【数学】2020届一轮复习人教A版　空间向量及其运算和空间位置关系学案 10页

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系 突破点一　空间向量及其运算 ‎1．空间向量及其有关概念 ‎(1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎(2)空间向量中的有关定理 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c ‎2.两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ ‎(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　)‎ ‎(3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)‎ ‎(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)‎ ‎(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×‎ 二、填空题 ‎1．如图，已知空间四边形ABCD，则＋＋等于________．‎ 答案： ‎2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．‎ 答案：1‎ ‎3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.‎ 答案：3　2‎ ‎4．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.‎ 答案：7‎ 考法一　空间向量的线性运算　‎ ‎[例1]　已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：‎ ‎(1)＝＋x＋y；‎ ‎(2)＝x＋y＋.‎ ‎[解]　(1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.‎ ‎(2)∵＋＝2，‎ ‎∴＝2－.‎ 又∵＋＝2，∴＝2－.‎ 从而有＝2－(2－)＝2－2＋.‎ ‎∴x＝2，y＝－2.‎ ‎[方法技巧]‎ 用已知向量表示某一向量的3个关键点 ‎(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．‎ ‎(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．‎ ‎(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　　‎ 考法二　共线、共面向量定理的应用　‎ ‎[例2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[证明]　(1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，‎ 由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－＝－＝(－)＝，‎ 因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎(1)＝λ(λ∈R)；‎ ‎(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；‎ ‎(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．‎ ‎2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎(1)＝x＋y；‎ ‎(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；‎ ‎(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；‎ ‎(4) ∥ (或∥或∥)．　　‎ 考法三　空间向量数量积的应用　‎ ‎[例3]　如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈，〉．‎ ‎[解]　∵||＝＝＝＝||，‎ ‎∴·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉．‎ 又∵＝＋，＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋·＝||||＝1×＝.‎ ‎∴cos〈，〉＝.‎ ‎[方法技巧]　　空间向量数量积的3个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 ‎1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)‎ A.(b＋c－a)　　　　　 B.(a＋b＋c)‎ C.(a－b＋c) D.(c－a－b)‎ 解析：选D　＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)．‎ ‎2.O为空间任意一点，若＝＋＋， 则A，B，C，P四点(　　)‎ A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 解析：选B　因为＝＋＋，且＋＋＝1.所以P，A，B，C 四点共面．‎ ‎3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且 ∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．‎ 解析：设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，‎ 且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ‎＝|a||c|－|a||b|＝0，‎ ‎∴⊥，∴cos〈，〉＝0.‎ 答案：0‎ 突破点二　利用空间向量证明平行与垂直 ‎1．两个重要向量 直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 ‎2．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l∥m⇔a＝kb(k∈R)‎ 线面平行 l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0‎ 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)‎ 线线垂直 l⊥m⇔a·b＝0‎ 线面垂直 l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)‎ 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　)‎ ‎(2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是 n0=±.(　　)‎ ‎(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)‎ ‎(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、填空题 ‎1．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.‎ 答案：－14　6‎ ‎2．若平面α的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.‎ 答案：－3‎ ‎3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－3,0，－6)，则l与α的位置关系是________．‎ 答案：l⊥α 考法一　向量法证明平行与垂直关系　‎ ‎[例1]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.‎ ‎(1)证明：PA∥平面EDB；‎ ‎(2)证明：PB⊥平面EFD.‎ 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，‎ 设DC＝a.‎ ‎(1)连接AC交BD于G，连接EG.‎ 依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.‎ ‎∵底面ABCD是正方形，‎ ‎∴G是此正方形的中心．‎ 故点G的坐标为，‎ 且＝(a,0，－a)，＝，‎ ‎∴＝2，∴PA∥EG.‎ 又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，‎ ‎∴PA∥平面EDB.‎ ‎(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，‎ 故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，‎ 又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，‎ ‎∴PB⊥平面EFD.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ‎①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；‎ ‎②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ‎①证明两平面的法向量为共线向量；‎ ‎②转化为线面平行、线线平行问题 ‎2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 ‎[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．‎ ‎[针对训练]‎ 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：‎ ‎(1)FC1∥平面ADE；‎ ‎(2)平面ADE∥平面B1C1F.‎ 证明：建立空间直角坐标系如图，‎ 则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，‎ 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．‎ ‎(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，‎ 则即得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．‎ 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n，‎ 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.‎ ‎(2)∵＝(2,0,0)，‎ 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，‎ 由得得 令z2＝2，得y2＝－1，‎ 所以n2 ＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，‎ 所以平面ADE∥平面B1C1F.‎ 考法二　向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题 ‎[例2]　如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．‎ ‎[解]　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，‎ 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝.‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，‎ 则由得 所以x＝z，y＝z.‎ 取z＝2，得n＝(2,1,2)．‎ 设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，‎ 所以＝(t－1,1,0)．‎ 而B1F⊄平面A1BE，‎ 于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.‎ ‎[方法技巧]‎ 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 ‎(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．‎ ‎(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 ‎ ‎[针对训练]‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则在线段CC1上是否存在一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？证明你的结论．‎ 解：存在点P，当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下：‎ 如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，P(0,1，a)(0≤a≤1)，‎ 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，‎ ‎∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，‎ ＝，＝(0,1,1)．‎ 设平面A1B1P的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则∴ 令z1＝1，则x1＝a－1，‎ ‎∴n1＝(a－1,0,1)．‎ 设平面C1DE的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则∴ 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，‎ ‎∴n2＝(－2,1，－1)．‎ 若平面A1B1P⊥平面C1DE，‎ 则n1·n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝.‎ ‎∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.‎