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- 2021-06-11 发布
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衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试试卷
文科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.设集合， ，则（ ）
A. {－1} B.{0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3.等差数列的前项和为，，且，则的公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.要想得到函数的图象，只需将的图像( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
5.若正方形的边长为1，则在正方形内任取一点，该点到点的距离小于1的概率为（ ）
A． B． C. D．
6.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[，+∞）
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
9.函数的部分图象大致为（ ）
10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）
(参考数据：)
A． B． C． D．
11.若存在(x,y)满足，且使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )
A. (－∞,0)∪[，+∞) B. [，+∞) C. (－∞,0) D. (0,]
12.已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[15，+∞） B． C．[1，+∞） D．[6，+∞）
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知向量，.若，则 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为 ．
15.长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为 .
16.若函数，且在实数上有三个不同的零点，则实数__________．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分12分）
已知数列的首项为，且 .
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）
如图，正三棱柱中，为的中点.
（1）求证：；
（2）若点为四边形内部及其边界上的点，且三棱锥的体积为三棱柱体积的，试在图中画出点的轨迹，并说明理由.
19.（本题满分12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3
）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20.（本题满分12分）
在直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率存在，纵截距为的直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率均存在，求证：直线的斜率依次成等差数列．
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.
选考题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分
22.（选修4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线 ： .
（1）当 时，求 与 的交点的极坐标；
（2）直线 与曲线 交于 ， 两点，且两点对应的参数 ， 互为相反数，求 的值.
23.（选修4-5.不等式选讲）
已知函数，其中为实数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试文科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
A
A
A
C
D
C
B
A
13.2
14.﹣1
15.4或
16.
17.
.（Ⅰ）
∵（2分）
则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
，即.（6分）
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，，.（7分）
，（8分）
，（9分）
，（11分）
则.（12分）
18.
解法一：（1）证明：取的中点，连接，
∵平面，平面，
∴所以．
∵为正三角形，为的中点，
∴，
又∵平面，，
∴平面，
又∵平面，所以
正方形中，∵，∴，
又∵，
∴，故，
又∵，平面，
∴平面，
又∵平面，∴．（6分）
（Ⅱ）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．（8分）
理由如下
:
∵，平面，平面，
∴平面，
∴到平面的距离为．
所以．（12分）
解法二：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，
正三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
因为为正三角形，为的中点，
所以，从而平面，所以．
正方形中，因为，所以，
又因为，
所以，故，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以．（6分）
（2）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．（8分）
理由如下．
设三棱锥的高为，
依题意
故．
因为分别为中点，故，又因为平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离为．（12分）
19.
（1）
（3分）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（6分）
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
．（8分）
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．（10分）
估计使用节水龙头后，一年可节省水．（12分）
20.
（1）由知 …………………4分
（2）设，代入知
设，则， ………………7分
∴直线的斜率依次成等差数列。 ………………12分
21.
（Ⅰ）依题意，，所以，
因为与直线：垂直，得，解得．（5分）
（Ⅱ）因为．
当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，无递减区间；（7分）
当时，由，，解得；（8分）
由，，解得；
由，，解得；
此时的单调递增区间为，的单调递减区间为．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．（9分）
若存在极值点，由函数的单调性知，且；
由，解得．（11分）
所以所求实数的取值范围为．（12分）
22.
解法一：（Ⅰ）由，可得，
所以，即，
当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，
联立解得交点为或，
化为极坐标为，（5分）
（2）由已知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中
点，曲线是以为圆心，半径的圆，且，
由垂径定理知：．（10分）
解法二：（1）依题意可知，直线的极坐标方程为，
当时，联立 解得交点，
当时，经检验满足两方程，
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，．（5分）
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以．（10分）
23.
（1）时，，
故，即不等式的解集是；（5分）
（2）时，，
当时，，显然满足条件，此时为任意值；
当时，；
当时，可得或，求得；
综上，.（10分）
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