2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：8-1　空间几何体的三视图、表面积和体积（讲解部分） 26页

专题八　立体几何 8.1 　空间几何体的三视图、表面积和体积 高考理数 考点一    三视图与直观图 考点清单 考向基础 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 结构 特征 有两个面平行且全等,其余各个面都是四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面(底面)是多边 形,其余各面是有一个 公共顶点的三角形 有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定 相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 柱. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做 正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. (3)特殊的四棱柱:   (4)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的部分是棱台. 【知识拓展】 特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 平行、相等且垂 直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.旋转体的结构特征 注意　(1)球的截面是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r =   . 3.三视图和直观图 (1)三视图的定义 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线. 注意　画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.同 一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同. (2)三视图的长度特征 “长对正、宽相等、高平齐” ,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图 宽相等,正视图和侧视图高平齐. (3)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的注意点: a.斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”   “三不变”   b.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面 积的   . 考向突破 考向一    由空间几何体的直观图识别三视图 例1     (2018课标Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的 凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若 如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼 的木构件的俯视图可以是(　　)     解析 　本题考查空间几何体的三视图. 两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易 知俯视图可以为A中的图形.故选A. 答案     A 考向二    由空间几何体的三视图还原直观图 例2     (2018课标Ⅰ,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为   (　　) A.2   　　　　    B.2   　　　　    C.3　　　　    D.2 解析　 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题. 由圆柱的三视图及已知条件可知点 M 与点 N 的位置如图1所示,设 ME 与 FN 为圆柱的两条母线,沿 FN 将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接 MN , MN 即为 从 M 到 N 的最短路径,由题意知, ME =2, EN =4,∴ MN =   =2   .故选B.   图1 图 2 答案     B 考点二    空间几何体的表面积和体积 考向基础 1.旋转体的表面积 2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 注意　(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与 所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 圆柱(底面半径 为 r ,母线长为 l ) 圆锥(底面半径 为 r ,母线长为 l ) 圆台(上、下底面半径分别为 r '、 r ,母线长为 l ) 球(半径为 R ) 侧面积 S 侧 =2π rl S 侧 =π rl S 侧 =π( r ' l + rl ) 表面积 S 表 =2π r ( r + l ) S 表 =π r ( r + l ) S 表 =π( r ' 2 + r 2 + r ' l + rl ) S 表 = 4π R 2 柱体 V 柱体 = Sh , V 圆柱 =π r 2 h 锥体 V 锥体 =   Sh , V 圆锥 =   π r 2 h 台体 V 台体 =   ( S +   + S ') h , V 圆台 =   π( r 2 + rr '+ r ' 2 ) h 球 V 球 =   π R 3 ( R 为球的半径) 3.柱体、锥体、台体、球的体积 注意　(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已 知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性. 考向突破 考向一    空间几何体的表面积 例1    (2019安徽黄山二模,6)某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图 和俯视图均为边长是1的等腰直角三角形,则此空间几何体的表面积是(　　) A.   +   　　　　    B.1+   　　　　    C.   +   　　　　    D.   + 解析 　由题意可知几何体的直观图是如图所示正方体的一部分,即三棱锥 A - BCD ,正方体的棱长为1, 所以几何体的表面积为   ×   × 1+   × 1 × 1+   × (   ) 2 +   ×   × 1=   +   . 故选C.   答案     C 考向二    空间几何体的体积 例2     (2018河南顶级名校3月联考,10)某四棱锥的三视图如图所示,其中正 视图的轮廓是边长为2的正方形,侧视图的轮廓是底边长分别为2和1的直 角梯形,则该几何体的体积为   (　　)   A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　如图,在棱长为2的正方体中,点 A , B , C 为正方体的顶点,点 D , E 为所在 棱的中点,由三视图还原后的几何体为四棱锥 A - BCDE ,分析知四棱锥的侧 面 ABE ⊥底面 BCDE ,点 A 到直线 BE 的距离即为棱锥的高,易求得其为   , CD =   ,故四棱锥的体积 V =   × 2 ×   ×   =   ,故选A.   答案     A 方法1      空间几何体表面积和体积的求解方法 1.求空间几何体表面积的方法 (1)规则几何体的表面积可利用有关公式求解;(2)求多面体的表面积时把 各个面的面积相加即可;(3)求除球外的旋转体的表面积,可以从旋转体的 形成过程及其几何特征入手,确定它们的底面半径、母线长与对应侧面展 开图中的边长关系,进而求表面积;(4)求不规则几何体的表面积时,通常将 所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、 锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求几何体的表面积. 方法技巧 2. 求空间几何体体积的方法 (1) 求简单几何体的体积 , 若所给的几何体为柱体、锥体、台体或球 , 则可 以直接利用公式求解 . (2) 求组合体的体积 , 若所给的几何体是组合体 , 则不能直接利用公式求解 , 常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)三棱锥的体积常用等体积法求解. (4)求以三视图为背景的几何体的体积,应根据三视图得到几何体的直观 图,然后根据条件求解. 例1 　(1)(2019陕西宝鸡一模,6)某几何体的三视图如图,其中正视图的轮廓 是等腰三角形,俯视图的轮廓是正三角形,侧视图是直角三角形,则这个几 何体的体积等于   (　　)   A.16   　　　　    B.24   　　　　    C.24   　　　　    D.16   (2)(2019安徽六校第二次联考,6)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视 图是半径为 r 的圆,若该几何体的体积为   π,则它的表面积是   (　　)   A.   π　　　　    B.9π　　　　    C.   π　　　　    D.   π 解析 　(1)根据三视图知,该几何体是如图所示的三棱锥,其中平面 ABD ⊥ 平面 BCD ,过点 A 作 BD 的垂线,垂足为 H ,连接 CH . 几何体的体积为 V A - BCD =   · S △ BCD · AH =   ×   × 4=16   .故选D.   (2)由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径 的半球体,其中圆柱的高等于半球的半径 r ,所以该几何体的体积 V =π r 2 × r -   ×   π r 3 =   π r 3 =   π,∴ r 3 =   ,又知 r >0,∴ r =   ,∴该几何体的表面积 S =π r 2 +2π r × r +   × 4π r 2 =5π r 2 =5π ×   =   π,故选C. 答案 　(1)D　(2)C 方法2      与球有关的切、接问题的求解方法 1.“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时 要找准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体. 解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等 于球的半径. 2.与球有关的组合体的常用结论 (1)长方体的外接球: ①球心:体对角线的交点; ②半径: r =   ( a , b , c 为长方体的长、宽、高). (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球: ①外接球:球心是正方体的中心,半径 r =   a ( a 为正方体的棱长); ②内切球:球心是正方体的中心,半径 r =   ( a 为正方体的棱长); ③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径 r =   a ( a 为正方体的棱 长). (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分): ①外接球:球心是正四面体的中心,半径 r =   a ( a 为正四面体的棱长); ②内切球:球心是正四面体的中心,半径 r =   a ( a 为正四面体的棱长). 例2     (2018河南安阳一模,16)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径 为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为 　　　     . 解题导引   解析 　先考虑小球不能经过的空间的体积. (1)当小球与正方体一顶点处的三个面都相切时,球面与该顶点处的三个面 之间形成的空隙小球始终无法经过,其体积为   ×   =1-   .正方体 有8个顶点,共形成8个无法经过的空隙,总体积为8 ×   =8-   . (2)小球只与正方体过同一条棱的两个面相切时,在该棱处能形成一个高为 2的小柱体,其体积为   × 2=2-   ,正方体共有12条棱,则12个小柱体 的体积为   × 12=24-6π. 所以小球可以经过的空间的体积为64-   -(24-6π)=32+   . 答案 　32+