陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三全国统一招生考试数学（理）试卷 (1) 15页

数学（理）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,, 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若（为虚数单位，），则等于（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（百元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 销售额y（万元）‎ ‎0.1‎ ‎1.8‎ m ‎4‎ 根据上表可得回归方程， 则m= ‎ A.2.9 B.3.0 C.3.1 D.2.8‎ ‎5．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是()‎ A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是4月9日 C．这12天的AQI指数值的中位数是9 D．从4日到9日，空气质量越来越好 ‎6．已知数列为等差数列, , 其前项和为，，则为（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）‎ A．8π B．π C．12π D．π ‎8.若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎9．已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且 两点在准线上的投影分别为两点,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．函数的图像大致是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎12．已知关于x的不等式x（x－m）＞m有且仅有三个正整数解（其中e＝2．71828…为自然对数的底数），则实数m的取值范围是 A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．13、已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________． ‎ ‎14．设，则含x的项为 ．‎ ‎15．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，‎ 下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．‎ 问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）‎ ‎16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，且（bc﹣2）cosA+accosB＝1﹣b2，则△ABC面积的最大值为 ．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分已知数列{an}的前n项和为Sn，且,‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜4．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，‎ ‎，点是棱的中点，点在棱上，且，//平面．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设多个分支机构，需要国内公司外派大量后、后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从后和后的员工中随机调查了位，得到数据如下表：‎ 愿意被外派 不愿意被外派 合计 后 后 合计 ‎（Ⅰ）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排名参与调查的后、后员工参加.后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的 人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为；后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，从中随机选出人，记选到愿意被外派的人数为，求的概率．‎ 参考数据：‎ ‎（参考公式：，其中）‎ x y F ‎2‎ F ‎1‎ P N M B A O ‎20．（本小题满分12分）如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点， ‎ 与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率大于的直线与椭圆交于两点 ‎（），若，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0． ‎ ‎(1)讨论函数f（x）的单调性； ‎ ‎(2)若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0 ， 证明： ‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(r>0, φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，若直线l与曲线C相切．‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ 理科数学参考答案及评分标准（二）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C C B D D B A D C ‎1、D【解析】因为，．‎ 所以，故答案选D．‎ ‎2．B.【解析】因为，则．所以 ‎3. B ‎4.C ‎5.解析：选C.这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故B正确；这12天的AQI指数值的中位数是＝99.5，故C不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故D正确，故选C.‎ ‎6．B【解析】，．故答案选B．‎ ‎7．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点 根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，‎ 设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，‎ ‎∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，‎ 解得出：x=，R=，‎ 该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，‎ 故选：D．‎ ‎8.【解析】圆D与不等式组表示的平面区域有交点，作出图象后易求得a的取值范围是.‎ ‎9．B【解析】由题意可得直线与抛物线联解得：，‎ 所以点，，则．在中，边上的高，则，故答案选B．‎ 方法二:不防设交点在轴上方,由抛物线焦点弦性质得,‎ 且, ，故，，‎ 所以，故答案选B．‎ ‎10．A【解析】因为函数可化简为可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有 ‎，则当 ,可知函数在处附近单调递增，排除答案B和D，故答案选A．‎ ‎11．D【解析】要使符合题意，则圆上所有点在直线之间，‎ 因为圆心到直线的距离且，则所有圆心到直线的距离，且，解得，故答案选D．‎ ‎12．答案C ‎【解析】依题意，，故，即，令，故，故当时，，当时，，当时，，作出函数的图象如下所示，可知三个正整数解为1,2,3；令，则，，解得，故选C.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．【答案】 【解析】【解答】解： =6﹣1=5，| |= ， ∴ 在 方向上的投影为| |cos＜cos ＞=| | = = = ． 故答案为： ． 14．x【解析】，所以 ‎=-240x，故答案为-240x．‎ 15． 立方丈 ‎ 将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥， 即，‎ ‎ 16.【解答】解：∵a＝1，且（bc﹣2）cosA+accosB＝1﹣b2，‎ ‎∴（bc﹣2）•+ac•＝1﹣b2，‎ 即﹣+＝1﹣b2，‎ 即﹣+c2＝1﹣b2，‎ 即﹣+c2+b2﹣1＝0，‎ ‎﹣+c2+b2﹣a2＝0，‎ 即（c2+b2﹣a2）（1﹣）＝0，‎ ‎∵△ABC是锐角三角形形，‎ ‎∴cosA＝＞0，即c2+b2﹣a2＞0，‎ 则1﹣＝0，即bc＝1，‎ 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，‎ 即1≥2﹣2cosA，‎ 得2cosA≥1，得cosA≥，即0°＜A≤60°，‎ 则三角形的面积S＝bcsinA≤×＝，‎ 即三角形面积的最大值为，‎ 故答案为：‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝a1+2a1﹣1，即a1＝1，……（1分）‎ 当n≥2时，2Sn＝nan+2an﹣1①，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1+2an﹣1﹣1②……（2分）‎ ‎①﹣②，得2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1+2an﹣2an﹣1，即nan＝（n+1）an﹣1，…（3分）‎ 所以，且，……………………………………………………………………（4分）‎ 所以数列为常数列，…………………………………………………………………（5分）‎ ‎，即．………………………………………………………（6分）‎ ‎（2）由（1）得，所以，………………（8分）‎ 所以，………………………………………………………（9分）‎ ‎，…………（没写也不扣分）………………………（10分）‎ ‎＝………………………………………（11分）‎ ‎＝．………………………………………………………………………（12分）‎ ‎18．【解析】（Ⅰ）连接，设，‎ 则平面平面，‎ 平面，，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ），‎ 又，‎ ‎，，平面，‎ 以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 则，‎ ‎，‎ 令，得，，即所求二面角的余弦值是．‎ ‎………………（12分）‎ ‎19．【解析】（Ⅰ）‎ 所以有90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”……………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）“”包含：“”、 “”、 “”、 “”、 “”、 “”六个互斥事件 且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以： ．………………（12分）‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）因为轴，得到点，‎ 所以 ，所以椭圆的方程是．………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以．由（Ⅰ）可知，设方程，，‎ 联立方程得：．即得（*）‎ 又，有，‎ 将代入（*）可得：．‎ 因为，有，‎ 则且．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎………………（12分）‎ ‎21、【答案】（1）解： ，x＞﹣1， 令g（x）=2ax2+2ax+1，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2）， 若△＜0，即0＜a＜2，则g（x）＞0， 当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 若△=0，即a=2，则g（x）≥0，仅当 时，等号成立， 当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增． 若△＞0，即a＞2，则g（x）有两个零点 ， ， 由g（﹣1）=g（0）=1＞0， 得 ， 当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（x1 ， x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（x2 ， +∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增． 综上所述， 当0＜a≤2时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当a＞2时，f（x）在 和 上单调递增， 在 上单调递减 （2）解：由（1）及f（0）=0可知：仅当极大值等于零，即f（x1）=0时，符合要求． 此时，x1就是函数f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点x0 ． 所以 ，从而有 ， 又因为 ，所以 ‎ ‎， 令x0+1=t，则 ， 设 ，则 ， 再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）单调递减， 又因为 ， ， 所以e﹣2＜t＜e﹣1 ， 即 22．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝x＋2, ‎ 曲线C是圆心为，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：‎ r＝＝2；可知曲线C的方程为＋＝4, ‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N，(ρ1>0，ρ2>0)，‎ S△MON＝sin，‎ ‎＝ρ1·ρ2＝4sin·sin＝2sin θcos θ＋2cos2 θ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝2sin＋，‎ 当θ＝时， S△MON＝2＋，所以△MON面积的最大值为2＋.(10分)‎ ‎23．【解析】（Ⅰ）不等式等价于或 ‎ 或 ，解得或，‎ 所以不等式的解集是；‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，解得实数的取值范围是．‎