数学卷·2018届江苏省无锡市普通高中高三上学期期末考试（2018 15页

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷 数学 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）‎ ‎1.已知集合，，若，则实数 ．‎ ‎2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数 ．‎ ‎3.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ．‎ ‎4.已知，直线，，则直线的概率为 ．‎ ‎5.根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为 ．‎ ‎6.直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．‎ ‎7.已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为 ．‎ ‎8.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则 ．‎ ‎9.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为 ．‎ ‎10.过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为 ．‎ ‎11.已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为 ．‎ ‎12.在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则 ．‎ ‎13.已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.如图，是菱形，平面，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎16.在中，角的对边分别为，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎17.如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.‎ ‎（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；‎ ‎（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；‎ ‎（3）求过点的圆方程（结果用表示）.‎ ‎19.已知数列满足，，是数列的前项的和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；‎ ‎（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.已知函数，，其中.‎ ‎（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；‎ ‎（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.‎ 数学（加试题）‎ 说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎21.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，‎ 属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.‎ ‎23.某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.‎ 该公司所在地区汽车限行规定如下：‎ ‎（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；‎ ‎（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.‎ ‎24.在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.‎ ‎（1）求二面角的正弦值；‎ ‎（2）试在平面上找一点，使得平面.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1.3 2.6 3.47 4. 5.21 6. 7.5 8. 9.1024 10.19 11.8 12.6 13. 14. ‎ 二、简答题（本大题共6小题，共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.解：（1）证明：因为平面，所以.‎ 因为是菱形，所以，‎ 因为 所以平面.‎ ‎（2）证明：设，取中点，连结，‎ 所以，且.‎ 因为，，所以且，‎ 从而四边形是平行四边形，.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面，即平面.‎ ‎16.解：（1）因为，‎ 所以 ‎.‎ 在中，因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）根据正弦定理，所以，‎ 又，所以，.‎ ‎，.‎ 所以的周长为15.‎ ‎17.解：（1）由题意，，所以，‎ 又，‎ 所以观光专线的总长度 ‎，，‎ 因为当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 即观光专线的总长度随的增大而减小.‎ ‎（2）设翻新道路的单位成本为，‎ 则总成本，，‎ ‎，‎ 令，得，因为，所以，‎ 当时，，当时，.‎ 所以，当时，最小.‎ 答：当时，观光专线的修建总成本最低.‎ ‎18.解：（1）因为椭圆的离心率为，‎ 所以，，‎ 所以直线的方程为，‎ 又到直线的距离为，所以，‎ 所以，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 直线的方程为，‎ 由，整理得，‎ 解得：，则点的坐标是，‎ 因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，解得.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎（3）因为，，，‎ 所以的垂直平分线，‎ 的垂直平分线为，‎ 所以过三点的圆的圆心为，‎ 则过三点的圆方程为，‎ 即所求圆方程为.‎ ‎19.解：（1）因为，，‎ 所以当时，，，‎ 当时，‎ 由和，‎ 两式相除可得，，即 所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.‎ 于是，.‎ ‎（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，‎ 所以，于是，或.‎ 当时，，解得，‎ 当时，，无正整数解，‎ 所以，.‎ ‎（3）假设存在满足条件的正整数，使得，‎ 则，‎ 平方并化简得，，‎ 则，‎ 所以，或，或，‎ 解得：，或，，，（舍去），‎ 综上所述，或14.‎ ‎20.（1）设切点为，，则切线斜率为，‎ 所以切线方程为，因为切线过，‎ 所以，‎ 化简得，解得.‎ 当时，切线方程为，‎ 当时，切线方程为.‎ ‎（2）由题意，对任意有恒成立，‎ ‎①当时，，‎ 令，则，令得，‎ ‎，故此时.‎ ‎②当时，恒成立，故此时.‎ ‎③当时，，‎ 令，‎ ‎，故此时.综上：.‎ ‎（3）因为，即，‎ 由（2）知，‎ 令，则 当，存在唯一的整数使得，‎ 等价于存在唯一的整数成立，‎ 因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，‎ 所以.‎ 当，存在唯一的整数使得，‎ 等价于存在唯一的整数成立，‎ 因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，‎ 所以当时，没有整数成立，所有.‎ 综上：.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.解：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，‎ ‎，即；‎ 得，‎ 由矩阵属于特征值的一个特征向量为，‎ 可得，即；‎ 得，‎ 解得.即，‎ ‎22.解：由，得，所以，‎ 即圆的方程为，‎ 又由，消，得，‎ 由直线与圆相交，‎ 所以，即.‎ ‎23.解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，‎ 则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车 ‎.‎ ‎∴.‎ 答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.‎ ‎（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎.‎ 答：的数学期望为.‎ ‎24.解：（1）因为底面，过作，则，‎ 以为坐标原点，方向为轴的正半轴，‎ 方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎，解得，又平面的法向量为，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）设点的坐标为，因为平面，‎ 所以，即，也即，，‎ 又，，，‎ 所以，‎ 所以得，，即，‎ ‎，，所以，‎ 所以点的坐标为.‎