专题3-4+利用导数研究函数的极值，最值（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 12页

‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 导数在研究函数中的应用 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极 小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题. ‎ ‎2013•浙江文科21，理科8，22；‎ ‎2014•浙江文科21，理科22；‎ ‎2017•浙江卷20..‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；‎ ‎3.适度关注生活中的优化问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．函数的极值 ‎ (1)函数的极小值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′ (x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2．函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ 对点练习：‎ ‎【2017北京，理19】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】全品教学网 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.全品教学网 ‎【考点深度剖析】‎ 导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【1-1】【2017河北武邑三调】已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调增区间.‎ ‎【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）当时，增区间，当时，增区间，当时，增区间.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域为，令 ，得(舍去). 然后列表可求得：函数的极小值为，无极大值；（2）令，得,然后利用分类讨论思想对分三种情况进行讨论.‎ 试题解析： （1） 函数的定义域为，令 ，得(舍去). 当变化时，的取值情况如下:‎ 减 极小值 增 所以，函数的极小值为，无极大值. ‎ ‎【1-2】【2016新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 所以 ‎（II）‎ 由（I）知， 单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数f(x)极值的步骤：‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的各极值与f (a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因,即,故题设,所以,由于,因此当时, 单调递增；当时, 单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.‎ ‎【变式二】已知函数,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因,即,由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,即,也即,所以.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ 易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．‎ 正确解析： (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝；‎ 当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.‎ ‎2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ ‎_____化整为零，积零为整——分类讨论思想 ‎1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．‎ ‎2.分类讨论思想的常见类型 ‎ ‎⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ‎ ‎⑵问题中的条件是分类给出的； ‎ ‎⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ‎ ‎⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.‎ ‎【典例】【2017浙江台州4月调研】已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx(a,b∈R)‎.‎ ‎（1）若函数f(x)‎在‎(0,2)‎上存在两个极值点，求‎3a+b的取值范围；‎ ‎（2）当a=0,b≥-1‎时，求证：对任意的实数x∈[0,2]‎，‎|f(x)|≤2b+‎‎8‎‎3‎恒成立.‎ ‎【答案】(1) ‎3a+b的取值范围‎(-8,0)‎;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）f‎'‎‎(x)=x‎2‎+ax+b=0‎在‎(0,2)‎上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组，‎{‎f(0)>0‎f(2)>0‎Δ>0‎‎0<-a‎2‎<2‎ ，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当a=0‎时，f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+bx，利用导数分b≥0‎和‎-1≤b<0‎两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明‎2b+‎8‎‎3‎≥‎‎|f(x)|‎max.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ f‎'‎‎(x)=x‎2‎+ax+b‎，由已知可得f‎'‎‎(x)=0‎在‎(0,2)‎上存在两个不同的零点，‎ 故有‎{‎f‎'‎‎(0)>0‎f‎'‎‎(2)>0‎Δ>0‎‎-a‎2‎∈(0,2)‎，即‎{‎b>0‎‎2a+b+4>0‎a‎2‎‎-4b>0‎a∈(-4,0)‎，‎ 令z=3a+b，由图可知‎-80,f(‎-b)=‎2‎‎3‎b‎-b<0‎，‎ 所以‎-b(‎-b+3)≤4‎成立.‎ 综上所述，对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+‎‎8‎‎3‎恒成立.‎ ‎ ‎