吉林省榆树市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含答案 11页

数学试题（理）‎ 说明： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 ‎ ‎2．作答时务必将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效。‎ ‎3． 全卷150分，考试时间为120分钟。‎ 一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.设，则是 的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.已知,则函数的最小值是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列方程对应的曲线中离心率为的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.在中,且的面积为,则的长为 （ ）‎ A.　 B．‎1　‎　 C．　 D．2‎ ‎5.若抛物线的焦点坐标为（0，3）,则( )‎ A.12 B‎.6 ‎C.3 D.‎ ‎6. 已知双曲线上有一点M到左焦点的距离为,则点M到右焦点的距离是(   )‎ A.8           B.28          C.12          D.8或28‎ ‎7.在中，如果，那么等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知正实数满足，则的最小值（ ）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．‎ ‎9.短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔,记“甲得第一名”为p,“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r,若是真命题,是假命题,是真命题,则选拔赛的结果为( )‎ A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D.甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 ‎10.递增的等比数列中， ，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若向量，且与的夹角余弦为，则等于( )‎ A. B. C. 或 D. 2 ‎ ‎12.如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为( ) ‎ A. B. ‎16 ‎C.8 D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题每小题5分，共20分) ‎ ‎13.在如图所示的长方体中，‎ 已知，，则点的坐标为________ . ‎ ‎14.若满足约束条件则的最大值为_______________.‎ ‎15.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是______．‎ ‎16. 设为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为______________.‎ 三、解答题(共70分,解答题写文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17（ 每小题10分）‎ 设锐角三角形的内角的对边分别为已知. (1)求B的大小; (1)若,,求b的值.‎ ‎18（ 每小题12分）‎ 已知等差数列和等比数列满足,‎ 1) 求的通项公式 2) 求和: ‎ ‎19（ 每小题12分）‎ 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:‎ 产品A 产品B 研制成本与搭载费用之和(万元/件)‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大投资金额300万元 产品重量(千克/件)‎ ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载重量‎110千克 预计收益(万元/件)‎ ‎80‎ ‎60‎ 试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?‎ ‎20（ 每小题12分）‎ 设数列满足：，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎21（ 每小题12分）‎ 如图,在四棱锥中,平面,‎ 为线段上一点不在端点.‎ ‎(1)当M为中点时,,求证:面 ‎ (2)当N为中点时,是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在求出M的坐标,若不存在,说明理由. ‎ ‎22（ 每小题12分）‎ 已知椭圆C:‎ ‎（1）求椭圆C的离心率 ‎（2）设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.‎ 数学答案（理）‎ 一、选择题 ‎1A‎ 2B 3D 4B 5B 6D 7B 8B 9D 10D ‎11A 12D 二、填空题 ‎13、 (2,3,1) 14、 9 15、 16、(3 ,)‎ 三、解答题 ‎17. (1)根据正弦定理,得: , …………………………………2分 ∵,∴. ……………………………………………………………3分 ∴为锐角三角形,∴. ………………………………………………………………………………5分 (2)根据余弦定理,得: , …………………………8分 ∴. 10分 ‎18. (1)设等差数列的公差为 ‎ ‎ 由得 -----------3分 因为 -----------4分 所以 -----------6分 ‎(2)设等比数列的公比为 ‎ 因为 -----------7分 ‎ 因为 -----------9分 ‎ 所以 从而---------12分 ‎19. .答案：设搭载产品A x件,产品B y件,‎ 总预计收益为万元. ………2分 则 ………………… 5分 作出可行域,如图 ………………………… 7分 作出直线并平移,由图得,当直线经过M点时, z取得最大值,‎ 由解得即M为 …………………………………9分 所以. …………………………………………… 11分 答:搭载产品件,产品件,可使得总预计收益最大,为万元………12分 ‎20. ‎ ‎（ 1）因为, 所以 …………………3分 所以数列是首项为,公比为2的等比数列; …………………4分 所以, 所以. …………………………………… 6分 （2）由（1）得 ‎ ‎ 所以 , ‎ ‎ 所以 …………7分 两式相减得:‎ ‎ ………………9分 ‎ … ……………11分 ‎ ‎ ‎ 所以. …………………………………………………………12分 ‎21. (1) 方法一：证明：因为 平面,‎ 平面, 所以,‎ 又,所以两两垂直, ‎ 分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, ……………………………………2分 ‎ 则,, ……3分 显然平面的法向量为,则, ……………………………5分 又不在平面内,所以平面；………………………………… 6分 方法二：取BP的中点E,连接ME,EA ……………1分 由M为PC的中点知 ……………2分 在平面四边形ABCD中,‎ 即: 所以AD∥BC , 既AN∥BC ……………3分 由已知得 所以,四边形AEMN是平行四边形,所以MN∥AE ……………4分 因为 ……………5分 所以MN∥平面PAB ……………6分 ‎(2)假设存在点M使得与平面所成角的正弦值为, 则,‎ 所以 ‎,则, …7分 设平面的法向量为,[‎ ‎∴,不妨设,则 ………………………………… 9分 ‎∴, …………………………………… 11分 设线面角为,则, 解得或1(舍去, ‎ ‎∴时,直线与平面所成角的正弦值为．……………12分 ‎22. ‎ 1) 由题意,椭圆C的标准方程为:, ……………………1分 所以,从而 ……………………2分 ‎ 因此 ……………………3分 所以C的离心率e= ……………………4分 2) 方法一:设点A,B的坐标分别为 ……………………5分 ‎ 因为,所以即 解得 ‎ 又 ……………………6分 ‎ 9分 因为 ‎ 当且仅当时等号成立 所以, ……………11分 所以线段AB长度的最小值为 ……………………12分 ‎ 方法二:‎ 设直线OA:, A ‎ 因为,所以直线OB: ……………………5分 由解得 ……………6分 ‎ 由解得 ……………7分 ‎10分 因为 当且仅当m=0时,等号成立 所以, …………11分 所以线段AB长度的最小值为 …………12分