ A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的极坐标方程化为普通方程，再将曲线的普通方程进行的伸缩变换后即可解.‎ ‎【详解】解：由极坐标方程，‎ 可得：，即，‎ 曲线经过伸缩变换，可得，代入曲线可得：，‎ ‎∴伸缩变换得到的曲线是圆．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换. 其中将转化为为解题关键.‎ ‎8.若直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将直线l的参数方程化为一般方程，可得出斜率，则直线的倾斜角的余弦值可求.‎ ‎【详解】解：设直线的倾斜角为，由题意，‎ ‎∴，，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角.题目较为简单.‎ ‎9.已知二次函数在上的最大值为4，则的值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设二次函数，所以，则可求出其对称轴，再分类讨论当时或时，x取何值为二次函数的最大值，进而求出参数a的值.‎ ‎【详解】由题意得：二次函数的对称轴为.‎ 当时，二次函数图象开口向下，则时，‎ 为函数的最大值. 又∵，‎ ‎∴，则.‎ 当时，二次函数图象开口向上，∵‎ 距对称轴距离相等，则最大值为 ‎，或,‎ 则有，. ‎ ‎∴或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】考查二次函数在给定区间求参数值,其中运用了分类讨论的思想，解题关键为求出二次函数的对称轴.二次函数一般形式：，对称轴为.‎ ‎10.参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消参化简整理得，即得方程对应的曲线.‎ ‎【详解】将代入，化简整理得，同时不为零，且，的符号一致，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.圆的圆心极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将极坐标方程转化为普通方程求出圆心的直角坐标，再由公式求出点的极坐标即可．‎ ‎【详解】两边都乘以得，‎ 将代入，‎ ‎ ，‎ 圆心直角坐标是，‎ ‎，‎ 即，故圆心极坐标是 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线圆的极坐标方程，解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程，写出圆心坐标，再将其转化为极坐标．本题属于基本题．‎ ‎12.在极坐标系中，点与的位置关系为（ ）‎ A. 关于极轴所在直线对称 B. 关于极点对称 C. 重合 D. 关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点和点为同一点. 则比较点和点，可推出点与的位置关系.‎ ‎【详解】解：点与点是同一个点，与点关于极轴对称.∴点与关于极轴所在直线对称.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.‎ ‎13.已知三个方程：①②③ (都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( 　)‎ A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程转化为普通方程，且注意变量的范围，进而判断.‎ ‎【详解】①化为普通方程为x2=y ‎②化为普通方程为x2=y ‎③化为普通方程为x2=y，（-1≤x≤1），可得①②表示同一曲线，故选B ‎【点睛】本题考查了参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程，消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.‎ ‎14.能化为普通方程的参数方程为（ ）‎ A. （为参数） B. （为参数）‎ C. （为参数） D. （为参数）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ A: ;B ;C: ;D: ，所以选B.‎ 点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围. ‎ ‎15.两圆，的公共部分面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆的极坐标方程，可求出两圆的标准方程，再求出两圆的交点，四边形OABC为正方形，则公共面积可求.公共面积.‎ ‎【详解】解：两圆，的直角坐标方程分别为B：.‎ A：，‎ 圆心分别为B，A，半径都等于2.‎ 两个圆的交点为O，C，则公共面积为，‎ 故公共部分面积是.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查将圆的极坐标方程化为圆的标准方程,和两圆相交公共面积的求法.其中求两圆的相交面积为难点，需多思考.‎ 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）‎ ‎16.在极坐标系中，若点、的极坐标分别为，，则（为极点）的面积等于______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ O为极点，先求出的大小，已知AO和OB的边长，再根据三角形面积公式即可解.‎ ‎【详解】解：由题意，，，，‎ ‎∴（其中为极点）的面积为．‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】考查极坐标系中三角形面积的求法，解题关键为三角形面积公式.题目较为简单.‎ ‎17.在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，.若直线与圆相交于，两点，的面积为2，则值为_______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的参数方程化为标准方程，再将直线l的极坐标方程化为普通方程，再求出圆心M到直线l的距离d，d即为的高，再求出底边AB的长，利用三角形面积公式即可解出m的值.‎ ‎【详解】解：圆参数方程为 （为参数），化为标准 方程：，可得，半径．‎ 直线的极坐标方程为，化为普通 方程：，即．‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ ‎∵的面积为2，∴，‎ 又，∴，解得，‎ ‎∴，解得或．‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】考查圆的极坐标化普通方程，直线的极坐标方程化普通方程，点到直线的距离公式.其中求出圆心到直线的距离d，的AB的边长为解出m值的关键.‎ ‎18.直线：（为参数），圆：（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆上恰有三个点到直线的距离为，则实数_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将直线l的参数方程化为普通方程，再将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，再由圆上恰有三个点到直线的距离为，利用点到直线距离公式可求出a的值.‎ ‎【详解】解：直线的一般方程为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴圆心为，半径，‎ ‎∵圆上恰有三个点到直线的距离恰为，‎ ‎∴圆心到直线距离也为，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查直线的极坐标方程化一般方程，圆的极坐标方程化标准方程，以及圆中求直线解析式的参数问题.其中利用点到直线距离公式为解题的关键.点到直线的距离公式考查较为频繁.‎ ‎19.若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：曲线（为参数，且）的普通方程为，它是半圆，单位圆在右边的部分，作直线，如图，它过点时，，当它在下方与圆相切时，，因此所求范围是．‎ 考点：两曲线的交点个数．‎ ‎【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．‎ ‎20.在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数) ，与C相交于两点，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，所以，所以，即；‎ 由消去得．联立方程组，‎ 解得或，‎ 即，，‎ 由两点间的距离公式得．‎ ‎21.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，点P到直线的距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出直线的普通方程，点P在曲线C上，设，则可求得点P到直线的距离，进而求得答案．‎ ‎【详解】直线的普通方程为．点P在曲线C上，设，从而点P到直线的距离．当时，．因此当点P的坐标为时，曲线C上的点P到直线的距离取到最小值．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式等，属于简单题．‎ ‎22.已知点是曲线：（为参数，）上一点，‎ 为原点，若直线的倾斜角为，则点的直角坐标为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将曲线的参数方程化为直角坐标系方程,再由直线过原点且倾斜角为，得出直线的解析式，然后联立方程即可解.‎ ‎【详解】解：由题意得，,曲线的 直角坐标方程为①，由直线的倾斜角为，则 直线OP的解析式为：②，‎ 联立联立①②得（舍去），或，‎ ‎∴点的直角坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查曲线的参数方程化为直角坐标系方程，直线的解析式，以及曲线方程中求点坐标的问题.题目难度一般，要注意坐标的取舍.‎ ‎23.是曲线（为参数）上任意一点，则的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将曲线的参数方程消参化为标准方程，由表示动点与 之间距离的平方，可先求PQ的距离利用数形结合即可求的最大值.‎ ‎【详解】解：∵将（为参数），消去参数得A：，‎ ‎∴点在以A为圆心，半径为1的圆上运动， ‎ 设，可得 ‎∴表示动点与之间距离的平方，‎ ‎∵，‎ 由，即得的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查圆参数方程化为标准方程，动点在圆上与圆外定点距离的最大值.利用了数形结合的思想. 其中表示动点与之间距离的平方为解题的关键.‎ ‎24.变量满足（为参数），则代数式的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（为参数）化为直角坐标方程为 ，为四分之一椭圆，如图，所以的最小值是 ‎ ‎25.以平面直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为．设曲线与直线交于、两点，若点的直角坐标为，则的值＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的极坐标方程化为直角坐标系方程，再将直线的参数方程代入圆的直角坐标系方程，得①，又因为方程①两实根的几何意义，则即可解.‎ ‎【详解】解：圆的极坐标方程为，即，‎ 则，圆的直角坐标系方程为，‎ 点在直线上，且在圆内，‎ 由已知直线的参数方程是（为参数）代入，‎ 得，‎ 设两个实根为，，则，，即，异号，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，以及如何利用方程思想研究直线和圆的位置关系问题，要准确理解参数t的几何意义及应用.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）‎ ‎26.己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1） ， ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程．（2）直线的参数方程改写为 ‎（t为参数），由t的几何意义求值．‎ ‎【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，‎ 曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程改写为（t为参数），‎ 代入，，，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．‎ ‎27.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．‎ ‎【答案】（1）（x﹣2）2+4y2=4，，（t为参数）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+4y2=4，利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数方程为，（t为参数）；‎ ‎(Ⅱ)利用题意求得伸缩变换之后的方程，然后利用弦长公式可得弦长为 .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4， ‎ ‎∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，‎ ‎∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，‎ ‎∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4， ‎ 把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，‎ 得：， ‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，‎ ‎|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．‎ ‎28.‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得，消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎（2）C的极坐标方程为.‎ 联立得.‎ 故，‎ 从而.‎ 代入得，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎29.二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得的线段长为8.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）令.‎ ‎（ⅰ）求函数在上的最小值；‎ ‎（ⅱ）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）(i)分类讨论，详见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设二次函数为顶点式，然后根据其顶点为,可知函数的解析式为，由图象在轴上截得的线段长为8，利用韦达定理即可解.‎ ‎（2）（i）先求出函数的解析式，再根据，分类讨论函数的对称轴，当时，函数最小值的情况. ‎ ‎（ii）不等式恒成立转化为函数在区间上最大值小于等于17，再利用分类讨论思想讨论a的范围即可解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意设，与轴交点坐标为，‎ ‎∴，∵，‎ 由韦达定理可得.‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎（2），‎ 对称轴为，‎ ‎（ⅰ）当时，函数在区间为单调减函数，‎ ‎∴；‎ 当时，函数在区间上为单调增函数，在区间上为单调减函数，‎ ‎.‎ 当时，函数在区间上为单调增函数，‎ 在区间上为单调减函数，∴.‎ 当时，．‎ ‎∴函数在上的最小值为. ‎ ‎（ⅱ）①当时，恒成立，只需，即，显然成立，∴.‎ ‎②当时，恒成立，只需，即，‎ 即，∴.‎ ‎③当时，恒成立，只需，即，‎ 即，这与矛盾，故舍去．‎ 综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】考查二次函数的解析式，利用函数对称轴与定义域的关系，进行分类讨论.考查二次函数在给定区间的最值和恒成立的问题.分类讨论的思想在函数章节即为重要,需多加练习掌握.‎