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  • 2021-06-11 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版 空间向量及其运算和空间位置关系学案

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第五节 空间向量及其运算和空间位置关系 突破点一 空间向量及其运算 ‎1.空间向量及其有关概念 ‎(1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎(2)空间向量中的有关定理 共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在唯一一个λ∈R,使a=λb 共面向量定理 若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=x a+y b 空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}使得p=x a+y b+z c ‎2.两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律:(λa)·b=λ(a·b);‎ ‎②交换律:a·b=b·a;‎ ‎③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.‎ ‎3.空间向量的运算及其坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3‎ 共线 a=λb(b≠0)‎ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3‎ 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0)‎ a1b1+a2b2+a3b3=0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a,b〉(a≠0,b≠0)‎ cos〈a,b〉= 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.(  )‎ ‎(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.(  )‎ ‎(3)空间中任意两非零向量a,b共面.(  )‎ ‎(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).(  )‎ ‎(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.(  )‎ ‎(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×‎ 二、填空题 ‎1.如图,已知空间四边形ABCD,则++等于________.‎ 答案: ‎2.已知i,j,k为标准正交基底,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为________.‎ 答案:1‎ ‎3.若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=________,q=________.‎ 答案:3 2‎ ‎4.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k=________.‎ 答案:7‎ 考法一 空间向量的线性运算 ‎ ‎[例1] 已知四边形ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点,求下列各题中x,y的值:‎ ‎(1)=+x+y;‎ ‎(2)=x+y+.‎ ‎[解] (1)如图,∵=-=-(+)=--,∴x=y=-.‎ ‎(2)∵+=2,‎ ‎∴=2-.‎ 又∵+=2,∴=2-.‎ 从而有=2-(2-)=2-2+.‎ ‎∴x=2,y=-2.‎ ‎[方法技巧]‎ 用已知向量表示某一向量的3个关键点 ‎(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.‎ ‎(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.‎ ‎(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.  ‎ 考法二 共线、共面向量定理的应用 ‎ ‎[例2] 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法求证:‎ ‎(1)E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[证明] (1)如图,连接BG,则=+=+(+)=++=+,‎ 由共面向量定理知:E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)因为=-=-=(-)=,‎ 因为E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1.证明空间三点P,A,B共线的方法 ‎(1)=λ(λ∈R);‎ ‎(2)对空间任一点O,=+t (t∈R);‎ ‎(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).‎ ‎2.证明空间四点P,M,A,B共面的方法 ‎(1)=x+y;‎ ‎(2)对空间任一点O,=+x+y;‎ ‎(3)对空间任一点O,=x+y+z (x+y+z=1);‎ ‎(4) ∥ (或∥或∥).  ‎ 考法三 空间向量数量积的应用 ‎ ‎[例3] 如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点.若正方体的棱长为1.求cos〈,〉.‎ ‎[解] ∵||====||,‎ ‎∴·=||||cos〈,〉=cos〈,〉.‎ 又∵=+,=+,‎ ‎∴·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+·=||||=1×=.‎ ‎∴cos〈,〉=.‎ ‎[方法技巧]  空间向量数量积的3个应用 求夹角 设向量a,b所成的角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角 求长度 运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 ‎1.已知三棱锥OABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于(  )‎ A.(b+c-a)      B.(a+b+c)‎ C.(a-b+c) D.(c-a-b)‎ 解析:选D =++=++=(-)++=--+=(c-a-b).‎ ‎2.O为空间任意一点,若=++, 则A,B,C,P四点(  )‎ A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断 解析:选B 因为=++,且++=1.所以P,A,B,C 四点共面.‎ ‎3.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且 ∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为________.‎ 解析:设=a,=b,=c,‎ 由已知条件,得〈a,b〉=〈a,c〉=,‎ 且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b ‎=|a||c|-|a||b|=0,‎ ‎∴⊥,∴cos〈,〉=0.‎ 答案:0‎ 突破点二 利用空间向量证明平行与垂直 ‎1.两个重要向量 直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个 平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量 ‎2.空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 线线平行 l∥m⇔a=kb(k∈R)‎ 线面平行 l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1=0‎ 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔n1=kn2(k∈R)‎ 线线垂直 l⊥m⇔a·b=0‎ 线面垂直 l⊥α⇔a∥n1⇔a=kn1(k∈R)‎ 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0‎ 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)直线的方向向量是唯一确定的.(  )‎ ‎(2)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是 n0=±.(  )‎ ‎(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是平行.(  )‎ ‎(4)若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ 二、填空题 ‎1.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=________,y=________.‎ 答案:-14 6‎ ‎2.若平面α的一个法向量为n1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为n2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=________.‎ 答案:-3‎ ‎3.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-3,0,-6),则l与α的位置关系是________.‎ 答案:l⊥α 考法一 向量法证明平行与垂直关系 ‎ ‎[例1] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.‎ ‎(1)证明:PA∥平面EDB;‎ ‎(2)证明:PB⊥平面EFD.‎ 证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,‎ 设DC=a.‎ ‎(1)连接AC交BD于G,连接EG.‎ 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,‎ ‎∴G是此正方形的中心.‎ 故点G的坐标为,‎ 且=(a,0,-a),=,‎ ‎∴=2,∴PA∥EG.‎ 又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,‎ ‎∴PA∥平面EDB.‎ ‎(2)依题意得B(a,a,0),=(a,a,-a),=,‎ 故·=0+-=0,∴PB⊥DE,‎ 又∵EF⊥PB,且EF∩DE=E,‎ ‎∴PB⊥平面EFD.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1.利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ‎①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;‎ ‎②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ‎①证明两平面的法向量为共线向量;‎ ‎②转化为线面平行、线线平行问题 ‎2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示 ‎[提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.‎ ‎[针对训练]‎ 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:‎ ‎(1)FC1∥平面ADE;‎ ‎(2)平面ADE∥平面B1C1F.‎ 证明:建立空间直角坐标系如图,‎ 则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),‎ 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).‎ ‎(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,‎ 则即得 令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).‎ 因为·n1=-2+2=0,所以⊥n,‎ 又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.‎ ‎(2)∵=(2,0,0),‎ 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,‎ 由得得 令z2=2,得y2=-1,‎ 所以n2 =(0,-1,2),因为n1=n2,‎ 所以平面ADE∥平面B1C1F.‎ 考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题 ‎[例2] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.‎ ‎[解] 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,‎ 则A1(0,0,1),B(1,0,0),B1(1,0,1),E,=(-1,0,1),=.‎ 设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,‎ 则由得 所以x=z,y=z.‎ 取z=2,得n=(2,1,2).‎ 设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件,又因为B1(1,0,1),‎ 所以=(t-1,1,0).‎ 而B1F⊄平面A1BE,‎ 于是B1F∥平面A1BE⇔·n=0⇔(t-1,1,0)·(2,1,2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F∥平面A1BE.‎ ‎[方法技巧]‎ 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 ‎(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示.‎ ‎(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.   ‎ ‎[针对训练]‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中点,则在线段CC1上是否存在一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE?证明你的结论.‎ 解:存在点P,当点P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下:‎ 如图,以D点为原点,建立空间直角坐标系.‎ 设正方体的棱长为1,P(0,1,a)(0≤a≤1),‎ 则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),‎ ‎∴=(0,1,0),=(-1,1,a-1),‎ =,=(0,1,1).‎ 设平面A1B1P的一个法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 则∴ 令z1=1,则x1=a-1,‎ ‎∴n1=(a-1,0,1).‎ 设平面C1DE的一个法向量n2=(x2,y2,z2),‎ 则∴ 令y2=1,得x2=-2,z2=-1,‎ ‎∴n2=(-2,1,-1).‎ 若平面A1B1P⊥平面C1DE,‎ 则n1·n2=0,∴-2(a-1)-1=0,解得a=.‎ ‎∴当P为C1C的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.‎

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