【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题23复数的概念与运算学案 12页

专题二十三 复数的概念与运算 ‎【复数的概念】‎ 形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。‎ 复数的表示：‎ 复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。‎ ‎【复数的运算】‎ ‎1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i； 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i； 3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。  4、复数的除法运算规则：。‎ 共轭复数：‎ 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。  虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。  复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。‎ ‎【复数的运算律】‎ ‎1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1； 结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）； 2、减法同加法一样满足交换律、结合律。  3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1‎ ‎（z2+z3）=z1z2+z1z3‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文2】‎ 复平面内表示复数的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【考点】复数运算 ‎【点拨】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为 答题思路 ‎【命题意图】 高考对本部分内容的复数代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件是考查重点．复数的基本概念如实、虚部，共轭复数，模的几何意义 ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有三种：一种是有关复数的基本概念问题；一种是复数的代数运算；一种是复数的几何意义．属于基础题型 ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步：利用复数的四则运算去括号 ‎ 第二步：由复数在复平面上对应点 因为，所以其在复平面上对应的点为 第三步：确定点所在的象限 所以该复数在复平面上对应的点在第三象限 ‎【方法总结】‎ ‎1．形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数集用集合表示．‎ ‎2．复数的分类：对于复数 ‎① 当时，是实数； ②当时，是虚数； ③ 当且时，是纯虚数．‎ ‎3．复数相等：若，，则的充要条件是且．‎ 特别地：若的充要条件是．‎ ‎4．复数与复平面内的点一一对应．‎ 复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一一对应．‎ ‎5．复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且．‎ ‎1.【2017年高考全国Ⅱ卷，文2】 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，故选B.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【点拨】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算WWW.ziyuanku.com技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2.【2017年高考北京卷，文2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B.‎ ‎【考点】复数的运算 ‎【点拨】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎3.【2017年高考天津卷，文9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】复数的运算 ‎【点拨】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，或者设，根据两边复数相等，求解.‎ ‎2.【2017年高考山东卷，文2】已知i是虚数单位,若复数z满足,则=‎ A.-2i B.2i C.-2 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】复数的运算 ‎【点拨】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.‎ ‎4. 【2017年高考江苏卷2】已知复数其中i是虚数单位，则的模是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】复数的模 ‎【点拨】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎5．【2017年高考浙江卷12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ‎ ，ab= ．‎ ‎【答案】5，2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，则，解得，则 ‎【考点】复数的基本运算和复数的概念 ‎【点拨】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为Ziyuanku.com ‎6．【2017长郡中学临考冲刺训练】已知复数为虚数单位， 是的共轭复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7．【2017南阳第一中学校四模】复数（其中是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，所以复数的虚部为，故选C.‎ ‎8．【2017安庆一中三模】若复数满足，则的虚部为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎9．【2017长沙一中模拟卷二】若复数的实部与虚部相等，则实数的值为 ( )‎ A. 3 B. -3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意： ，‎ 由题意可得： ，解得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎10．【2017辽宁庄河四模】设复数 ，则复数 的摸为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎11．【2017成都七中高考热身】复数是虚数单位，则的共轭复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,所以的共轭复数的虚部是,选D.‎ ‎12．【2017衡水押题卷II】若复数（， ）满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，则：‎ ‎，解得： ，则.‎ 本题选择C选项.‎ ‎13．【2017湖南考前演练（三）】已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数所对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎14．【2017衡水押题III卷】已知是虚数单位， ，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】故在复平面内对应的点在第一象限 ‎ ‎15．【2017河南濮阳期末考】设是复数，给出四个命题：‎ ‎①．若，则 ②．若，则 ‎ ‎③．若，则 ④．若，则 其中真命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅰ卷，文2】设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=‎ ‎（A）−3 （B）−2 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，由已知，得，解得，选A.‎ ‎【考点】复数的概念及复数的乘法运算 ‎【点拨】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅱ卷，文2】设复数z满足，则 =‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，故选C.‎ ‎【考点】 复数的运算，共轭复数 ‎【点拨】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.‎ ‎18.【2016年高考全国Ⅲ卷，文2】若，则=（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，故选D．‎ ‎【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 ‎ ‎【点拨】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎19.【2016年高考北京卷，文2】复数 ‎ ‎（A）i （B）1+i （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，故选A.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【点拨】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.‎ ‎20.【2016年高考山东卷，文2】若复数，其中i为虚数单位，则 =‎ ‎（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i ‎【答案】B Ziyuanku.com ‎【考点】复数的运算，复数的概念 ‎【点拨】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎21.【2016年高考天津卷，文9】是虚数单位，复数满足，则的实部为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以的实部为1.‎ ‎【考点】复数概念 ‎【点拨】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ‎. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.‎ ‎22．【2016年高考上海卷，文2】设，其中为虚数单位，则z的虚部等于______________________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 故z的虚部等于−3.‎ ‎【考点】复数的运算、复数的概念 ‎ ‎【点拨】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎23．【2016年高考四川卷，文1】设i为虚数单位，则复数(1+i)2=‎ ‎(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C.‎ ‎【考点】复数的运算 ‎【点拨】本题考查复数的运算．复数的概念及运算是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．‎ ‎24．【2016年高考江苏卷2】复数其中i为虚数单位，则z的实部是 ▲ .‎ ‎【答案】5‎ ‎【考点】复数概念 ‎【点拨】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为