2017-2018学年江西省吉安市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版 17页

绝密★启用前 江西省吉安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出集合，，即可得到.‎ 详解： ‎ ‎ ‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查交集的运算，属基础题.‎ ‎2．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．‎ 详解：若 则 ，故是纯虚数，是充分条件， 反之，若是纯虚数， 则一定是，是必要条件， 故选：C．‎ 点睛：本题考查了充分必要条件，考查纯虚数的定义，是一道基础题．‎ ‎3．命题“，”的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．‎ 详解：由命题“，”，其否定为：， .‎ 故选C.‎ 点睛：本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内的条件可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分析程序，可知该程序的作用是输出满足条件时的值，填出最后一次循环时判断框中的条件即可．‎ 详解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是输出满足条件时的值， ， 故最后一次进行循环时的值为6， 故判断框中的条件应为． 故选：B．‎ 点睛：本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．‎ ‎5．正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 大前提、小前提、结论都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案.‎ 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；‎ 小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，，故错误.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.‎ ‎6．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据指数函数与对数函数的运算性质，即可判断，，的大小关系．‎ 详解：由题 ， ‎ 故. .‎ 选D.‎ 点睛：本题考查了指数函数与对数函数的运算性质应用问题，是基础题．‎ ‎7．某射手射击一次命中的概率为，连续两次射击均命中的概率是，已知该射击手某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：某次射中，设随后一次射中的概率为，利用相互独立事件概率乘法公式能求出的值．‎ 详解：某次射中，设随后一次射中的概率为 ， ∵某射击手射击一次命中的概率为0.8，连续两次均射中的概率是0.5， 解得 ‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查概率的求法，涉及到相互独立事件概率乘法公式的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．‎ ‎8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意知在上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分 和两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．‎ 详解：∵函数的定义域为， ∴在上恒成立， ①当时，有 在上恒成立，故符合条件； ②当时，由 ，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选B.‎ 点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解．‎ ‎9．曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令，对函数进行二次拟合得出a，b的值，代入计算即可.‎ 详解：令 ‎，解得，‎ ‎ ，开口向上，‎ ‎ 的单调递增区间为.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.‎ ‎10．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：显然该函数在定义域内是减函数，所以至多有一个零点，利用零点存在性定理判断即可．‎ 详解：显然函数在定义域内单调递减，故该函数至多有一个零点． 因为 ‎ 故．故零点所在的大致区间为．‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查了利用函数的单调性研究函数零点个数问题．要注意估算在本题中的应用．‎ ‎11．定义在上的函数满足，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，可得，得是最小正周期为4‎ 的周期函数．由此可求的值.‎ 详解：可得是最小正周期为4的周期函数．则，‎ ‎ ‎ 故选C.‎ 点睛：本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．‎ ‎12．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：函数在上单调递增，所以的值域为，‎ 对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．‎ 详解：函数在上单调递增，所以的值域为，‎ 当 时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得 ‎ 当 时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得 ‎ 当时，为常数函数，值域为 ，不符合题意；‎ 综上，实数的取值范围为.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若复数满足，则的虚部为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．‎ 详解：复数满足，则 故的虚部为.‎ 点睛：题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据圆的极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得圆心坐标，把点转化成直角坐标，最后利用两点间的距离公式求得答案.‎ 详解： ，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 圆心为，点的直角坐标为，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎15．若点在曲线（为参数，）上，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由（为参数，）可得：．因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围．利用点到直线的距离公式即可得出．‎ 详解：由（为参数，）可得：．因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围． 设过点的直线方程为：，化为， ‎ 解得 ． 解得 ． ∴的最小值是． 故答案为：．‎ 点睛：本题考查了圆的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．‎ ‎【答案】9999‎ ‎【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.‎ 详解：，，，，‎ 按照以上规律，可得.‎ 故答案为：9999.‎ 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知集合，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】分析：（1）分别求出与中不等式的解集，确定出与，求出A与的交集即可；‎ ‎（2）分，以及三种情况，分别求出集合中不等式的解集，根据为与交集的子集判断即可确定出的范围．‎ 详解：‎ ‎（1）∵，，∴.‎ ‎（2）①当时，，符合，‎ ‎②当时，，∵，∴，解得，‎ ‎③当时，，此时，不成立.‎ 综上，或.‎ 点睛：此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎18．为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查，调查结果如下：‎ 支持 反对 合计 男性 女性 合计 ‎（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；‎ ‎（2）现从参与调查的女户主中按分层抽样的方法抽取人进行调查，分别求出所抽取的人中持“支持”和“反对”态度的人数；‎ ‎（3）现从（2）中所抽取的人中，再随机抽取人赠送小礼品，求恰好抽到人持“支持”态度的概率？‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关；（2）持 “支持”态度的有3人，“反对”态度的有2人；（3）．‎ ‎【解析】分析：（1）利用列联表，计算，对照数表得出概率结论； （2）利用分层抽样原理计算所抽取的6人中女户主持 “支持”态度和持反对态度的的人数； （3）利用组合知识计算基本事件数，求出对应的概率值．‎ 详解：‎ ‎（1），‎ ‎∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.‎ ‎（2）抽取的名女户主中，持 “支持”态度的有人，‎ 持反对态度的有人.‎ ‎（3）.‎ 点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题、求古典概型的概率问题，是中档题．‎ ‎19．证明下列不等式.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）设，，若，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】分析：（1）利用分析法进行证明；‎ ‎（2）利用常数代换法应用基本不等式即可证明.‎ 详解：证明：（1）要证；即证，‎ 只要证，只要证，‎ 只要证，由于，只要证，‎ 最后一个不等式显然成立，所以； ‎ ‎（2）因为，，，所以，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，所以.‎ 点睛：利用分析法证明时应注意的问题 ‎(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．‎ ‎(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．‎ ‎20．对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.‎ ‎（1）当，时，求的不动点；‎ ‎（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）把的值代入方程解出即可；‎ ‎（2）由二次函数的性质，得不等式组，解出即可．‎ 详解：‎ ‎∵，‎ ‎（1）当，时，.‎ 设为其不动点，即.‎ 则.∴，，‎ ‎∴不动点是，.‎ ‎（2）由得：.由已知，此方程有两相异实根，恒成立，‎ 即.‎ 也即对任意恒成立.‎ ‎∴，即，整理得，‎ 解得：.‎ 点睛：本题考查了二次函数的性质，考查了新定义问题，考查了转化思想，是一道中档题．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；‎ ‎（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到的取值范围.‎ 详解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴当时，恒成立，∴，‎ ‎∴对一切均有成立，‎ 又，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点 为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去t即可；曲线的极坐标方程为，利用直角坐标与极坐标之间的互化公式即可；‎ ‎（2）转换成直角坐标去进行求解.‎ 详解：（1）因为直线的参数方程为，得，‎ 故直线的普通方程为，‎ 又曲线的极坐标方程为，即，‎ 因为，，∴，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.‎ 将，代入中得，，，‎ ‎ ，‎ ‎∴的面积.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）当时，将要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；‎ ‎（2）由题意得当时，恒成立，化简可得，即，由此求得a的取值范围.‎ 详解：（1）当时，可化为：，‎ ‎①当时，不等式为：，解得：，故，‎ ‎②当时，不等式为：，解得：，故，‎ ‎③当时，不等式为：，解得：，故.‎ 综上，原不等式的解集为：.‎ ‎（2）∵的解集包含，∴在内恒成立，‎ ‎∴在内恒成立，‎ ‎∴在内恒成立，‎ ‎∴，解得，即的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题.‎