【推荐】专题04+大题好拿分【提升版】（20题）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金30题x 27页

‎2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题 之大题好拿分【提升版】‎ ‎1．【题文】已知命题（其中）.‎ ‎（1）若，命题“且”为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别求出的等价命题， ，再求出它们的交集；（2）， ，因为是的充分条件，所以，解不等式组可得。‎ ‎2．【题文】设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R;命题q:方程表示椭圆 ‎(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)如果命题"p或q”为真命题,求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ） 解不等式求解（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集即得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ）；所以. ‎ ‎（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集，所以 ‎ ‎3．【题文】设命题p：已知点，直线与线段AB相交；命题q：函数的定义域为R。如果命题p、命题q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题， 为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎4．【题文】已知四棱锥中，四边形是菱形， ，又平面,‎ 点是棱的中点， 在棱上，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面，可证,再由底面是的菱形，且点是棱的中点，可证，即可证明平面，再根据平面，即可证明平面平面；（2）连接交于，连接，得为平面与平面的交线，由平面，可证，根据底面是菱形，且点是棱的中点，易得，则， ，可得四棱锥的高，根据梯形的面积，即可得四棱锥的体积.‎ ‎（2）连接交于，连接，则平面平面，‎ ‎∵平面 ‎∴，‎ ‎∵底面是菱形，且点是棱的中点 ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∵梯形的面积，‎ ‎∴.‎ ‎5．【题文】如图，在三棱锥中， 平面， ， 为侧棱的中点，它的正视图和俯视图如图所示.‎ ‎ (1)求证： 平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积；‎ ‎【答案】（1）见解析; (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面，知，由，知平面，从而得到. 由此能够证明平面；（2）由三视图得，由（1）知平面，由此能求出三棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）证明：因为平面，所以.‎ 又，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 由三视图可得，在中， ， 为的中点，所以.‎ ‎∵，‎ 所以平面.‎ ‎(2) 由三视图可得，由（1）知， 平面，‎ 又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，‎ 所以，所求三棱锥的体积.‎ ‎6．【题文】一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x＋y＋1＝0上,反射后穿过点Q(1,1).‎ ‎(1)求入射光线的方程;‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【答案】(1) 5x－4y＋2＝0. (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，可得直线QM的方程，与l联立可得点M的坐标，利用中点坐标公式可得Q′的坐标．设入射线与l交于点N，利用P，N，Q′共线，得到入射光线PN的方程； （2）利用两点间的距离公式求出PQ′即可．‎ 又∵M为QQ′的中点,‎ 由此得解得 ‎∴Q′(－2,－2).‎ 设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.‎ 又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光线的方程为,‎ 即5x－4y＋2＝0.‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|＝|NQ′|,‎ ‎∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝,‎ 即这条光线从P到Q的长度是.‎ 点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程 ‎（1）两点的中点在对称直线上；‎ ‎（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.‎ ‎7．【题文】在平面直角坐标系中，点，直线： 与直线： 的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．‎ ‎（1）过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线交圆于， 两点，求弦的长．‎ ‎【答案】(1) 切线为或;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立和，解得点，则切线的斜率必存在，设过点的圆的切线方程为，则，解出即可得方程（2）直线： ，则圆心到直线的距离为，根据勾股定理可得弦长 试题解析：‎ ‎（1）由题设知，联立和，解得点，‎ 则切线的斜率必存在，‎ 设过点的圆的切线方程为，则，‎ 解得， ，故切线为或．‎ ‎（2）直线： ，则圆心到直线的距离为，‎ 则弦长．‎ ‎8．【题文】已知点为圆的圆心， 是圆上动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足 ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹教育不同的两点 是坐标原点，且时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以 所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，‎ 故点的轨迹方程式 ‎（2）设直线 直线与圆相切 联立 所以或为所求.‎ ‎9．【题文】如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC ‎(1)求三棱锥D-ABC的体积 ‎(2)求证:平面DAC⊥平面DEF;‎ ‎(3)若M为DB中点,N在棱AC上,且CN=CA,求证:MN∥平面DEF ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等积法，利用求解。（2）由题意得，又所以再线面垂直的判定得，从而。又根据题意得到,从而，根据面面垂直的判定可得平面DAC⊥平面DEF。（3）连交于点则得又从而有根据线面平行的判定定理可得MN∥平面DEF。‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为 所以是点到平面的距离，‎ 所以 ‎ ‎（2）因为是正三角形， 为的中点，‎ 所以 因为 所以 又因为 所以，且,‎ 所以；‎ 因为 所以且 所以,‎ 又因为， ,‎ 所以 因为 所以 ‎ ‎（3）连交于点则得 又因为 所以在面 又 所以 ‎ 点睛：高考中对空间中线面位置关系的考查主要体现在证明垂直、平行上，难度中等，主要考查线面平行（垂直）间的相互转化以及条件的寻求，解题时要结合图形探索解题的思路和方法，注意添加适当的辅助线借以完成题目的求解，同时对解题过程的表达上要规范、完整，解题步骤到书写到位.‎ ‎10．【题文】如图，三棱柱中，底面为正三角形， 底面，且， 是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接交于点，连，由三角形中位线的性质得，再根据线面平行的判定可得结论。（2）先证平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面。（3）假设存在点满足题意，不妨设,由可得，从而可得点确实存在，且。‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图,连接交于点，连。‎ 由题意知,在三棱柱中,平面,‎ ‎∴四边形为矩形,‎ ‎∴点为的中点.‎ ‎∵ 为的中点,‎ ‎∴.‎ ‎∵ 平面,平面.‎ ‎∴ 平面.‎ ‎（2）∵底面为正三角形,是的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∵ 平面,平面,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 平面,‎ ‎∵ 平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.‎ 设。‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ ,‎ 即,‎ 解得,‎ 即.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,此时.‎ 点睛：‎ ‎（1）空间中线面位置关系的证明，在细心看图的基础上将线面位置关系判定的有关定理用图形中的符号表达出来，达到解题的目的，解题时注意定理中的细节问题，表达要完整。‎ ‎（2）解决立体几何中的探索性问题，可先假设满足条件的元素存在，然后在此条件下进行推理，看能否得到矛盾。若在推理中得到了矛盾的结论，这说明假设不成立，从而说明所要的元素不存在；否则所要的元素存在。‎ ‎11．【题文】已知：三棱锥中，侧面垂直底面， 是底面最长的边；图1是三棱锥的三视图，其中的侧视图和俯视图均为直角三角形；图2是用斜二测画法画出的三棱锥的直观图的一部分，其中点在平面内．‎ ‎（Ⅰ）请在图2中将三棱锥的直观图补充完整，并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的大小为，求的值；‎ ‎（Ⅲ）求点到面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)由三视图还原(如下图)可知， H为BC中点， ， ，所以和是直角三角形，‎ ‎（2）由等体积法由可求得点到面的距离。‎ 试题解析：（Ⅰ）补充完整的三棱锥的直观图如图所示； ‎ 由三视图知和是直角三角形． ‎ ‎（Ⅱ）如图，过作交于点.‎ 由三视图知， ， ， ‎ ‎∴在图中所示的坐标系下，相关点的坐标为： ， ， ， ，‎ 则， ，‎ ‎， . ‎ 设平面、平面的法向量分别为, ．‎ 由， ，得 令， 得， ，即．‎ 由， ，得，‎ 令， 得， ，即． ‎ ‎， ‎ ‎,则． ‎ ‎∵二面角的大小为锐角，∴的值为． ‎ ‎12．【题文】（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点，且，求双曲线的标准方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为，根据定义可得，求得p即可得到方程；（Ⅱ）由题意得可知，故，又在双曲线上，代入坐标可得，从而得到曲线方程。‎ ‎（Ⅱ）由双曲线定义及可知，‎ 所以，‎ 又因为是双曲线上的点，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以双曲线的标准方程为. ‎ ‎13．【题文】在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2），或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由抛物线定义确定M点坐标，代人椭圆方程，再结合焦点坐标，列方程组解得（2）由，直线，得与的斜率相同，再根据 ‎，得.设直线方程.并与椭圆方程联立，结合韦达定理代人化简可得m值 ‎（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点.‎ 因为，所以与的斜率相同，‎ 故的斜率.‎ 设的方程为.‎ 由消去并化简得，‎ 设， .‎ 因为，所以.‎ ‎.‎ 所以.‎ 此时，‎ 故所求直线的方程为，或.‎ ‎14．【题文】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】(1）（2）(4,0)‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线的方程为: ，与抛物线方程联立，利用弦长公式根据列方程可求得，从而可得该抛物线的方程；（2）直线的方程为： ，联立，得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为: .‎ 联立方程组，消元得: ，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为： .‎ ‎15．【题文】如图,已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.‎ ‎(1)求证: 三点共线；‎ ‎(2)求的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线代入抛物线方程消元后，根据一元二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，所以可得三点共线。（2）通过可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设直线 ‎ 由消去y整理得 ‎ 设 则 因为 ‎ 所以，‎ 所以，‎ 又线段有公共点， ‎ 所以三点共线. ‎ ‎（2）因为 所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎16．【题文】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（1）方程为.焦点坐标为（，0），准线方程为.（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.‎ 试题解析：（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.‎ 所以抛物线C的方程为.‎ 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .‎ 由，得.‎ 则， .‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.‎ ‎17．【题文】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆相交于两点， ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设分别为线段的中点，原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义可得，结合离心率可求出，结合可求出，故而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设,联立直线与椭圆的方程，得到，由题意可得为钝角，将其转化为向量的数量积，即，联立可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）由得，结合得，得，故椭圆方程为 ‎（Ⅱ）设，联立,得 ‎ 依题意，当时，四边形为平行四边形，由原点在以为直径的圆内，得为钝角，得，即： 即，即把式代入得,得得，且当时同样适合题意，所以， 的取值范围为 ‎18．【题文】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交曲线于， 两点，若，当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，‎ ‎∴ 动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，‎ 设其方程为,‎ 由条件得.‎ ‎∴ 曲线的标准方程为；‎ ‎（2）由题意设直线的方程为y=kx+1，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵ 直线与抛物线相交，‎ ‎∴，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由可得 ‎，‎ 即，‎ ‎∵，∴。‎ 设 ，则函数在上单调递减。‎ ‎∴，即。‎ 由得，满足。‎ ‎∴的取值范围为。‎ 点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用。另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。‎ ‎19．【题文】已知圆过两点， ，且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x-y-2=0的交点，CM长为半径，进而可得圆的方程； （Ⅱ）直线l过点（-2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围； （Ⅲ）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案．‎ ‎（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0‎ ‎∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2‎ ‎∵k=2＞‎ 故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.‎ ‎20．【题文】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点为.‎ 试题解析：（1）由题意知， ，解得，‎ 则椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线,‎ 联立，得，‎ ‎∴.‎ 假设轴上存在定点，使得为定值，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 要使为定值，则的值与无关，∴，‎ 解得，此时为定值，定点为.‎ ‎ ‎