2018届高三数学一轮复习： 第2章 第9节 课时分层训练12 6页

课时分层训练(十二)　函数模型及其应用 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： ‎ ‎【导学号：01772071】‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎－0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x，y最适合的拟合函数是(　　)‎ A．y＝2x　　　　　　　 B.y＝x2－1‎ C．y＝2x－2 D.y＝log2 x D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2 x，可知满足题意．]‎ ‎2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)‎ A．118元 B.105元 C．106元 D.108元 D　[设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]‎ ‎3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图292甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. ‎ ‎【导学号：01772072】‎ 图292‎ 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)‎ A．① B.①②‎ C．①③ D.①②③‎ A　[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]‎ ‎4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)‎ A．85元 B.90元 C．95元 D.100元 C　[设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，‎ ‎∴当x＝95时，y最大．]　‎ ‎5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)‎ A．5　　　 B.8‎ C.9　　　 D.10‎ A　[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，‎ ‎∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，‎ 可得n＝ln，∴f(t)＝a·，‎ 因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，‎ f(k)＝a·＝a，即＝，‎ ‎∴k＝10，‎ 由题可知m＝k－5＝5，故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.‎ 图293‎ ‎【导学号：01772073】‎ ‎20　[设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.]‎ ‎7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)‎ ‎8　[设过滤n次才能达到市场要求，‎ 则2%n≤0.1%，即n≤，‎ 所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]‎ ‎8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是________小时．‎ ‎24　[由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝＝＝.设该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.]‎ 三、解答题 ‎9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．‎ ‎[解]　(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，2分 因此f(x)＝6x＋‎20C(x)＝6x＋(0≤x≤10).5分 ‎(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，7分 当且仅当6x＋10＝，‎ 即x＝5时等号成立，10分 所以当隔热层厚度为‎5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.12分 ‎10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．‎ ‎(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；‎ ‎(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？‎ ‎[解]　(1)设旅行团人数为x，由题得00；‎ 当x>1时，‎ ‎(x2－2ax＋‎4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－‎2a).3分 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋‎4a－2成立的x的取值范围为[2,‎2a].5分 ‎(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋‎4a－2，‎ 则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋‎4a－2，‎ 所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，‎ 即m(a)＝8分 ‎②当0≤x≤2时，‎ F(x)＝f(x)，此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.‎ 当2≤x≤6时，‎ F(x)＝g(x)，此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－‎8a}，‎ 当a≥4时，34－‎8a≤2；‎ 当3≤a<4时，34－‎8a>2，‎ ‎∴M(a)＝12分