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  • 2021-06-11 发布

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学(文)试题

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数学试卷(文)‎ 第I卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,计60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合,Z为整数集,则中元素的个数是 A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意,,故其中的元素个数为5,选C.‎ 考点:集合中交集的运算.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由或,故x的可取值为−1,2,,‎ 故选:D.‎ ‎3.已知点在幂函数的图象上,则的表达式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数的解析式,代入M点的坐标即可求出幂函数表达式.‎ ‎【详解】设 ,‎ 则 ‎ 则的表达式为 ‎【点睛】本题考查幂函数表达式求解,是基础题,意在考查幂函数基础知识的掌握情况和幂指数的运算能力,解题中需要能熟练应用幂指数运算性质.‎ ‎4.函数的定义域为( )‎ A. (0,+∞) B. (1,+∞)‎ C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数式的真数大于,无理式根号内部的代数式大于或等于,联立不等式组求得的取值范围,用集合或区间表示后得到原函数的定义域 ‎【详解】要使函数有意义,应满足 解得,‎ 故原函数的定义域为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法,考查了分式不等式的解法,属于基础题.‎ ‎5.若且为第四象限,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系式求出,然后求解即可.‎ ‎【详解】解:,则为第四象限角,,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.‎ ‎6.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y=Asin(ωx+φ)图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出结论.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度, 则平移后图象对应的函数解析式为 ‎ 令,求得,可得平移后函数的图象的对称轴为 , 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.‎ ‎7.已知数列的前项和,则的通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式,由,能够求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】解:,‎ ‎,‎ ‎.‎ 当时,,‎ ‎,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用,属于中档题.‎ ‎8.已知数列中满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列满足,,可得,利用累加求和、等差数列的求和公式即可得出.‎ ‎【详解】解:数列满足,,可得,‎ 则 ‎.‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎9.函数的单调递增区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由>0得:x∈(−∞,−2)∪(4,+∞),‎ 令t=,则y=lnt,‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数;‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数;‎ y=lnt为增函数,‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞),‎ 故选D 点睛:形如的函数为,的复合函数,为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增,外层函数单增时,函数也单增;‎ 当内层函数单增,外层函数单减时,函数也单减;‎ 当内层函数单减,外层函数单增时,函数也单减;‎ 当内层函数单减,外层函数单减时,函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎10.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且Øq的一个充分不必要条件是Øp,则 a的取值范围是 A. [1,+∞) B. (-∞,1]‎ C. [-1,+∞) D. (-∞,-3]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式得到命题,进而可得,由即可得,最后根据充分条件和必要条件的定义即可得结果.‎ ‎【详解】由,知或,则为,为,‎ 又是的充分不必要条件,所以,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法,充分条件和必要条件与集合间关系的等价转化,属于中档题.‎ ‎11.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:因为,所以“”是“”的充分不必要条件;故选A.‎ 考点:1.二倍角公式;2.充分条件和必要条件的判定.‎ ‎12.若方程有两个不等的实根和,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 方程有两个不等的实根和,所以-=a,=a,相减得=0,所以 ‎=1,所以当时取等号,而不等,所以>2.‎ 故选C 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,计20分)‎ ‎13.命题“,”的否定是______.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.‎ ‎【详解】命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,‎ 即,;‎ 故答案为,;‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.‎ ‎14..设,一元二次方程有整数根充要条件是 ‎ ‎【答案】3或4‎ ‎【解析】‎ 直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.‎ ‎,因为是整数,即为整数,所以为整数,且,又因为,取,验证可知符合题意;反之时,可推出一元二次方程有整数根.‎ ‎15. 观察下列等式 照此规律,第个等式为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎:第个等式是首项为,公差1,项数为的等差数列,即 ‎16.已知函数f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[﹣,]上是增函数,则ω的取值范围 ‎________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】函数f(x)=2sinωx+1(ω>0),‎ f(x)区间[﹣,]上是增函数,‎ 则有,k∈Z,‎ 解得:ω≤1﹣4k且,‎ ‎∵ω>0,‎ ‎∴(0,].‎ 故答案为 ‎【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象和性质的运用,属于基础题.‎ 三、解答题.(本大题共6道题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:①男生人数多于女生人数;②女生人数多于教师人数;③教师人数的两倍多于男生人数.问:‎ ‎(1)若教师人数为4,则女生人数的最大值为多少?‎ ‎(2)该小组人数的最小值为多少?‎ ‎【答案】(1)6;(2)12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设男生有人,女生有人,根据人员构成同时满足的三个条件,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出,的取值范围,结合,均为正整数且 ‎,即可得出,的值,此问得解;‎ ‎(2)设男生有人,女生有人,教师有人,根据人员构成同时满足的三个条件,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出,的取值范围(用含的代数式表示),结合,,均为正整数且,即可得出的最小值,进而可得出,的最小值,将其相加即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(1)设男生有人,女生有人,‎ 依题意,得:,,‎ 解得:,.‎ ‎,均为正整数,,‎ 或7,或6.‎ 故答案为:6.‎ ‎(2)设男生有人,女生有人,教师有人,‎ 依题意,得:,,‎ 解得:,.‎ 又,,均为正整数,且,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的最小值为3.‎ 当时,,,‎ ‎.‎ 故答案为:12.‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键,属于基础题.‎ ‎18.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】(1):,:;(2),此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 试题解析: (1)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 考点:坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.‎ ‎19.已知函数 ‎(I)求的值 ‎(II)求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】(I)2;(II)的最小正周期是,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的值.‎ ‎(Ⅱ)直接利用函数的关系式,求出函数的周期和单调区间.‎ ‎【详解】(Ⅰ)f(x)=sin2x﹣cos2xsin x cos x,‎ ‎=﹣cos2xsin2x,‎ ‎=﹣2,‎ 则f()=﹣2sin()=2,‎ ‎(Ⅱ)因为.‎ 所以的最小正周期是.‎ 由正弦函数的性质得 ‎,‎ 解得,‎ 所以,的单调递增区间是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数化简,以及函数的性质,是高考中的常考知识点,属于基础题,强调基础的重要性;三角函数解答题中,涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解.‎ ‎20.已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)设数列的公差为,‎ 令得,所以.‎ 令得,所以.‎ 解得,所以 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以 所以 两式相减,得 所以 考点:1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”.‎ ‎21.【2018年新课标I卷文】已知函数.‎ ‎(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;‎ ‎(2)证明:当时,.‎ ‎【答案】(1) a=;f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)先确定函数的定义域,对函数求导,利用f ′(2)=0,求得a=,从而确定出函数的解析式,之后观察导函数的解析式,结合极值点的位置,从而得到函数的增区间和减区间;‎ ‎(2)结合指数函数的值域,可以确定当a≥时,f(x)≥,之后构造新函数g(x)=,利用导数研究函数的单调性,从而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的传递性,证得结果.‎ 详解:(1)f(x)的定义域为,f ′(x)=aex–.‎ 由题设知,f ′(2)=0,所以a=.‎ 从而f(x)=,f ′(x)=.‎ 当02时,f ′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.‎ ‎(2)当a≥时,f(x)≥.‎ 设g(x)=,则 ‎ 当01时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.‎ 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.‎ 因此,当时,.‎ 点睛:该题考查的是有关导数的应用问题,涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题,在解题的过程中,首先要保证函数的生存权,先确定函数的定义域,之后根据导数与极值的关系求得参数值,之后利用极值的特点,确定出函数的单调区间,第二问在求解的时候构造新函数,应用不等式的传递性证得结果.‎ ‎22.证明:,在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,且,求出,从而判断出函数的单调性.‎ 同理可证函数在上的单调性;‎ ‎【详解】解:在上是增函数,‎ 设,且,‎ 则,‎ ‎,,‎ ‎,而,,,即,‎ 二次函数在区间上是增函数.‎ 在上是减函数,‎ 设,且,‎ 则,‎ ‎,,‎ ‎,而,,,即,‎ 二次函数在区间上是减函数.‎ ‎【点睛】本题考察了二次函数的单调性,利用定义研究函数的单调性,属于基础题.‎

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