数学卷·2018届江苏省淮安市涟水中学高二下学期第一次段考数学试卷（解析版） 13页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江苏省淮安市涟水中学高二（下）第一次段考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．‎ ‎1．化简cos96°cos24°﹣sin96°sin24°=　　．‎ ‎2．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=4，则a20的值为　　．‎ ‎3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是　　．‎ ‎4．设数列，，2，，…，则是这个数列的第　　项．‎ ‎5．已知，则tanα=　　．‎ ‎6．已知等差数列{an}的a6+a7+a8=9，则前13项的和为　　．‎ ‎7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A=　　．‎ ‎8．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则a=　　．‎ ‎9．已知均为锐角，则cosβ=　　．‎ ‎10．设数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a8=　　．‎ ‎11．若．则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=　　．‎ ‎12．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，已知，n∈N*，则=　　．‎ ‎13．已知tan（α+β）=2，tan（α﹣β）=3，则的值为　　．‎ ‎14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，则△ABC外接圆的半径为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎ （2）若tan（α+β）=3，求tanβ．‎ ‎16．设等差数列{an}满足a1=﹣11，a4+a6=﹣6，‎ ‎（1）求{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设{an}的前n项和为Sn，求满足sk=189成立的k值．‎ ‎17．为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，同时测得海里．‎ ‎（1）求AD的长度；‎ ‎（2）求C，D之间的距离．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=．‎ ‎（1）若b=sinB，求a；‎ ‎（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．‎ ‎19．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．‎ ‎（1）求cos（α+）的值；‎ ‎（2）求cos（2α+）的值．‎ ‎20．已知数列{an}的各项为正数，其前n项和为Sn满足，设bn=10﹣an（n∈N）．‎ ‎（1）求证：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值．‎ ‎（3）设数列{bn}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省淮安市涟水中学高二（下）第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．‎ ‎1．化简cos96°cos24°﹣sin96°sin24°=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】由两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎【解答】解：cos96°cos24°﹣sin96°sin24°‎ ‎=cos（96°+24°）‎ ‎=cos120°‎ ‎=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎2．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=4，则a20的值为　77　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知，得出an+1﹣an=4，判断出数列{an}是以4为公差的等差数列．通项公式an=4n﹣3．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=4，数列{an}是以1为首项、4为公差的等差数列．‎ ‎∴通项公式an=1+4（n﹣1）=4n﹣3．‎ ‎∴a20=4×20﹣3=77．‎ 故答案是：77．‎ ‎　‎ ‎3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是　4　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．‎ ‎【解答】解：设30°角所对的边长是x，‎ 由正弦定理可得，‎ 解得 x=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎4．设数列，，2，，…，则是这个数列的第　14　项．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由数列，，2，，…，即数列，，，，…，其被开方数2，5，8，11，…，为等差数列，公差为3，利用其通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由数列，，2，，…，即数列，，，，…，‎ 其被开方数2，5，8，11，…，为等差数列，公差为3，其通项公式为：an=2+3（n﹣1）=3n﹣1．‎ 令41=3n﹣1，解得n=14．‎ 则是这个数列的第14项．‎ 故答案为：14．‎ ‎　‎ ‎5．已知，则tanα=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由tanα=tan，利用两角差的正切公式求出结果．‎ ‎【解答】解：∵tanα=tan，，由两角差的正切公式可得 ‎ tan==﹣，‎ 故答案为﹣．‎ ‎　‎ ‎6．已知等差数列{an}的a6+a7+a8=9，则前13项的和为　39　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列通项公式求出a7=3，由此能求出前13项的和．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a6+a7+a8=9，‎ ‎∴a6+a7+a8=3a7=9，解得a7=3，‎ ‎∴前13项的和为：‎ S13=（a1+a13）=13×a7=39．‎ 故答案为：39．‎ ‎　‎ ‎7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A=　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴cosA===，‎ A∈（0，π），∴A=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则a=　2　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形面积公式求出c的值，再由余弦定理求出求出a的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，b=2，A=120°，‎ 三角形的面积为，‎ ‎∴bc•sinA=•2c•sin120°=c=2； ‎ 解得c=4；‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA ‎=22+42﹣2×2×4×cos120°‎ ‎=28，‎ 解得a=．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．已知均为锐角，则cosβ=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】α，β的范围得出α﹣β的范围，然后利用同角三角函数间的基本关系，由sin（α﹣β）和sinα的值，求出cos（α﹣β）和cosα的值，然后由β=α﹣（α﹣β），把所求的式子利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：由均为锐角，‎ 得到α﹣β∈（﹣，），‎ 所以cos（α﹣β）==，cosα==，‎ 则cosβ=cos ‎=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=×+（﹣）=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．设数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a8=　﹣26　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和．‎ S6=8S3，a3﹣a5=8，‎ ‎∴，‎ 解得a1=2，d=﹣4，‎ ‎∴a8=2+7×（﹣4）=﹣26．‎ 故答案为：﹣26．‎ ‎　‎ ‎11．若．则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=　2　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】利用两角和的正切公式，转化化简为（1﹣tanα）（1﹣tanβ）求解即可．‎ ‎【解答】解：因为 tan（α+β）==﹣1，所以，tanα+tanβ=﹣1+tanαtanβ 即：2=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=（1﹣tanα）（1﹣tanβ）‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎12．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，已知，n∈N*，则=　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得： ==，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，，n∈N*，‎ ‎∴===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知tan（α+β）=2，tan（α﹣β）=3，则的值为　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】构造思想，sin2α=sin，cos2β=cos，利用两角和与差的公式打开计算即可求的值．‎ ‎【解答】解：由tan（α+β）=2，可得，即sin（α+β）=2cos（α+β）‎ tan（α﹣β）=3，可得，即sin（α﹣β）=3cos（α﹣β）‎ sin2α=sin，cos2β=cos，‎ 那么： ==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，则△ABC外接圆的半径为　　．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】由题意设出钝角三角形的三边长分别为x，x+1，x+2，可得出x+2所对的角为钝角，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将设出的三边代入，根据cosα小于0，得出x的范围，在范围中找出整数x的值，确定出三角形的三边长，进而确定出cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圆的半径．‎ ‎【解答】解：由题意得：钝角△ABC的三边分别为x，x+1，x+2，且x+2所对的角为钝角α，‎ ‎∴由余弦定理得：cosα==＜0，即x＜3，‎ ‎∴x=1或x=2，‎ 当x=1时，三角形三边分别为1，2，3，不能构成三角形，舍去；‎ 当x=2时，三角形三边长分别为2，3，4，此时cosα=﹣，‎ ‎∴sinα==，‎ 设△ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理得： =2R，‎ 解得：R=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎ （2）若tan（α+β）=3，求tanβ．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，利用两角和的正弦公式求得 的值．‎ ‎（2）由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ的值．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知道，‎ 因为tan（α+β）=3，所以tanβ=tan=．‎ ‎　‎ ‎16．设等差数列{an}满足a1=﹣11，a4+a6=﹣6，‎ ‎（1）求{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设{an}的前n项和为Sn，求满足sk=189成立的k值．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）利用（1）中该数列的通项公式，易得sk=k2﹣12k=189，通过解该方程求得k的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1=﹣11，a4+a6=﹣6，‎ ‎∴2×（﹣11）+8d=﹣6，‎ 解得d=2．‎ ‎∴an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 由sk=189得k2﹣12k=189，‎ 解得k=21，k=﹣9（舍），‎ ‎∴k=21．‎ ‎　‎ ‎17．为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠‎ ABD=45°，∠DBC=75°，同时测得海里．‎ ‎（1）求AD的长度；‎ ‎（2）求C，D之间的距离．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）先求得∠BAD=75°，可得∠ADB=60°，利用条件以及正弦定理求得AD的值．‎ ‎（2）先求得BC、AB的值，可得△ABC为等腰三角形，可得AC的值，在△ACD中，由余弦定理求得CD的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，在△ABD中，‎ ‎∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°，‎ ‎∴∠ADB=60°，‎ 由正弦定理可得，，．‎ ‎（2）∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+75°=120°，∠BAC=∠BCA=30°，‎ ‎∴，∴AC=3．‎ 在△ACD中，由余弦定理得，CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠DAC=5，‎ 即（海里）…‎ 答：，C，D间的距离为海里．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=．‎ ‎（1）若b=sinB，求a；‎ ‎（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：3sinCcosA=2sinC，结合sinC≠0，可求cosA=，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，结合已知，利用正弦定理可得a的值．‎ ‎（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=3，进而利用余弦定理即可解得b+c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵=．‎ ‎∴由正弦定理可得：，整理可得：3sinCcosA=2sin（A+B）=2sinC，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=，可得：sinA==，‎ ‎∵b=sinB，‎ ‎∴由正弦定理可得：a===．‎ ‎（2）∵sinA=，△ABC的面积为=bcsinA=×bc，‎ ‎∴bc=3，‎ ‎∵a=，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理可得：6=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣10，‎ ‎∴b+c=4．‎ ‎　‎ ‎19．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．‎ ‎（1）求cos（α+）的值；‎ ‎（2）求cos（2α+）的值．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】（1）利用两角和的正弦函数求出三角函数值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．‎ ‎（2）利用两角和与差的余弦函数以及二倍角公式化简求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）α∈（0，），满足sinα+cosα=．‎ 可得2（sinα+cosα）=．‎ 可得sin（α+）=．‎ ‎∴cos（α+）==．‎ ‎（2）由（1）可得cos2（α+）=1﹣2=，‎ sin2（α+）=2×=．‎ cos（2α+）=cos=cos2（α+）cos+sin2（α+）sin ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的各项为正数，其前n项和为Sn满足，设bn=10﹣an（n∈N）．‎ ‎（1）求证：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值．‎ ‎（3）设数列{bn}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）当n=1时，，解得a1=1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，由已知可得：an﹣an﹣1﹣2=0，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）bn=10﹣an=﹣2n+11，可得{bn}是等差数列，利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．‎ ‎（3）由（1）知．要使b1，b2，bm成等差数列，可得2b2=b1+bm，代入化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=1…‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，‎ ‎∵数列{an}的各项为正数，∴an+an﹣1＞0，an﹣an﹣1﹣2=0，‎ 所以{an}是等差数列，公差为2．‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（2）bn=10﹣an=﹣2n+11，b1=9，‎ ‎∵bn﹣bn﹣1=﹣2，∴{bn}是等差数列…‎ ‎∴，当n=5时，…‎ ‎（3）由（1）知．要使b1，b2，bm成等差数列，‎ ‎∴2b2=b1+bm，即，…．整理得，…1‎ 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．‎ 当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．‎ 故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．…‎