重庆铜梁县第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 9页

2020 届高三（上）半期考试 （理科）数学试题 考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.若集合 A= ，B={ ︳ }，则 =( ) A. B. C. D. 2.若 ，则 是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知命题 P： 。则 P 是（ ） A. B. C. D. 4．函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 5.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6.函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7.已知 ，则 的值等于 A. B. C. D. 8.已知 ，且 ，则实数 的值为（ ） {0,1,2,3} x 2 1,x m m A= − ∈ A B {0,3} {1,3} {0,1} {3} sin 0, sin 2 0α α> < α , sin 1 0xx R e x∃ ∈ − + < ¬ , sin 1 0xx R e x∃ ∈ − + ≥ , sin 1 0xx R e x∀ ∈ − + < , sin 1 0xx R e x∀ ∈ − + ≥ , sin 1 0xx R e x∃ ∈ − + ≤ 3( ) 2 2 log ( 1)xf x x= − + + [ 1,1]− [ 1,1)− ( 1,1]− ( 1,1)− 4tan( ) 3 0α π+ − = cos2α 7 25 7 25 − 9 25 9 25 − 3log 2 ( 0) ( ) 5 ( 0)x x x f x m x − >=  − ≤ 0m < 1 12 m< < 10 2m< < 0 1m m≤ >或 1sin( )12 4 πα + = 17cos( )12 πα − 1 4 1 4 − 15 4 15 4 − 3 4x y k= = 2 1 2x y + = k A. 12 B. C. D. 6 9.设实数 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.设有限集合 A= ，则称 为集合 A 的和。若集合 M={ ︳ }, 集 合 M 的 所 有 非 空 子 集 分 别 记 为 ， 则 =（ ） A. 540 B. 480 C. 320 D. 280 11.设 ， ，且 ，则下列式子中为定值的是（ ） A. B. C. D. 12. 已 知 函 数 ， 若 且 ，则 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。只要求将最终结果直接填写在答题 卡相应的横线上） 13.已知 ，则 14.奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且 ，则 15. 已 知 函 数 是 偶 函 数 ， 且 对 任 意 ， 都 有 成立，则 的最小值是 16.已知函数 ，且 是函数 的极值点。给出以下几个结论： ① ② ③ ④ 其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号）。 三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分。解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算 2 3 3 2 ln 7 ln3a = − 0.22.1b = 1 6 4log 9c = , ,a b c b a c> > c b a> > b c a> > a b c> > 1 2 3{ , , , }na a a a 1 2 3A nS a a a a= + + + + x 2 , , 6x t t N t∗= ∈ < 1 2 3, , , kP P P P 1 2 3 kP P P PS S S S+ + + + (0, )2 πα ∈ ( ,0)2 πβ ∈ − cos tan (1 sin )β α β= − β α+ 2α β− 2α β− 2α β+ ( ) log 2 ( 0, 1)mf x x m m= − > ≠ a b c d> > > ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = 1 1 1 1 1 1 1 1a b c d + + +− − − − 4m 2( 1) lg 2f x xx + = − (3)f = ( )f x ( 1)f x − (1) 3f = (19) (20)f f+ = ( ) sin( ) ( 0, 0)f x A x Aω ϕ ω= + > > x R∈ 2( ) ( )3f x f π≥ ω 2( ) lnf x x x x x= + − 0x ( )f x 00 1ex< < 0 01 2ex x> > 0 0( ) 0f x x+ < 0 0 1( ) 04f x x+ + > 步骤） 17. （本小题满分 12 分（1）问 4 分，（2）问 8 分） 现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的 促进国家、地区、单位的发展。某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置 一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰。三 轮的项目问题都正确解决者即被录用。已知 A 选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的 概率分别为 、 、 ，且各项目问题能否正确解决互不影响。 （1）求 A 选手被淘汰的概率； （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为 ，求 的分布列与数学期望。 18. （本小题满分 12 分（1）问 6 分，（2）问 6 分） 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合。 （1）若角 的终边所在的方程为 ，求 的值； （2）若角 的终边经过点 P（ ） ，且 ，求 的最大值。 19. （本小题满分 12 分（1）问 6 分，（2）问 6 分） 已知二次函数 满足 的解集为 ，且在区间 的最小值为—6。 （1）求 的解析式； （2）求函数 的极值。 4 5 2 3 1 2 ξ ξ α x α 2 ( 0)y x x= − ≤ 5 cos 2tanα α− α sin ,cos5 5 π π− 0α < α ( )f x ( ) 0f x ≤ [ 3,1]− [0,2] ( )f x ( ) ( ) xg x f x xe= − 20. （本小题满分 12 分（1）问 6 分，（2）问 6 分） 已知直线 分别是函数 与 图像的 对称轴。 （1）求 的值； （2）若关于 的方程 在区间 上有两解，求实数 的取值范围。 21. （本小题满分 12 分（1）问 6 分，（2）问 6 分） 已知 ，函数 ， 。 （1）求 在区间 的最大值 ； （2）若关于 不等式 在 恒成立，求证： 。 选做题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22.（本小题满分 10 分，（1）小 问 5 分，（2）小 问 5 分） 选修 4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 中，以原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）；曲线 是过点 Q（1，0），斜率为 2 的直线， 且与曲线 相交于 A、B 两点。 （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的参数方程； 1 2,x x x x= = ( ) 2sin(2 )6f x x π= − 3( ) sin(2 )2g x x π= + 1 2( )f x x+ x ( ) ( ) 1g x f x m= + − [0, ]3 π m 0a > ( ) ln 2 1f x x x x a= − + + − ( ) ( 2)g x a x b= − + 7( ) ( ) ( 1)ln 3h x f x x x x= + + − [ , 2]a a + ( )M a x ( ) ( )f x g x≤ (0, )x∈ +∞ 4 5 b a > xOy x 1C 3sin 2cos x y α α =  = α 2C 1C 1C 2C （2）求 的值。 23.（本小题满分 10 分，（1）小 问 5 分，（2）小 问 5 分） 选修 4—5：不等式选讲 已知函数 （1）求不等式 的解集； （2）已知 是函数 的最小值，若正数 满足 ， 求证： 2 2QA QB+ ( ) 2 1 3f x x x= + + − ( ) 2 6f x x≤ − m ( )f x ,a b 2a b m+ = 2 2 7b a a b + ≥ 重庆市 2020 届高三（上）半期考试 （理科）数学试题 答案 一、 选择题 1----6 B B C C A A 7----12 B D A B C A 二、填空题 13 —2 14 —3 15 16 ② ③ ④ 三、解答题： 17 题（1）所求概率 。 （2）由题知： 可取值为 0,1,2,3 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 所以 18 题（1）在角 的终边取一点 ，则 ， 由三角函数的定义知 ， （2）由三角函数的定义知 或 又 ，所以 得最大值为 。 19 题（1）由题可设 ， 在区间 单调递增， 。 （2） ， 3 2 4 2 1 111 5 3 2 15P = − ⋅ ⋅ = ξ 4 1( 0) 1 5 5P ξ = = − = 4 2 4( 1) (1 )5 3 15P ξ = = − = 4 2 1 4( 2) (1 )5 3 2 15P ξ = = ⋅ − = 4 2 1 4( 3) 5 3 2 15P ξ = = ⋅ ⋅ = ξ ξ 1 5 4 15 4 15 4 15 8( ) 5E ξ = α ( 1,2)Q − 5r OQ= = 1cos ,tan 2 5 α α= − = − 5 cos 2tan 1 4 3α α∴ − = − + = 3sin cos sin( ) sin5 2 5 10 π π π πα = = − = 3 210 k πα π∴ = + 3 72 2 ( )10 10k k k Z π πα π π π= − + = + ∈ 0α < α 13 10 π− ( ) ( 3)( 1) ( 0)f x a x x a= + − > 2( ) ( 2 3)f x a x x∴ = + − [ ]0,2 min( ) (0) 3 ,f x f a∴ = = − 3 6, 2a a∴− = − ∴ = 2( ) 2 4 6f x x x∴ = + − 2( ) 2 4 6 xg x x x xe= + − − ( ) 4 4 ( 1) ( 1)(4 )x xg x x x e x e′∴ = + − + = + − 由 或 ，由 ， 在 单减，在 单增， 单减， ， 。 20 题（1）由题知： ， ， ， 。 （2）由 +1—m ， ， 在 上有两个不同实数解， ， 。 21 题（1） = ，由 ，由 在（0,3）上递增，在 单减， ① 当 即 时， 在 上递增， ② 当 即 时， 在 上递增，在 单减， ③ 当 时， 在 上单减， ( ) 0 1g x x′ < ⇒ < − ln 4x > ( ) 0 1 ln 4g x x′ > ⇒ − < < ( )g x∴ ( , 1)−∞ − ( 1,ln 4)− (ln 4, )+∞ 1( ) ( 1) 8g x g e ∴ = − = −极小 2( ) (ln 4) 2(ln 4) 6g x g∴ = = −极大 1 1 2 2 1 2 32 , 2 , ( , )6 2 2 2x k x k k Z k Z π π π ππ π− = + + = + ∈ ∈ 1 2 1 22( ) ( ) 3x x k k ππ∴ + = + − 1 2 1 2 1 2( ) 2sin ( ) 2cos( )3 6f x x k k k k π ππ π ∴ + = + − − = − +   1 2k k Z+ ∈ 1 2( ) 2f x x∴ + = ± ( ) ( ) 1g x f x m= + − 3sin(2 )2x π⇒ + 2sin(2 )6x π= − 3sin 2 1m x⇒ = + 20, , 2 0,3 3x x π π   ∈ ∴ ∈       ( ) ( ) 1g x f x m= + − 0, 3 π     3 sin 2 12 x∴ ≤ < 5 sin 2 3 12 x∴ ≤ < + 7( ) ( ) ( 1)ln 3h x f x x x x= + + − 1ln 13x x a− + − 1 1 3( ) ( 0)3 3 xh x xx x −′∴ = − = > ( ) 0 0 3h x x′ > ⇒ < < ( ) 0 3h x x′ < ⇒ > ( )h x∴ (3, )+∞ 2 3a + < 0 1a< < ( )h x [ , 2]a a + 2 5( ) ( 2) ln( 2) 3 3m a h a a a∴ = + = + + − 3 2a a≤ ≤ + 1 3a≤ ≤ ( )h x [ ,3]a [3, 2]a + ( ) (3) ln3 2m a h a∴ = = + − 3a > ( )h x [ , 2]a a + 2( ) ( ) ln 13m a h a a a∴ = = + − 综上： （2）由 在 恒成立， 令 ， 在 上单减， 由 ，所以 在（0, ）上递增，在 单减， ， ，令 ， 在在 上递增，令 ，且 在（0,t）上递减， 在 单增，所以 。 又 ， ， ， ，又 22 题（1）由 ，所以曲线 的极坐标方程为： 曲线 的参数方程为： ( 为参数) （2）将 代入 中得 ， 设 A、B 两点对应的参数分别为 ，则 ， 。 23 题（1）由 ，所以原不等式的解集为 。 2 5ln( 2) (0 1)3 3 ( ) ln3 2 (1 3) 2ln 1 ( 3)3 a a a m a a a a a a  + + − < < ∴ = + − ≤ ≤   + − >  ( ) ( )f x g x≤ ln 4 1b x x ax x a⇒ ≥ − − + + − (0, )x∈ +∞ ( ) ln 4 1p x x x ax x a= − − + + − ( ) ln 3p x x a′ = − − + (0, )+∞ 3( ) 0 ap x x e −′ = ⇒ = ( )p x 3 ae − 3( , )ae − +∞ 3 3 max( ) ( ) 1a ap x p e e a− −∴ = = + − 3 1ab e a−∴ ≥ + − 34 1 15 5 ab a e a−∴ − ≥ + − 3 1( ) 1 ( 0)5 aR a e a a−= + − > 3 1( ) 5 aR a e −′ = − + (0, )+∞ 3 1( ) 0 5 tR t e −′ = ⇒ = ( )R a ( , )t +∞ 3 1 1 4( ) ( ) 15 5 5 tR a R t e t t−≥ = + − = − 3 4 1 1 1(4) 05 5R e e −′ = − + = − < 3 5 2 1 1 1(5) 05 5R e e −′ = − + = − > 4 5t∴ < < 1 4( ) 05 5R a t≥ − > 4 40,5 5b a b a∴ − > ∴ > 40, 5 ba a > ∴ > 2 2 2 2 2 23sin 1 4 cos 9 sin 362cos 9 4 x x y y α ρ θ ρ θα = ⇒ + = ⇒ + = = 2 2(4 5sin ) 36θ ρ⇒ + = 1C 2 2 36 4 5sin ρ θ= + 2C 1 2 x t y t = +  = t 1 2 x t y t = +  = 2 2 19 4 x y+ = 2 24(1 ) 9(2 ) 36t t+ + = 25 4 0t t∴ + − = 1 2,t t 1 2 1 2 1 4,5 5t t t t+ = − ⋅ = − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 8 415 5 5 ( ) 2 5( )25 5 5QA QB t t t t t t ∴ + = + = + − = + =  2 2( ) 2 6 2 1 3 (2 1) ( 3)f x x x x x x≤ − ⇒ + ≤ − ⇒ + ≤ − 2 23 10 8 0 4 3x x x⇒ + − ≤ ⇒ − ≤ ≤ 24, 3  −   （2） 所以 在 单减，在 单增， ， ， 。 12 3 ( )2 1( ) 2 1 3 4 ( 3)2 3 2 ( 3) x x f x x x x x x x  − < − = + + − = + − ≤ ≤  − >   ( )f x 1( , )2 −∞ − 1( , )2 − +∞ 1 7( )2 2m f∴ = − = 2 2 27 , ( )( ) ( ) 49b aa b a b b aa b ∴ + = ∴ + + ≥ + = 2 2 7b a a b ∴ + ≥