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- 2021-06-11 发布
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数学试卷(文)
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,计60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合,Z为整数集,则中元素的个数是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:由题意,,故其中的元素个数为5,选C.
考点:集合中交集的运算.
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由或,故x的可取值为−1,2,,
故选:D.
3.已知点在幂函数的图象上,则的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式,代入M点的坐标即可求出幂函数表达式.
【详解】设 ,
则
则的表达式为
【点睛】本题考查幂函数表达式求解,是基础题,意在考查幂函数基础知识的掌握情况和幂指数的运算能力,解题中需要能熟练应用幂指数运算性质.
4.函数的定义域为( )
A. (0,+∞) B. (1,+∞)
C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数式的真数大于,无理式根号内部的代数式大于或等于,联立不等式组求得的取值范围,用集合或区间表示后得到原函数的定义域
【详解】要使函数有意义,应满足
解得,
故原函数的定义域为
故选
【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法,考查了分式不等式的解法,属于基础题.
5.若且为第四象限,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式求出,然后求解即可.
【详解】解:,则为第四象限角,,
.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.
6.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出结论.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,
则平移后图象对应的函数解析式为
令,求得,可得平移后函数的图象的对称轴为 ,
故选A.
【点睛】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
7.已知数列的前项和,则的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用公式,由,能够求出数列的通项公式.
【详解】解:,
,
.
当时,,
,
故选:A
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用,属于中档题.
8.已知数列中满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由数列满足,,可得,利用累加求和、等差数列的求和公式即可得出.
【详解】解:数列满足,,可得,
则
.
.
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9.函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由>0得:x∈(−∞,−2)∪(4,+∞),
令t=,则y=lnt,
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数;
x∈(4,+∞)时,t=为增函数;
y=lnt为增函数,
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞),
故选D
点睛:形如的函数为,的复合函数,为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增,外层函数单增时,函数也单增;
当内层函数单增,外层函数单减时,函数也单减;
当内层函数单减,外层函数单增时,函数也单减;
当内层函数单减,外层函数单减时,函数也单增.
简称为“同增异减”.
10.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且Øq的一个充分不必要条件是Øp,则
a的取值范围是
A. [1,+∞) B. (-∞,1]
C. [-1,+∞) D. (-∞,-3]
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得到命题,进而可得,由即可得,最后根据充分条件和必要条件的定义即可得结果.
【详解】由,知或,则为,为,
又是的充分不必要条件,所以,故选A.
【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法,充分条件和必要条件与集合间关系的等价转化,属于中档题.
11.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析:因为,所以“”是“”的充分不必要条件;故选A.
考点:1.二倍角公式;2.充分条件和必要条件的判定.
12.若方程有两个不等的实根和,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
方程有两个不等的实根和,所以-=a,=a,相减得=0,所以
=1,所以当时取等号,而不等,所以>2.
故选C
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,计20分)
13.命题“,”的否定是______.
【答案】,
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,
即,;
故答案为,;
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
14..设,一元二次方程有整数根充要条件是
【答案】3或4
【解析】
直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.
,因为是整数,即为整数,所以为整数,且,又因为,取,验证可知符合题意;反之时,可推出一元二次方程有整数根.
15. 观察下列等式
照此规律,第个等式为
【答案】
【解析】
:第个等式是首项为,公差1,项数为的等差数列,即
16.已知函数f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[﹣,]上是增函数,则ω的取值范围
________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调性可得答案.
【详解】函数f(x)=2sinωx+1(ω>0),
f(x)区间[﹣,]上是增函数,
则有,k∈Z,
解得:ω≤1﹣4k且,
∵ω>0,
∴(0,].
故答案为
【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象和性质的运用,属于基础题.
三、解答题.(本大题共6道题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:①男生人数多于女生人数;②女生人数多于教师人数;③教师人数的两倍多于男生人数.问:
(1)若教师人数为4,则女生人数的最大值为多少?
(2)该小组人数的最小值为多少?
【答案】(1)6;(2)12
【解析】
【分析】
(1)设男生有人,女生有人,根据人员构成同时满足的三个条件,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出,的取值范围,结合,均为正整数且
,即可得出,的值,此问得解;
(2)设男生有人,女生有人,教师有人,根据人员构成同时满足的三个条件,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出,的取值范围(用含的代数式表示),结合,,均为正整数且,即可得出的最小值,进而可得出,的最小值,将其相加即可得出结论.
【详解】解:(1)设男生有人,女生有人,
依题意,得:,,
解得:,.
,均为正整数,,
或7,或6.
故答案为:6.
(2)设男生有人,女生有人,教师有人,
依题意,得:,,
解得:,.
又,,均为正整数,且,
,
,
的最小值为3.
当时,,,
.
故答案为:12.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键,属于基础题.
18.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】(1):,:;(2),此时.
【解析】
试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
试题解析: (1)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
考点:坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.
19.已知函数
(I)求的值
(II)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(I)2;(II)的最小正周期是,.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的值.
(Ⅱ)直接利用函数的关系式,求出函数的周期和单调区间.
【详解】(Ⅰ)f(x)=sin2x﹣cos2xsin x cos x,
=﹣cos2xsin2x,
=﹣2,
则f()=﹣2sin()=2,
(Ⅱ)因为.
所以的最小正周期是.
由正弦函数的性质得
,
解得,
所以,的单调递增区间是.
【点睛】本题主要考查了三角函数化简,以及函数的性质,是高考中的常考知识点,属于基础题,强调基础的重要性;三角函数解答题中,涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解.
20.已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】
【详解】(Ⅰ)设数列的公差为,
令得,所以.
令得,所以.
解得,所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以
所以
两式相减,得
所以
考点:1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”.
21.【2018年新课标I卷文】已知函数.
(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;
(2)证明:当时,.
【答案】(1) a=;f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)证明见解析.
【解析】
分析:(1)先确定函数的定义域,对函数求导,利用f ′(2)=0,求得a=,从而确定出函数的解析式,之后观察导函数的解析式,结合极值点的位置,从而得到函数的增区间和减区间;
(2)结合指数函数的值域,可以确定当a≥时,f(x)≥,之后构造新函数g(x)=,利用导数研究函数的单调性,从而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的传递性,证得结果.
详解:(1)f(x)的定义域为,f ′(x)=aex–.
由题设知,f ′(2)=0,所以a=.
从而f(x)=,f ′(x)=.
当02时,f ′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
(2)当a≥时,f(x)≥.
设g(x)=,则
当01时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.
故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.
因此,当时,.
点睛:该题考查的是有关导数的应用问题,涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题,在解题的过程中,首先要保证函数的生存权,先确定函数的定义域,之后根据导数与极值的关系求得参数值,之后利用极值的特点,确定出函数的单调区间,第二问在求解的时候构造新函数,应用不等式的传递性证得结果.
22.证明:,在上是减函数,在上是增函数.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设,且,求出,从而判断出函数的单调性.
同理可证函数在上的单调性;
【详解】解:在上是增函数,
设,且,
则,
,,
,而,,,即,
二次函数在区间上是增函数.
在上是减函数,
设,且,
则,
,,
,而,,,即,
二次函数在区间上是减函数.
【点睛】本题考察了二次函数的单调性,利用定义研究函数的单调性,属于基础题.